河北省承德第一中學2026屆數(shù)學高二上期末檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)的圖象過點，令.記數(shù)列的前n項和為，則（）A. B.C. D.2．已知集合，集合或，是實數(shù)集，則（）A. B.C. D.3．在區(qū)間內隨機取一個數(shù)x，則使得的概率為（）A. B.C. D.4．兩個圓和的位置是關系是（）A.相離 B.外切C.相交 D.內含5．已知是等比數(shù)列，則（）A.數(shù)列是等差數(shù)列 B.數(shù)列是等比數(shù)列C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列6．如圖甲是第七屆國際數(shù)學家大會（簡稱ICME—7）的會徽圖案，其主體圖案是由圖乙的一連串直角三角形演化而成的.已知，，，，為直角頂點，設這些直角三角形的周長從小到大組成的數(shù)列為，令，為數(shù)列的前項和，則（）A.8 B.9C.10 D.117．已知的展開式中，各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，則（）A.4 B.5C.6 D.78．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.89．直線且的傾斜角為（）A. B.C. D.10．點M在圓上，點N在直線上，則|MN|的最小值是（）A. B.C. D.111．若兩直線與互相垂直，則k的值為（）A.1 B.-1C.-1或1 D.212．東漢末年的數(shù)學家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”，根據(jù)面積關系給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖1，它由四個全等的直角三角形與一個小正方形拼成的一個大正方形.我們通過類比得到圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形.對于圖2.下列結論正確的是（）①這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形；②若，，則；③若，則；④若是的中點，則三角形的面積是三角形面積的7倍.A.①②④ B.①②③C.②③④ D.①③④二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知平面的法向量為，平面的法向量為，若，則實數(shù)______14．設函數(shù)，.若對任何，，恒成立，求的取值范圍______.15．過點，且周長最小的圓的標準方程為______16．已知點，平面過原點，且垂直于向量，則點到平面的距離是_________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點到焦點的距離為6.（1）求拋物線的方程；（2）若不過原點的直線與拋物線交于A、B兩點，且，求證：直線過定點并求出定點坐標.18．（12分）在等差數(shù)列中，設前項和為，已知，.（1）求的通項公式；（2）令，求數(shù)列的前項和.19．（12分）已知橢圓：（）的左、右焦點分別為，焦距為，過點作直線交橢圓于兩點，的周長為.（1）求橢圓的方程；（2）若斜率為的直線與橢圓相交于兩點，求定點與交點所構成的三角形面積的最大值.20．（12分）已知拋物線的頂點是坐標原點，焦點在軸的正半軸上，是拋物線上的點，點到焦點的距離為1，且到軸的距離是（1）求拋物線的標準方程；（2）假設直線通過點，與拋物線相交于，兩點，且，求直線的方程21．（12分）如圖，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，（1）求證：平面ACF；（2）在線段PB上是否存在一點H，使得CH與平面ACF所成角的正弦值為？若存在，求出線段PH的長度；若不存在，請說明理由22．（10分）已知圓，直線，直線l與圓C相交于P，Q兩點（1）求的最小值；（2）當?shù)拿娣e最大時，求直線l的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由已知條件推導出，．由此利用裂項求和法能求出【詳解】解：由，可得，解得，則.∴，故選：【點睛】本題考查了函數(shù)的性質、數(shù)列的“裂項求和”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題2、A【解析】先化簡集合，再由集合的交集、補集運算求解即可【詳解】，或，故故選：A3、A【解析】解一元一次不等式求不等式在上解集，再利用幾何概型的長度模型求概率即可.【詳解】由，可得，其中長度為1，而區(qū)間長度為4，所以，所求概率為故選：A.4、C【解析】根據(jù)圓的方程得出兩圓的圓心和半徑，再得出圓心距離與兩圓的半徑的關系，可得選項.【詳解】圓的圓心為，半徑，的圓心為，半徑，則，所以兩圓的位置是關系是相交，故選：C.【點睛】本題考查兩圓的位置關系，關鍵在于運用判定兩圓的位置關系一般利用幾何法.即比較圓心之間的距離與半徑之和、之差的大小關系，屬于基礎題.5、B【解析】取，可判斷AC選項；利用等比數(shù)列的定義可判斷B選項；取可判斷D選項.【詳解】若，則、無意義，A錯C錯；設等比數(shù)列的公比為，則，（常數(shù)），故數(shù)列是等比數(shù)列，B對；取，則，數(shù)列為等比數(shù)列，因為，，，且，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，D錯.故選：B.6、B【解析】由題意可得的邊長，進而可得周長及，進而可得，可得解.【詳解】由，可得，，，，所以，，所以前項和，所以，故選：B.7、C【解析】利用賦值法確定展開式中各項系數(shù)的和以及二項式系數(shù)的和，利用比值為，列出關于的方程，解方程.【詳解】二項式的各項系數(shù)的和為，二項式的各項二項式系數(shù)的和為，因為各項系數(shù)的和與其各項二項式系數(shù)的和之比為，所以，.故選：C.8、D【解析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.9、C【解析】由直線方程可知其斜率，根據(jù)斜率和傾斜角關系可得結果.【詳解】直線方程可化為：，直線的斜率，直線的傾斜角為.故選：C.10、C【解析】根據(jù)題意可知圓心，又由于線外一點到已知直線的垂線段最短，結合點到直線的距離公式，即可求出結果.【詳解】由題意可知，圓心，半徑為，所以圓心到的距離為，所以的最小值為.故選：C.11、B【解析】根據(jù)互相垂直的兩直線的性質進行求解即可.【詳解】由，因此直線的斜率為，直線的斜率為，因為兩直線與互相垂直，所以，故選：B12、A【解析】對于①，由三角形大邊對大角的性質分析，對于②，根據(jù)題意利用正弦定理分析，對于③，利用余弦定理分析，對于④，利用三角形的面積公式分析判斷【詳解】對于①，根據(jù)題意，圖2，它是由三個全等的鈍角三角形與一個小等邊三角形拼成的一個大等邊三角形，故，，所以這三個全等的鈍角三角形不可能是等腰三角形，故①正確；對于②，由題知，在中，，，，所以，所以由正弦定理得解得，因為，所以，故②正確；對于③，不妨設，所以在中，由余弦定理得，代入數(shù)據(jù)得，所以，所以，故③錯誤；對于④，若是的中點，則，所以，故④正確.故選：A第II卷（非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題設可得，結合向量共線的坐標表示求參數(shù)即可.【詳解】由題設，平面與平面的法向量共線，∴，則，即，解得.故答案為：.14、【解析】先把原不等式轉化為恒成立，構造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因為對任何，，所以對任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點睛】恒（能）成立問題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉化為不含參數(shù)的最值問題；②不能參變分離，直接對參數(shù)討論，研究的單調性及最值；③特別地，個別情況下恒成立，可轉換為（二者在同一處取得最值）.15、【解析】方法一：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，由線段的中點為圓心，其長一半為半徑求解；方法二：根據(jù)當線段為圓的直徑時，圓周長最小，根據(jù)以AB為直徑的圓的方程求解.【詳解】方法一：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小，即圓心為線段的中點，半徑則所求圓的標準方程為方法二：當線段為圓的直徑時，過點，的圓的半徑最小，從而周長最小又，，故所求圓的方程為，整理得，所以所求圓的標準方程為16、【解析】確定，，利用點到平面的距離為，即可求得結論.【詳解】由題意，，，設與的夾角為，則所以點到平面的距離為故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）證明見解析，定點坐標為(8,0).【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，即可求出結果；（2）由題意直線方程可設為，將其與拋物線方程聯(lián)立，再將轉化為，根據(jù)韋達定理，化簡求解，即可求出定點.【小問1詳解】解：拋物線的頂點在原點，焦點在軸上，且拋物線上有一點，設拋物線的方程為，到焦點的距離為6，即有點到準線的距離為6，即解得，即拋物線的標準方程為；【小問2詳解】證明:由題意知直線不能與軸平行，故直線方程可設為,與拋物線聯(lián)立得，消去得,設，則,則，,由，可得，所以，即，亦即，又，解得，所以直線方程為，易得直線過定點.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的前項和公式，即可求解公差，再計算通項公式；（2）根據(jù)（1）的結果，利用裂項相消法求和.【小問1詳解】設的公差為，由已知得，解得，所以.【小問2詳解】所以.19、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)題意可得，，再由，即可求解.（2）設直線的方程為，將直線與橢圓方程聯(lián)立求得關于的方程，利用弦長公式求出，再利用點到直線的距離求出點到直線的距離，利用三角形的面積公式配方即可求解.【詳解】解（1）由題意得：，，∴，∴∴橢圓的方程為(2)∵直線的斜率為，∴可設直線的方程為與橢圓的方程聯(lián)立可得：①設兩點的坐標為，由韋達定理得：，∴點到直線的距離，∴由①知：，，令，則，∴令，則在上的最大值為∴的最大值為綜上所述：三角形面積的最大值2.【點睛】本題考查了根據(jù)求橢圓的標準方程，考查了直線與橢圓額位置關系中三角形面積問題，考查了學生的計算能力，屬于中檔題.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義，結合到焦點、軸的距離求，寫出拋物線方程.（2）直線的斜率不存在易得與不垂直與題設矛盾，設直線方程聯(lián)立拋物線方程，應用韋達定理求，，進而求，由題設向量垂直的坐標表示有求直線方程即可.【詳解】（1）由己知，可設拋物線的方程為，又到焦點的距離是1，∴點到準線的距離是1，又到軸的距離是，∴，解得，則拋物線方程是（2）假設直線的斜率不存在，則直線的方程為，與聯(lián)立可得交點、的坐標分別為，，易得，可知直線與直線不垂直，不滿足題意，故假設不成立，∴直線的斜率存在．設直線為，整理得，設，，聯(lián)立直線與拋物線的方程得，消去，并整理得，于是，，∴，又，因此，即，∴，解得或當時，直線的方程是，不滿足，舍去當時，直線的方程是，即，∴直線的方程是21、（1）證明見解析（2）存在，的長為或，理由見解析.【解析】（1）建立空間直角坐標系，利用向量法證得平面.（2）設，求出，根據(jù)與平面所成角的正弦值列方程，由此求得，進而求得的長.小問1詳解】依題意，在四棱錐中，側面底面ABCD，側棱，底面ABCD為直角梯形，其中，，，，以為空間坐標原點建立如圖所示空間直角坐標系，，，設平面法向量為，則，故可設，由于，所以平面.【小問2詳解】存在，理由如下：設，，，，依題意與平面所成角的正弦