第頁人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《7.6平行線的性質(zhì)》同步練習(xí)題（含答案解析）知識(shí)清單一、相關(guān)角的性質(zhì)：1.對(duì)頂角與鄰補(bǔ)角：（1）對(duì)頂角的性質(zhì)：對(duì)頂角相等．（2）鄰補(bǔ)角的性質(zhì)：鄰補(bǔ)角互補(bǔ)，即和為180°．（3）鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角成對(duì)出現(xiàn)，在相交直線中，一個(gè)角的鄰補(bǔ)角有兩個(gè)．鄰補(bǔ)角、對(duì)頂角都是相對(duì)與兩個(gè)角而言，是指的兩個(gè)角的一種位置關(guān)系．它們都是在兩直線相交的前提下形成的．2.余角與補(bǔ)角的性質(zhì)：（1）余角：如果兩個(gè)角的和等于90°（直角），就說這兩個(gè)角互為余角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角．（2）補(bǔ)角：如果兩個(gè)角的和等于180°（平角），就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角．即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角．（3）性質(zhì)：等角的補(bǔ)角相等．等角的余角相等．（4）余角和補(bǔ)角計(jì)算的應(yīng)用，常常與等式的性質(zhì)、等量代換相關(guān)聯(lián)．3.平行線性質(zhì)定理定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．定理2：兩條平行線被第三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．二、解題方法：1.在涉及有平行這一條件，求角度問題時(shí)，?？紤]用平行線的性質(zhì)，在應(yīng)用平行線性質(zhì)求角時(shí)，常常結(jié)合對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角、垂直、角平分線等性質(zhì)和定又進(jìn)行求解2.平行線和角的大小關(guān)系是緊蜜聯(lián)系在一起的。由平行線可以得到相等或互補(bǔ)的角，反過來又可以由相等或互補(bǔ)的角得到新的一組平行線，這種角的大小關(guān)系與直線的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化在解題中會(huì)經(jīng)常涉及類型一、平行線與對(duì)頂角性質(zhì)的綜合1．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，DE∥BC，若∠1=70°，求∠B的度數(shù)．類型二、平行線與鄰補(bǔ)角性質(zhì)的綜合2．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）一桿古秤在稱物體時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知∠1=105°，則∠2的度數(shù)是．

類型三、平行線與垂直定義的綜合3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，直線MN與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作射線EH⊥MN，∠1=130°，求類型四、平行線與角平分線的綜合4．（七年級(jí)下·遼寧撫順·期中）如圖所示，已知∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°．（1）求證：MD∥NE（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分別平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度數(shù)．類型五、平行線與余角的性質(zhì)的綜合5．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）已知：如圖，E、F分別在AB和CD上，∠1=∠D，∠2與∠C互余，AF⊥CE于G．求證：AB∥CD．類型六、平行線與補(bǔ)角的性質(zhì)的綜合6．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作直線DG交AC于點(diǎn)G，交EF的延長線于點(diǎn)H，∠B=50°,∠1+∠2=180°，求∠H的度數(shù)．類型七、平行線與折疊的綜合7．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿EF折疊成圖②，再沿BF折疊成圖③．

(1)若∠DEF=20°，請(qǐng)你求出圖③中∠CFE的度數(shù)；(2)若∠DEF=α，請(qǐng)你直接用含α的式子表示圖③中∠CFE的度數(shù)．類型八、平行線與三角板的綜合8．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起，友情提示：∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．(1)①若∠DCE=45°，則∠ACB的度數(shù)為________．②若∠ACB=140°，則∠DCE的度數(shù)為________．(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若∠ACE<90°且點(diǎn)E在直線AC的上方，當(dāng)這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）．類型九、平行線與拐角的綜合9．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）【探究】如圖①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度數(shù)；（2）求證：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【應(yīng)用】如圖②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，則∠E+∠F=_____________類型十、平行線與平移的綜合10．（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·期末）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，∠EHC=α0°<α<90°．小新將一個(gè)含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線AB、CD上，∠P=90°(1)填空：∠PNA+∠PMC=°；(2)若PM∥EF，∠MNG的角平分線NO交直線CD于點(diǎn)①如圖②，當(dāng)NO∥EF時(shí)，求②小新將三角板PMN向右平移，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含a的式子表示）．一、解答題1．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度數(shù)．2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，如圖CD∥AB，OF平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，求∠DOE的度數(shù)．3．（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AE交AB于點(diǎn)F．求證：CF平分∠BCD．4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知AB∥DE，(1)求證：BC∥EF；(2)若∠BHE=60°，射線HG平分∠BHE，求∠HGE的度數(shù)．5．（24-25七年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分線，B，C，D在同一直線上，F(xiàn)D∥EC，(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求∠B的度數(shù)．6．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期末）如圖，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D．(1)求證：BD∥CE；(2)若∠A=40°，求∠F的度數(shù)．7．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，已知∠1+∠CFE=180°，(1)求證：AC∥EF；(2)求∠EDF．8．（23-24七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期中）如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．(1)請(qǐng)說明∠EBD=∠EDB．(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度數(shù)．9．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）生活情境·山路“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個(gè)問題：在圖2中，AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求10．（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）如圖，已知∠BAD=∠C，AB∥CD，點(diǎn)E在線段CB延長線上，DE平分∠ADC．(1)求證：∠DEC=∠EDC；(2)若∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，求∠DEC的度數(shù)．11．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知：如圖①，AB∥CD，點(diǎn)P在AB,CD之間，連接AP,CP．易說明∠APC=∠BAP+∠PCD．下面是兩位同學(xué)添加輔助線的方法：如圖②，過點(diǎn)P作PQ∥AB．如圖③，延長AP交CD于點(diǎn)M．請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的方法進(jìn)行說明．12．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）【探究】如圖①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度數(shù)；（2）求證：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【應(yīng)用】如圖②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，則∠E+∠F=_____________13．（24-25七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分線交CD的延長線于點(diǎn)(1)求證：AB∥(2)探究∠A，∠AEC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；14．（21-22七年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）（1）如圖①，MA1∥如圖②，MA1∥（2）如圖③，MA1∥（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，∠E=130°，求15．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN．(1)如圖2，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板DEF不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到BC∥EF時(shí)，t的值是多少？(2)若三角板ABC不動(dòng)，而三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒1.5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到DE∥BC時(shí)，t的值是多少？(3)若三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為t秒（0<t<70），若邊BC與三角板DEF的一條直角邊平行時(shí)，直接寫出所有滿足條件的t的值．16．（23-24七年級(jí)上·山西長治·期末）綜合與探究：已知AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接PE，PF．(1)如圖1，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，求∠PFC的度數(shù)．(2)如圖2，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，猜想∠EPF與∠EQF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)如圖3，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，猜想∠EPF與∠EQF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．17．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，P為直線l3上一點(diǎn)，A、B分別是直線l1(1)若P點(diǎn)在線段CD（C、D兩點(diǎn)除外）上）運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是什么？說明理由．(2)在l1∥l2的前提下，若P點(diǎn)在線段CD之外時(shí)，∠1、18．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP與CP．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB，CD之間，且∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，則∠APC=(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB，CD之間，且∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD下方時(shí)，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K（K在CD下方），且∠BAP=α，∠DCP=β，直接寫出∠K的大?。ㄓ煤梁挺碌拇鷶?shù)式表示）．19．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知AB∥CD，∠A=70°．點(diǎn)P是射線AB上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)A不重合），CE，CF分別平分∠ACP和∠DCP交射線AB于點(diǎn)E，F(xiàn)．(1)求∠ECF的度數(shù)，若∠A=n°，請(qǐng)直接用含n的式子表示∠ECF；(2)隨著點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)，設(shè)∠APC=α，∠AFC=β，α與β之間的數(shù)量關(guān)系是否改變？若不改變，請(qǐng)求出此數(shù)量關(guān)系；若改變，請(qǐng)說明理由；(3)當(dāng)∠AEC=∠ACF時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠APC的度數(shù)．20．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）綜合與探究，問題情境：綜合實(shí)踐課上，王老師組織同學(xué)們開展了探究三角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)．(1)如圖1，EF∥MN，點(diǎn)A，B分別為直線EF，MN上的一點(diǎn)，點(diǎn)P為平行線間一點(diǎn)且∠PAF=130°，問題遷移(2)如圖2，射線OM與射線ON交于點(diǎn)O，直線m∥n，直線m分別交OM，ON于點(diǎn)A，D，直線n分別交OM，ON于點(diǎn)B，C，點(diǎn)①當(dāng)點(diǎn)P在A，B（不與A，B重合）兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠ADP=∠α，∠BCP=∠β．則②若點(diǎn)P不在線段AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)都不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD，參考答案與解析類型一、平行線與對(duì)頂角性質(zhì)的綜合1．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）如圖，DE∥BC，若∠1=70°，求∠B的度數(shù)．【答案】110°【分析】此題考查了平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】解：因?yàn)椤?=70°，所以∠EFB=70°．因?yàn)镈E∥BC，所以∠B=180°?∠EFB=110°．類型二、平行線與鄰補(bǔ)角性質(zhì)的綜合2．（23-24八年級(jí)上·河南鄭州·期末）一桿古秤在稱物體時(shí)的狀態(tài)如圖所示，已知∠1=105°，則∠2的度數(shù)是．

【答案】75°/75度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)∶兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠2=∠BCD，由∠2的度數(shù)求出∠BCD的度數(shù)，即可得到∠2的度數(shù)．【詳解】解：如圖，

由題意得：AB∥CD，∴∠2=∠BCD，∵∠1=105°，∴∠BCD=75°，∴∠2=75°，故答案為：75°．類型三、平行線與垂直定義的綜合3．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，AB∥CD，直線MN與AB交于點(diǎn)E，與CD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作射線EH⊥MN，∠1=130°，求【答案】40°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠BEF的度數(shù)，根據(jù)平角定義可求出∠AEF的度數(shù)，然后結(jié)合垂直定義和角的和差關(guān)系求解即可．【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠BEF=∠1=130°，∴∠AEF=180°?∠BEF=50°．又∵EH⊥MN，∴∠HEF=90°，∴∠2=90°?∠AEF=40°．類型四、平行線與角平分線的綜合4．（七年級(jí)下·遼寧撫順·期中）如圖所示，已知∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°．（1）求證：MD∥NE（2）若∠ABD=70°，∠ACE=36°，BP和CP分別平分∠ABD，∠ACE，求∠BPC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠BPC=53°【分析】（1）過A作AF∥MD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠MBA+∠BAF＝180°，而∠MBA+∠BAC+∠NCA＝360°，則∠FAC+∠NCA＝180°，于是根據(jù)平行線的判定得到AF∥NE，所以根據(jù)平行線于同一條直線的兩直線平行得到MD∥NE；（2）過P作PQ∥MD，先利用角平分線的定義得到∠DBP＝12∠DBA＝35°，∠ECP＝12∠ACE＝18°，再根據(jù)平行線的性質(zhì)由PQ∥MD得∠DBP＝∠BPQ＝35°，由于MD∥NE，PQ∥MD，則PQ∥NE，所以∠QPC＝∠PCE＝18°，然后利用∠BPC＝∠BPQ+∠【詳解】證明：（1）如圖，過點(diǎn)A作AF∥MD則∠MBA+∠BAF=180°∵∠MBA+∠BAC+∠NCA=360°∴∠FAC+∠NCA=180°∴AF∥NE∴MD∥NE（2）過點(diǎn)P作PQ∥MD∵BP和CP分別平分∠ABD、∠ACE∴∠DBP=1∠ECP=∵PQ∥MD∴∠QPC=∠PCE=18°∴∠BPC=∠BPQ+∠QPC=53°【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)：同位角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行線于同一條直線的兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．類型五、平行線與余角的性質(zhì)的綜合5．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）已知：如圖，E、F分別在AB和CD上，∠1=∠D，∠2與∠C互余，AF⊥CE于G．求證：AB∥CD．【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，根據(jù)題干信息的提示逐步完善推理過程與推理依據(jù)即可．【詳解】證明：∵AF⊥CE，（已知）∴∠CGF=90°．（垂直的定義）∵∠1=∠D，（已知）∴AF∥∴∠4=∠CGF，（兩直線平行，同位角相等）∴∠4=90°又∵∠2+∠3+∠4=180°，∴∠2+∠3=90°．又∵∠2與∠C互余，（已知）∴∠C=∠3．（同角的余角相等）∴AB∥CD．（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）類型六、平行線與補(bǔ)角的性質(zhì)的綜合6．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E在AB上，EF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)D作直線DG交AC于點(diǎn)G，交EF的延長線于點(diǎn)H，∠B=50°,∠1+∠2=180°，求∠H的度數(shù)．【分析】本題主要考查了平行線的判定、平行線的性質(zhì)、垂線的定義等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用平行線的判定與性質(zhì)成為解題的關(guān)鍵．根據(jù)平行線的判定、平行線的性質(zhì)進(jìn)行推理即可解答．【詳解】解：∵AD⊥BC,EF⊥BC，（已知）∴AD∥∴∠2+∠EAD=180°．（兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)）∵∠1+∠2=180°，（已知）∴∠1=∠EAD．（同角的補(bǔ)角相等）∴AE∥∴∠B=∠BDH．（兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等）∵∠B=50°，（已知）∴∠BDH=50°．（等量代換）∵AD⊥BC，（已知）∴∠ADB=90°．（垂直的定義）∵∠1+∠BDH+∠ADB=180°，（平角定義）∴∠1=180°?∠BDH?∠ADB=40°．（等式性質(zhì)）∵AD∥∠H=∠1=40°．（兩直線平行、同位角相等）．故答案為：垂直于同一直線的兩直線平行；兩直線平行、同旁內(nèi)角互補(bǔ)；∠EAD；內(nèi)錯(cuò)角相等、兩直線平行；兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等；垂直的定義；40；兩直線平行、同位角相等．類型七、平行線與折疊的綜合7．（23-24七年級(jí)下·全國·課后作業(yè)）圖①是一張長方形的紙帶，將這張紙帶沿EF折疊成圖②，再沿BF折疊成圖③．

(1)若∠DEF=20°，請(qǐng)你求出圖③中∠CFE的度數(shù)；(2)若∠DEF=α，請(qǐng)你直接用含α的式子表示圖③中∠CFE的度數(shù)．【答案】(1)120°(2)∠CFE=180°?3α【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，折疊額性質(zhì)：（1）在圖①中先由兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角線段得到∠BFE=∠DEF=20°，則由平角的定義可得∠CFE=160°，再在圖②中求出∠BFC=∠CFE?∠BFE=140°，進(jìn)而在圖③中得到∠BFC=140°，則∠CFE=∠BFC?∠BFE=120°．（2）仿照（1）求解即可．【詳解】（1）解：在圖①中，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=20°，∴∠CFE=180°?∠BFE=160°，在圖②中，∠BFC=∠CFE?∠BFE=160°?20°=140°，在圖③中，由折疊的性質(zhì)得：∠BFC=140°，∴∠CFE=∠BFC?∠BFE=140°?20°=120°，（2）解：在圖①中，∵AD∥BC，∴∠BFE=∠DEF=α，∴∠CFE=180°?∠BFE=180°?α，在圖②中，∠BFC=∠CFE?∠BFE=180°?α?α=180°?2α，在圖③中，由折疊的性質(zhì)得：∠BFC=180°?2α，∴∠CFE=∠BFC?∠BFE=180°?2α?α=180°?3α，類型八、平行線與三角板的綜合8．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板中的兩塊直角三角板的直角頂點(diǎn)C按如圖方式疊放在一起，友情提示：∠A=60°，∠D=30°，∠E=∠B=45°．(1)①若∠DCE=45°，則∠ACB的度數(shù)為________．②若∠ACB=140°，則∠DCE的度數(shù)為________．(2)由（1）猜想∠ACB與∠DCE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)若∠ACE<90°且點(diǎn)E在直線AC的上方，當(dāng)這兩塊直角三角板有一組邊互相平行時(shí)，請(qǐng)直接寫出∠ACE角度所有可能的值（不必說明理由）．【答案】(1)①135°；②40°(2)∠ACB+∠DCE=180°．理由見解析(3)∠ACE可能為30°或45°【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)．（1）①根據(jù)∠DCE和∠ACD的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠BCE求得∠ACB的度數(shù)；②根據(jù)∠BCE和∠ACB的度數(shù)，求得∠ACE的度數(shù)，再根據(jù)∠ACD求得∠DCE的度數(shù)；（2）根據(jù)∠ACE=90°?∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，進(jìn)行計(jì)算即可得出結(jié)論；（3）分2種情況進(jìn)行討論：當(dāng)CB∥AD時(shí)，當(dāng)EB∥【詳解】（1）解：①∵∠DCE=45°，∠ACD=90°，∴∠ACE=45°，∵∠BCE=90°，∴∠ACB=90°+45°=135°，故答案為：135°；②因?yàn)椤螦CB=140°，∠ECB=90°，所以∠ACE=140°?90°=50°，所以∠DCE=90°?∠ACE=90°?50°=40°，故答案為：40°；（2）解：猜想：∠ACB+∠DCE=180°．理由如下：因?yàn)椤螦CE=90°?∠DCE，∠ACB=∠ACE+90°，所以∠ACB=90°?∠DCE+90°=180°?∠DCE，即∠ACB+∠DCE=180°；（3）解：∠ACE可能為30°或45°．當(dāng)CB∥所以∠BCD=∠D=30°，因?yàn)椤螦CE+∠DCE=90°=∠BCD+∠DCE，所以∠ACE=∠BCD=30°；當(dāng)EB∥∠ACE=∠E=45°．類型九、平行線與拐角的綜合9．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）【探究】如圖①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度數(shù)；（2）求證：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【應(yīng)用】如圖②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，則∠E+∠F=_____________【答案】（1）46°；（2）見解析；【應(yīng)用】138．【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出∠CPG=∠APC?∠APG=46°，然后證明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；（2）根據(jù)PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根據(jù)PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，進(jìn)而求解即可；應(yīng)用：過點(diǎn)P作HG∥AB，延長DC到點(diǎn)M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，進(jìn)而得到∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥AB，∵∠PAB=29°，∴∠APG=∠PAB=29°；∵∠APC=75°，∴∠CPG=∠APC?∠APG=46°；∵AB∥∴PG∥CD，∴∠PCD=∠CPG=46°；（2）∵PG∥AB，∴∠APG+∠EAP=180°；∵PG∥CD，∴∠CPG+∠PCF=180°，∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；應(yīng)用：如圖所示，過點(diǎn)P作HG∥AB，延長DC到點(diǎn)M，由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，∴148°+∠E+180°?∠EPH=360°，∴∠E=32°+∠EPH；∵∠FCD=54°，∴∠FCM=180°?∠FCD=126°；由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，∵∠GPF=180°?∠HPF，∴180°?∠HPF+∠F+126°=360°，∴∠F=54°+∠HPF，∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．故答案為：138．類型十、平行線與平移的綜合10．（23-24七年級(jí)下·甘肅武威·期末）如圖，直線AB∥CD，直線EF與AB、CD分別交于點(diǎn)G、H，∠EHC=α0°<α<90°．小新將一個(gè)含30°角的直角三角板PMN按如圖①放置，使點(diǎn)N、M分別在直線AB、CD上，∠P=90°(1)填空：∠PNA+∠PMC=°；(2)若PM∥EF，∠MNG的角平分線NO交直線CD于點(diǎn)①如圖②，當(dāng)NO∥EF時(shí)，求②小新將三角板PMN向右平移，直接寫出∠MON的度數(shù)（用含a的式子表示）．【答案】(1)90(2)①∠α=60°；②30°+12【分析】本題考查平移，平行線的性質(zhì)，角平分線定義，熟練掌握平移的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義是正確解答的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PNA+∠PMC=∠MPN=90°即可；（2）①根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠NOC=α，根據(jù)AB∥CD，得出∠BNO=∠NOC=α，根據(jù)角平分線定義得出∠MNO=∠BNO=α，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠PMN=∠MNO，即可求出求②分兩種情況進(jìn)行討論：當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)G左側(cè)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)G右側(cè)時(shí)，分別畫出圖形，求出結(jié)果即可．【詳解】（1）解：如圖①，過點(diǎn)P作PQ∥∵AB∥∴AB∥∴∠ANP=∠NPQ，∠QPM=∠PMC，∵∠NPQ+∠QPM=∠NPM=90°，∴∠PNA+∠PMC=90°；（2）解：①∵NO∥EF，∴∠NOC=α，∵AB∥∴∠BNO=∠NOC=α，∵NO是∠MNG的角平分線，∴∠MNO=∠BNO=α，∵PM∥∴PM∥∴∠PMN=∠MNO，∵∠PMN=60°∴α=60°；②∵AB∥∴∠BNO=∠MON，∵NO是∠MNG的角平分線，∴∠MNO=∠BNO，∴∠MON=∠MNO，當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)G左側(cè)時(shí)，∵PM∥EF∴∠PMD+∠GHC=180°，∴∠PMN+∠NMO=180°?α，∵∠PMN=60°∴∠NMO=120°?α，∴∠MON=1當(dāng)點(diǎn)N在點(diǎn)G右側(cè)時(shí)，∵PM∥∴∠PMC=∠GHC=α，∴∠NMD=180°?∠PMC?∠PMN=120°?α，∵∠NMD=∠MNO+∠MON，∴∠MON=1綜上可知，∠MON的度數(shù)為30°+12α一、解答題1．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）如圖，已知AB∥CD，∠ABE=150°，∠CDE=85°，求∠BED的度數(shù)．【答案】55°【分析】本題考查了利用平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)，過點(diǎn)E作EF∥AB，則AB∥EF∥CD，由平行線的性質(zhì)可得∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可得解．【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EF∥CD，∴∠ABE+∠BEF=180°，∠DEF=∠CDE．∵∠ABE=150°，∠CDE=85°，∴∠BEF=180°?∠ABE=30°，∠DEF=∠CDE=85°，∴∠BED=∠DEF?∠BEF=55°．2．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）已知，如圖CD∥AB，OF平分∠BOD，OF⊥OE，∠D=50°，求∠DOE的度數(shù)．【答案】65°【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的相關(guān)計(jì)算，垂線的理解，由平行線的性質(zhì)可得出∠D=∠DOB=50°，有角平分線的定義可得出∠DOF=12∠BOD=25°【詳解】解：∵CD∥AB，∴∠D=∠DOB=50°，∵OF平分∠BOD，∴∠DOF=1∵OF⊥OE，∴∠EOF=90°，∴∠DOE=∠EOF?∠DOF=65°3．（2025七年級(jí)下·全國·專題練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，∠B=∠D=90°，AE平分∠BAD交CD于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF∥AE交AB于點(diǎn)F．求證：CF平分∠BCD．【答案】見解析．【詳解】證明：因?yàn)锳E平分∠BAD，所以∠DAE=∠EAB．因?yàn)镃F∥AE，所以∠EAB=∠CFB,∠DEA=∠DCF．所以∠DAE=∠CFB．因?yàn)椤螧=∠D=90°，所以∠DAE+∠DEA=∠CFB+∠BCF=90°，所以∠DEA=∠BCF．又因?yàn)椤螪EA=∠DCF，所以∠DCF=∠BCF，所以CF平分∠BCD．4．（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·期中）如圖，已知AB∥DE，(1)求證：BC∥EF；(2)若∠BHE=60°，射線HG平分∠BHE，求∠HGE的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)30°【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義：（1）先由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得到∠B+∠BHD=180°，再證明∠E=∠BHD，即可證明BC∥EF；（2）由角平分線的定義得到∠BHG=12∠BHE=30°【詳解】（1）證明：∵AB∥∴∠B+∠BHD=180°，∵∠B+∠E=180°，∴∠E=∠BHD，∴BC∥EF；（2）解：∵∠BHE=60°，射線HG平分∠BHE，∴∠BHG=1∵BC∥EF，∴∠HGE=∠BHG=30°．5．（24-25七年級(jí)上·山東泰安·階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，∠A=46°，CE是∠ACB的平分線，B，C，D在同一直線上，F(xiàn)D∥EC，(1)求∠ACB的度數(shù)；(2)求∠B的度數(shù)．【答案】(1)∠ACB=84°；(2)∠B=50°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ECB=∠D=42°，進(jìn)而利用角平分線的定義即可求解；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解；此題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：∵FD∥EC，∴∠ECB=∠D=42°，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠ECB=1∴∠ACB=84°；（2）解：由（1）得：∠ACB=84°，∵∠A=46°，∴∠B=180°?46°?84°=50°．6．（23-24八年級(jí)上·廣東梅州·期末）如圖，已知∠1=48°，∠2=132°，∠C=∠D．(1)求證：BD∥CE；(2)若∠A=40°，求∠F的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠F=40°【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)；（1）由∠1=48°，∠2=132°，得出∠1+∠2=180°，利用“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”可證出BD∥CE；（2）由BD∥CE得出∠C=∠ABD，由∠C=∠D得出∠ABD=∠D，利用“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”可證出AC∥DF，進(jìn)而可得出【詳解】（1）證明：∵∠1=48°，∠2=132°，∴∠1+∠2=180°，∴BD∥CE；（2）解：∵BD∥CE，∴∠C=∠ABD，又∵∠C=∠D，∴∠ABD=∠D，∵AC∥DF，∴∠A=∠F=40°．7．（22-23七年級(jí)下·貴州遵義·階段練習(xí)）如圖，已知∠1+∠CFE=180°，(1)求證：AC∥EF；(2)求∠EDF．【答案】(1)見解析；(2)∠EDF=75°．【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，掌握平行線的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵；（1）∠1+∠CFE=180°及∠1=∠ACF，得∠CFE+∠ACF=180°，由平行線的判定即可證明；（2）由AC∥EF及已知得∠BAC=∠AGE，即可得AB∥DE，從而有∠B=∠EDF，由已知即可求解．【詳解】（1）證明：∵∠1+∠CFE=180°，∴∠CFE+∠ACF=180°．∴AC∥EF；（2）解：∵AC∥EF，∴∠AGE=∠DEF，∵∠BAC=∠DEF，∴∠BAC=∠AGE．∴AB∥DE．∴∠B=∠EDF．∵∠B=75°，∴∠EDF=75°．8．（23-24七年級(jí)下·廣東清遠(yuǎn)·期中）如圖，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，DE∥BC，交AB于點(diǎn)E．(1)請(qǐng)說明∠EBD=∠EDB．(2)如果BD⊥AC,∠ADE=70°，求∠ABC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)40°【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，垂直的定義，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)角平分線結(jié)合平行線得到內(nèi)錯(cuò)角相等即可等量代換出結(jié)果；（2）根據(jù)垂直得到∠ADB=90°，則∠BDE=20°，∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，再根據(jù)角度和差即可計(jì)算．【詳解】（1）證明：∵BD平分∠ABC∴∠CBD=∠EBD，∵DE∥BC．∴∠CBD=∠EDB．∴∠EBD=∠EDB；（2）解：∵BD⊥AC,∠ADE=70°，∴∠ADB=90°，∠BDE=∠ADB?∠ADE=90°?70°=20°，∴∠CBD=∠EBD=∠BDE=20°，∴∠ABC=20°+20°=40°．9．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）生活情境·山路“公路村村通”的政策讓公路修到了山里，蜿蜒的盤山公路連接了山里與外面的世界，數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師把山路抽象成圖2的樣子，并提出了一個(gè)問題：在圖2中，AB∥CD，∠B=125°，∠PQC=65°，∠C=145°，求【答案】85°【分析】本題考查了平行的判定及性質(zhì)；過點(diǎn)P向左作PM∥AB，過點(diǎn)Q向右作QN∥AB，由平行線的判定方法得AB∥PM∥QN∥【詳解】解：如圖，過點(diǎn)P向左作PM∥AB，過點(diǎn)Q向右作則AB∥∴∠ABP+∠BPM=180°，∠DCQ+∠CQN=180°，∠MPQ=∠PQN，∵∠B=125°，C=145°，∴∠BPM=180°?125°=55°，∠CQN=180°?145°=35°，∵∠PQC=65°，∴∠PQN=∠PQC?∠CQN=65°?35°=30°，∴∠QPM=∠PQN=30°，∴∠BPQ=∠BPM+∠QPM=55°+30°=85°．10．（23-24七年級(jí)下·安徽黃山·期末）如圖，已知∠BAD=∠C，AB∥CD，點(diǎn)E在線段CB延長線上，DE平分∠ADC．(1)求證：∠DEC=∠EDC；(2)若∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，求∠DEC的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)60°【分析】本題為平行線與角平分線的綜合題，考查了平行線的性質(zhì)與判定，角平分線的定義等知識(shí)，綜合性較強(qiáng)，熟知相關(guān)定理并根據(jù)題意靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵，第（2）步要注意根據(jù)題意設(shè)出未知數(shù)，用含x的式子表示出相關(guān)角，列出方程解答．（1）根據(jù)AB∥CD得到∠BAD+∠ADC=180°，根據(jù)角平分線的定義得到∠ADE=∠EDC，即可證明；（2）設(shè)∠BAE=x,∠DAE=5x，則∠ADC=180°?4x，根據(jù)AB∥CD得到，進(jìn)而得到∠ADC=180°?∠BAD=180°?4x，根據(jù)AD∥BC,∠AED=45°，得到∠EAD+∠AED+∠DEC=180°，從而求出．【詳解】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAD+∠ADC=180°，

∵∠BAD=∠C，∴∠C+∠ADC=180°，∴AD∥BC；

∴∠ADE=∠DEC，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC，∴∠DEC=∠EDC；（2）解：∵∠DAE=5∠BAE，∠AED=45°，可設(shè)∠BAE=x,∠DAE=5x，∴∠DAB=4∠BAE=4x，∵AB∥CD，∴∠ADC=180°?∠BAD=180°?4x，∵DE平分∠ADC，∴∠EDC=∴∠DEC=∠EDC=∵AD∥BC,∠AED=45°，∴∠EAD+∠AEC=180°，即∠EAD+∠AED+∠DEC=180°∴5x+45°+90°?2x=180°，解得：x=15°，∴∠DEC=9011．（24-25七年級(jí)上·全國·課后作業(yè)）已知：如圖①，AB∥CD，點(diǎn)P在AB,CD之間，連接AP,CP．易說明∠APC=∠BAP+∠PCD．下面是兩位同學(xué)添加輔助線的方法：如圖②，過點(diǎn)P作PQ∥AB．如圖③，延長AP交CD于點(diǎn)M．請(qǐng)你選擇一位同學(xué)的方法進(jìn)行說明．【答案】見解析【分析】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)．以選擇小明的方法為例，過點(diǎn)P作PQ∥AB，推出AB∥PQ∥CD，得到∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，據(jù)此即可證明結(jié)論成立；以選擇小慧的方法為例，延長AP交CD于點(diǎn)M，利用平行線的性質(zhì)，得到∠AMC=∠BAP，再利用三角形的外角性質(zhì)即可證明結(jié)論成立．【詳解】解：以選擇小明的方法為例，證明如下：過點(diǎn)P作PQ∥AB，∵PQ∥AB，AB∥CD，∴AB∥PQ∥CD，∴∠APQ=∠BAP，∠CPQ=∠PCD，∴∠APC=∠APQ+∠CPQ=∠BAP+∠PCD；以選擇小慧的方法為例，證明如下：延長AP交CD于點(diǎn)M，∵AB∥PQ，∴∠AMC=∠BAP，∴∠APC=∠AMC+∠PCD=∠BAP+∠PCD．12．（24-25七年級(jí)上·吉林長春·期末）【探究】如圖①，已知AB∥（1）若∠APC=75°，∠PAB=29°，求∠PCD的度數(shù)；（2）求證：∠APC+∠PAE+∠PCF=360°；【應(yīng)用】如圖②，已知AB∥CD，若∠A=148°，∠C=54°，∠P=52°，則∠E+∠F=_____________【答案】（1）46°；（2）見解析；【應(yīng)用】138．【分析】本題考查的是平行公理的應(yīng)用，平行線的性質(zhì)，利用平行公理作出輔助線是解本題的關(guān)鍵．（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥AB，首先得到∠APG=∠PAB=29°，求出∠CPG=∠APC?∠APG=46°，然后證明出PG∥CD，即可得到∠PCD=∠CPG=46°；（2）根據(jù)PG∥AB得到∠APG+∠EAP=180°，根據(jù)PG∥CD得到∠CPG+∠PCF=180°，進(jìn)而求解即可；應(yīng)用：過點(diǎn)P作HG∥AB，延長DC到點(diǎn)M，由（2）得∠A+∠E+∠EPG=360°，進(jìn)而得到∠E=32°+∠EPH，同理得到∠F=54°+∠HPF，進(jìn)而求解即可．【詳解】解：（1）如圖所示，過點(diǎn)P作PG∥AB，∵∠PAB=29°，∴∠APG=∠PAB=29°；∵∠APC=75°，∴∠CPG=∠APC?∠APG=46°；∵AB∥∴PG∥CD，∴∠PCD=∠CPG=46°；（2）∵PG∥AB，∴∠APG+∠EAP=180°；∵PG∥CD，∴∠CPG+∠PCF=180°，∴∠APC+∠PAE+∠PCF=∠APG+∠PAE+∠CPG+∠PCF=180°+180°=360°；應(yīng)用：如圖所示，過點(diǎn)P作HG∥AB，延長DC到點(diǎn)M，由（2）得，∠A+∠E+∠EPG=360°，∵∠A=148°，∠EPG+∠EPH=180°，∴148°+∠E+180°?∠EPH=360°，∴∠E=32°+∠EPH；∵∠FCD=54°，∴∠FCM=180°?∠FCD=126°；由（2）得，∠GPF+∠F+∠FCM=360°，∵∠GPF=180°?∠HPF，∴180°?∠HPF+∠F+126°=360°，∴∠F=54°+∠HPF，∴∠E+∠F=32°+∠EPH+54°+∠HPF=86°+∠EPF=86°+52°=138°．故答案為：138．13．（24-25七年級(jí)上·江蘇鎮(zhèn)江·期末）如圖，AE∥BD，∠A=∠BDC，∠AEC的平分線交CD的延長線于點(diǎn)(1)求證：AB∥(2)探究∠A，∠AEC，∠C之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【答案】(1)詳見解析(2)∠A+∠AEC+∠C=360°，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)和判定即可求證，（2）作EG∥AB，根據(jù)平行公理推論得本題考查了平行線的性質(zhì)和判定，平行公理推論，熟練掌握平行線的性質(zhì)和判定，平行公理推論是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵AE∥∴∠A+∠ABD=180°，∵∠BDC+∠BDF=180°，∠A=∠BDC，∴∠ABD=∠BDF，∴AB∥（2）解：∠A+∠AEC+∠C=360°，如圖，作EG∥則∠A+∠AEG=180°，由（1）可得AB∥∴AB∥∴∠C+∠CEG=180°，∴∠A+∠AEG+∠C+∠CEG=360°，∵∠AEG+∠CEG=AEC，∴∠A+∠AEC+∠C=360°．14．（21-22七年級(jí)下·江蘇宿遷·階段練習(xí)）（1）如圖①，MA1∥如圖②，MA1∥（2）如圖③，MA1∥（3）利用上述結(jié)論解決問題：如圖④，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的平分線相交于點(diǎn)F，∠E=130°，求【答案】（1）180°，360°，見解析；（2）540°；（3）115°【分析】本題考查的是平行線的判定與性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，角平分線的定義；（1）直接由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得圖①答案；如圖，過點(diǎn)A2作PA2（2）如圖，過點(diǎn)A2作PA2（3）過F作FQ∥AB．證明FQ∥AB∥CD，可得∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．求解【詳解】解：（1）180°

360°，理由如下：理由：∵M(jìn)A∴∠A如圖，過點(diǎn)A2作P∵M(jìn)A1∴PA∴∠A∴∠A（2）如圖，過點(diǎn)A2作P∵M(jìn)A1∴PA∴∠MA結(jié)合（1）的結(jié)論可得：∠PA∴∠A（3）如圖，過F作FQ∥∵AB∥CD，∴FQ∥AB∥CD，∴∠ABF=∠BFQ,∠CDF=∠DFQ．∵∠ABE+∠BED+∠CDE=360°,∠BED=130°，∴∠ABE+∠CDE=230°．∵BF平分∠ABE，DF平分∠CDE,∠BFD=∠BFQ+∠DFQ，∴∠BFD=115．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）將一副三角板如圖1所示擺放，直線GH∥MN．(1)如圖2，現(xiàn)將三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒2°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，三角板DEF不動(dòng)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到BC∥EF時(shí)，t的值是多少？(2)若三角板ABC不動(dòng)，而三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒1.5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒，求當(dāng)?shù)谝淮涡D(zhuǎn)到DE∥BC時(shí)，t的值是多少？(3)若三角板ABC繞點(diǎn)A以每秒3°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)三角板DEF繞點(diǎn)D以每秒5°的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)時(shí)間為t秒（0<t<70），若邊BC與三角板DEF的一條直角邊平行時(shí)，直接寫出所有滿足條件的t的值．【答案】(1)t=7.5(2)t=20(3)所有滿足條件的t的值為15或60【分析】對(duì)于（1），設(shè)直線BC與MN，GH分別交于P，Q，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DFG=∠AQP=∠NPQ=45°，再利用外角的性質(zhì)求出對(duì)于（2），延長BC交MN于點(diǎn)P，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠1=∠2=∠ABC=60°，再表示出∠2，對(duì)于（3），分BC∥DE，BC∥DF，表示出相應(yīng)角，利用平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和與外角的性質(zhì)得到方程，解之即可得到【詳解】（1）解：如圖，BC∥EF，設(shè)設(shè)直線BC與MN，GH分別交于P，∴∠DFG=∠NPQ=45°.∵GH∥MN，∴∠AQP=∠NPQ=45°.∵∠ABC=60°，∴∠BAQ=∠ABC?∠AQP=15°，∴t=15（2）解：如圖，延長BC交MN于點(diǎn)P，∵GH∥MN，∴∠1=∠ABC=60°．∵DE∥BC，∴∠2=∠1=60°.∵∠3=1.5t°，∴∠2=180°?∠EDF?∠3=(90?1.5t)°，∴90?1.5t=60，∴t=20；（3）解：如圖，當(dāng)BC∥DE時(shí)，設(shè)直線BC與MN，GH分別交于P，此時(shí)∠MDF=5t，∴∠NDE=∠NPQ=180°?90°?5t=90°?5t.∵GH∥MN，∴∠NPQ=∠AQB=90°?5t.∵∠ABC=60°，∴∠BAQ+∠AQB=60°，即90°?5t+3t=60°，解得：t=15；如圖，當(dāng)BC∥DF時(shí)，延長CB，AB，分別與MN交于P，此時(shí)，∠PDF=5t?180°，∴∠CPD=∠PDF=5t?180°.∵GH∥MN，∴∠HAQ+∠AQP=180°，即∠AQP=180°?∠HAQ=180°?3t.∵∠ABC=∠PBQ=60°，∴60°+180°?3t+5t?180°=180°，解得：t=60.綜上：所有滿足條件的t的值為15或60．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角板的特征，三角形內(nèi)角和和外角的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是找到相對(duì)應(yīng)的情形，本題圖形比較抽象，關(guān)鍵是準(zhǔn)確畫出圖形，找到符合題意的情形，不要漏解．16．（23-24七年級(jí)上·山西長治·期末）綜合與探究：已知AB∥CD，E，F(xiàn)分別是AB，CD上的點(diǎn)，點(diǎn)P在AB，CD之間，連接PE，PF．(1)如圖1，若∠AEP=45°，∠EPF=80°，求∠PFC的度數(shù)．(2)如圖2，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，猜想∠EPF與∠EQF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．(3)如圖3，∠AEP與∠CFP的平分線交于點(diǎn)Q，猜想∠EPF與∠EQF之間有何數(shù)量關(guān)系？并說明理由．【答案】(1)∠PFC=35°(2)∠EPF=2∠EQF，見解析(3)2∠EQF+∠EPF=360°，見解析【分析】本題考查平行線的性質(zhì)和角的和差運(yùn)算，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作PM∥AB，根據(jù)平行公理的推論、平行線的性質(zhì)可得∠1=∠AEP，∠2=∠PFC，從而得到∠EPF=∠AEP+∠PFC，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可；（2）由（1）中的結(jié)論得∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，根據(jù)角平分線的定義得∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，可得結(jié)論；（3）由（1）中的結(jié)論和鄰補(bǔ)角的定義得∠EPF與∠EQF的數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)P作PM∥AB，∴∠AEP=∠1，∵AB∥CD，∴PM∥CD，∴∠2=∠PFC，∴∠EPF=∠AEP+∠PFC，∵∠AEP=45°，∠EPF=80°，∴∠PFC=∠EPF?∠AEP=80°?45°=35°，∴∠PFC的度數(shù)為35°；（2）解：∠EPF=2∠EQF，理由：由（1）可知：∠EPF=∠AEP+∠CFP，∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，∴∠EPF=∠AEP+∠CFP=2∠AEQ+2∠CFQ=2(∠AEQ+∠CFQ)=2∠EQF，∴∠EPF=2∠EQF；（3）解：2∠EQF+∠EPF=360°，理由：由（1）可知：∠EQF=∠AEQ+∠CFQ，∠EPF=∠BEP+∠DFP，∵EQ，F(xiàn)Q分別平分∠AEP，∠CFP，∴∠AEP=2∠AEQ，∠CFP=2∠CFQ，∴2∠EQF=2∠AEQ+2∠CFQ=∠AEP+∠CFP，∴2∠EQF+∠EPF=∠AEP+∠BEP+∠CFP+∠DFP=360°，∴2∠EQF+∠EPF=360°．17．（2024七年級(jí)上·全國·專題練習(xí)）如圖，已知直線l1∥l2，直線l3和直線l1、l2分別交于點(diǎn)C和點(diǎn)D，P為直線l3上一點(diǎn)，A、B分別是直線l1(1)若P點(diǎn)在線段CD（C、D兩點(diǎn)除外）上）運(yùn)動(dòng)時(shí)，問∠1、∠2、∠3之間的關(guān)系是什么？說明理由．(2)在l1∥l2的前提下，若P點(diǎn)在線段CD之外時(shí)，∠1、【答案】(1)∠2=∠1+∠3，理由見解析(2)∠2=∠3?∠1或∠2=∠1?∠3【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．（1）過點(diǎn)P作PE∥l1，根據(jù)l1∥l2可知PE（2）由于點(diǎn)P的位置不確定，故應(yīng)分當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長線上與點(diǎn)P在線段CD的延長線上兩種情況進(jìn)行討論．【詳解】（1）解：∠2=∠1+∠3．理由如下：如圖，過點(diǎn)P作PE∥因?yàn)閘1所以PE∥所以∠1=∠APE，∠3=∠BPE．又因?yàn)椤螦PB=∠APE+∠BPE，所以∠2=∠1+∠3；（2）解：①當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長線上時(shí)，∠2=∠3?∠1．理由如下：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段DC的延長線上時(shí)，過點(diǎn)P作PF∥所以∠FPA=∠1．因?yàn)閘1∥l所以∠FPB=∠3，所以∠2=∠FPB?∠FPA=∠3?∠1；②當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長線上時(shí)，∠2=∠1?∠3．理由如下：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)P在線段CD的延長線上時(shí)，過點(diǎn)P作PE∥l所以∠EPB=∠3．因?yàn)閘1所以PE∥所以∠EPA=∠1，所以∠2=∠EPA?∠EPB=∠1?∠3．18．（24-25七年級(jí)上·吉林·期末）已知，直線AB∥DC，點(diǎn)P為平面內(nèi)一點(diǎn)，連接AP與CP．(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB，CD之間，且∠BAP=60°，∠DCP=20°時(shí)，則∠APC=(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在直線AB，CD之間，且∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K，寫出∠AKC與∠APC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)如圖3，當(dāng)點(diǎn)P在CD下方時(shí)，∠BAP與∠DCP的角平分線相交于點(diǎn)K（K在CD下方），且∠BAP=α，∠DCP=β，直接寫出∠K的大?。ㄓ煤梁挺碌拇鷶?shù)式表示）．【答案】(1)80(2)2∠AKC=∠APC，理由見解析(3)1【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義的運(yùn)用，解決問題的關(guān)鍵是作平行線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角，依據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等進(jìn)行計(jì)算．（1）先過P作PE∥AB，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE=∠BAP+∠DCP進(jìn)行計(jì)算即可；（2）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根據(jù)角平分線的定義，得出∠BAK+∠DCK=1（3）過K作KE∥AB，根據(jù)KE∥AB∥DC，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，進(jìn)而得到∠AKC=∠AKE?∠CKE=∠BAK?∠DCK，∠APC=∠BAP?∠DCP=α?β