高考數(shù)學中向量試題題型分析綜述目錄TOC\o"1-3"\h\u22400高考數(shù)學中向量試題題型分析綜述 120791.1向量知識點的分類 1324781.2高考試卷中向量題型的分值統(tǒng)計 268411.1.1向量在高考試卷中所占總分值統(tǒng)計 2146121.1.2平面向量題型分值統(tǒng)計 3291041.1.3空間向量題型分值統(tǒng)計 542271.3高考試卷中平面向量的考點分類解析 638421.3.1向量的線性運算 691681.3.2平面向量夾角的計算 643381.3.3與平面向量相關的最值問題 7290831.3.4平面向量的數(shù)量積 759851.3.5平面向量與三角形相結合 8202171.3.6平面向量與圓錐曲線結合 9278771.4高考試卷中空間向量的考點分類解析 10181011.4.1點在面內(nèi)的證明 10229111.4.2線線垂直的證明 11203851.4.3線面垂直與平行的證明 12297341.4.4面面垂直與平行的證明 14313691.4.5異面直線所成角的計算 15126691.4.6線面夾角 16318651.4.7點到面的距離計算 1785601.4.8二面角 18246941.5高考數(shù)學中向量的命題趨勢 1968021.5.1結構穩(wěn)定,適當變化 19173821.5.2與實際相結合 19187871.5.3知識交叉綜合 20當今社會,高考作為許多人人生的分水嶺,高考成績顯得格外重要,作為三大主科之一的數(shù)學,占了高考總分的1/5,為了更好的抓住分值,學生就需要逐個突破每一部分內(nèi)容,因此本章對向量知識做了如下統(tǒng)計.1.1向量知識點的分類結合教材,對向量的內(nèi)容進行整體分析,其具體內(nèi)容分布如表2-1表2-1向量知識點統(tǒng)計概念線性運算定理應用平面幾何1.定義1.加法運算1.共線定理1.夾角（定義,范圍,角度判定）1.幾何意義1.模1.減法運算1.基本定理1.投影定義、計算1.三角形中線及四心向量表達式3.表示3.數(shù)乘運算3.數(shù)量積定義,幾何意義,性質(zhì)3.三角形,平行四邊形等的向量表示4.單位、相等、相反向量4.平面垂直計算與判定5.模計算由表2-1可以看出在學習了向量的基礎知識之后,其考點有線性運算,向量的夾角,投影,數(shù)量積,模等計算,有與平面幾何相結合的應用問題,還有證明（平行,垂直）,掌握了這些知識,接下來來看具體試題.1.2高考試卷中向量題型的分值統(tǒng)計全國34個省市共分為8類高考試卷,本章將研究2016-2020這五年8類高考試卷中向量知識所占總分值.1.1.1向量在高考試卷中所占總分值統(tǒng)計各省向量知識所占總分值如表2-2所示.表2-2高考試卷中向量所占總分統(tǒng)計省份20162017201820192020全國卷Ⅰ1717222817全國卷Ⅱ1722221717全國卷Ⅲ1723232317北京卷1919271918天津卷1819181825江蘇卷2720151927浙江卷1925192019上海卷1018132421在2016-2020這5年中,共有34套全國高考數(shù)學學科試卷,從表2-2可以看出,每套試卷中都有用到向量知識的題,且用到向量知識的題目的總分值在10-30分之間.高考數(shù)學試卷總分值為150分,在2016-2020這5年中,全國卷Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ中向量所占分值在17-28分之間,占總分的11.3%-18.7%,北京卷中向量所占分值在18-27分之間,占總分的11.0%-18.0%,天津卷中向量所占分值在18-25之間,占總分的11.0%-16.7%,江蘇卷中向量所占分值在15-27之間,占總分的10.0%-18.0%,浙江卷中向量所占分值在19-25之間,占總分的11.7%-16.7%,上海卷中向量所占分值在10-24之間,占總分的6.7%-16.0%,從這些數(shù)據(jù)可以看到,向量在高考理科數(shù)學試卷中占比6.7%-18.7%,由此可知向量在高考中占有很重要的地位.1.1.2平面向量題型分值統(tǒng)計通過1.2對向量具體內(nèi)容的列舉,初步了解可能出現(xiàn)的考點內(nèi)容,在網(wǎng)頁上查找2016-2020年各省市理科高考數(shù)學試卷,找到與向量相關的題目,進行分析解題并思考用到的知識點,抓住考題的核心考點,爭取做到知己知彼,百戰(zhàn)不殆.下面是以2016--2020年各省高考理科數(shù)學試卷作為統(tǒng)計資料,對高考題中與平面向量和空間向量有關的內(nèi)容分別進行了統(tǒng)計與分析.對高考試卷平面向量內(nèi)容情況統(tǒng)計表如表2-3所示.表2-32016-2020年各省數(shù)學高考理科試卷平面向量內(nèi)容情況表省份20162017201820192020題號分值題號分值題號分值題號分值題號分值全國卷Ⅰ13.線性運算513.線性運算和數(shù)量積56.與三角形結合8.數(shù)量積與圓錐曲線結合557.夾角的計算16和19.與圓錐曲線結合55614.線性運算5全國卷Ⅱ3.線性運算511.與三角形相結合54.線性運算53.數(shù)量積運算513.線性運算5全國卷Ⅲ3.夾角的計算511.線性運算20.與圓錐曲線結合5613.線性運算20.與圓錐曲線結合5613.夾角的計算21.與圓錐曲線結合566.夾角的計算5北京卷4.命題56.命題56.命題19.數(shù)量積與圓錐曲線結合587.命題513.線性運算與數(shù)量積計算5天津卷7.與三角形結合513.線性運算68.數(shù)量積運算514.數(shù)量積運算515.線性運算與數(shù)量積18.與圓錐曲線結合55江蘇卷13.數(shù)量積運算18.與圓錐曲線結合51311.線性運算13.與圓錐曲線結合5511.線性運算511.與三角形結合513.線性運算18.與圓錐曲線結合58浙江卷15.最值問題410.數(shù)量積運算15.最值問題469.最值問題417.最值問題517.最值問題4上海卷11.數(shù)量積運算416.線性運算58.最值問題53.夾角計算13.線性運算5511.最值問題20.與圓錐曲線結合58由2-3對平面向量的考點進行統(tǒng)計,可以看出近五年試卷中,考察的題目類型分布于選擇題、填空題,還有解答題.全國卷Ⅰ考察平面向量題目選擇題題號為6-8題,填空題題號為13-14題,而解答題多與圓錐曲線相結合,分布于16-19題,所占分值是5-16分；全國卷Ⅱ考察題目選擇題題號為3題與12題,12題作為壓軸選擇題,一般比較有難度,填空題在13題有考察到,其所占總分值均為5分；全國卷Ⅲ選擇題的題號為3-12題,解答題題號為20-21題,其所占總分值為5-11分,北京卷選擇題考察題目為4-7題,填空題題號為13題,解答題在19題有考察到,其所占總分值為5-13分；天津卷考察選擇題題目題號為7-8題,填空題題號為13-15題,解答題在18題有考察到,其所占總分值為5-10分；江蘇卷較特殊只有填空題和解答題,填空題在12-13題考察,解答題題號在18題有考察到,其所占總分值為5-13分；浙江卷考察選擇題題目題號為9-10題,填空題題目題號為15-17題,其所占總分值為4-10分；上海卷選擇題題號為3-12題,填空題題號在13題與16題,解答題20題與圓錐曲線相結合,其總分值在4-13分之間.試卷中在對平面向量知識的考察上,考點主要有夾角的計算,最值問題,線性運算,數(shù)量積運算,與三角形相結合等。在這些考點中,用到線性運算和數(shù)量積運算知識的題目占總題目的43.4%,用到平面向量與圓錐曲線相結合知識的題目占總題目的20.7%,用到其他知識的題目約占總題目的24.2%.由此可見,平面向量考察題目分布較廣,選擇、填空、解答都有,解答題大多與圓錐曲線相結合.一般情況下,在一道大題的三個問題中,會占其中一個小題.1.1.3空間向量題型分值統(tǒng)計通過上表對平面向量的題號等分析,可以從表中判斷考察題目類型和分值等,對空間向量內(nèi)容做統(tǒng)計如表2-4所示.表2-42016-2020年各省數(shù)學高考理科試卷空間向量題號及分值情況表省份20162017201820192020題號分值題號分值題號分值題號分值題號分值全國卷Ⅰ18121812181218121812全國卷Ⅱ1912101951292051217122012全國卷Ⅲ19121912191219121912北京卷17141614161416141613天津卷17131713171317131715江蘇卷16142210221016141514浙江卷17151915191519151915上海卷196717581781714178由上表2-4中對2016-2020年各省數(shù)學高考理科試卷空間向量的題目、分值統(tǒng)計,可以看到,在近五年試卷中,全國卷Ⅱ和上海卷考察題目類型有選擇題,有解答題,其他卷子考察題目類型均為解答題。全國卷Ⅰ考察空間向量題目題號為18題,其所占總分值為12分；全國卷Ⅱ考察空間向量知識的選擇題題目題號在5、9、10題,解答題題號為17、19、20題,其所占總分值是12-20分；全國卷Ⅲ考察題目的題號均為19題,所占分值為12分；北京卷考察題目題號近四年為16題,2016年為17題,所占分值為13,14分；天津卷考察題目題號均為17題,所占分值為13,15分；江蘇卷考察題目題號為15-22題,所占分值為10,14分；浙江卷考察題目題號近四年為19題,2016年為17題,所占分值均為15分；上海卷同全國卷Ⅱ一樣,選擇題題號在5-12之間,解答題題號在17-20之間,其總分值在最低6分最高14分之間.這些選擇題、解答題對于空間向量知識的考察,空間向量的計算題目主要有以下幾類：點到平面的距離計算,異面直線所成角的計算,空間直線與平面所成角的計算,二面角的計算,分析論述問題有異面直線位置關系的證明,不同平面間位置關系的證明,平面外一條直線與平面間位置關系的證明等。在以上這些考點中,考察二面角的計算知識的題目占總題目的48.8%,考察空間直線與平面位置關系的題目占總題目的44.2%,考察空間直線與平面所成角的計算的題目占總題目的20.9%,涉及其他知識的題目占總題目的25.9%.由此可見,空間向量考察題目多為解答題,且解答題多與立體幾何相聯(lián)系,對于此類問題,用向量法更容易一些.1.3高考試卷中平面向量的考點分類解析上文的統(tǒng)計分析,將向量知識分為平面向量和空間向量進行分析的,并且對這兩塊所考察知識點也明確了出來,本章將研究解決不同考點的解題方法.1.3.1向量的線性運算例1（2017全國卷Ⅰ理13）已知向量,的夾角為,,.則__________.解因為,所以.點撥本題測驗了向量模的基本性質(zhì)和向量數(shù)量積公式（為兩向量間夾角）,通過對做平方運算找到與,之間的關系,進一步借助已經(jīng)知道的條件得到題目要求解得的式子的結果.1.3.2平面向量夾角的計算例2（2019全國卷Ⅰ理7）已知非零向量,滿足,且,則與的夾角為（）.；；、；、.解由,可得,以有.又因為,由,有,.因此此題選.點撥本題用到了兩個向量垂直的性質(zhì),由性質(zhì)得出第一個式子,進而利用向量分配律以及等量關系帶入求得夾角余弦值,利用常用的三角函數(shù)得到夾角大小.1.3.3與平面向量相關的最值問題例3（2020浙江卷理17）已知平面單位向量,,滿足,設,向量,的夾角為,則的最小值是_______.解由,可得,所以,因而有.點撥本題考查了向量模的基本性質(zhì),通過兩邊平方運算,利用已知不等式得到需要的的范圍,進而利用向量夾角公式求得本題所需求的量的范圍,由此得到最值.此題要注意判斷不等式方向,容易出現(xiàn)錯誤.1.3.4平面向量的數(shù)量積例4（2019天津卷理14）在四邊形中,如圖1,,,,,點在線段的延長線上,且,則___________.解因為,,所以在等腰三角形中,又,所以,所以圖SEQ圖1\*ARABIC\s11圖SEQ圖1\*ARABIC\s11因為,所以.又由,所以.故答案為-1.點撥本題與圖形相結合,首先根據(jù)題目條件先畫圖,由圖形可將與用已知量表示出來,利用運算法則把數(shù)量積運算展開由已知數(shù)解得最終結果.1.3.5平面向量與三角形相結合例5（2018全國卷Ⅰ理6）在中,為邊上的中線,為的中點,則=（）.；；、；、.解由圖2可得圖2圖2.所以本題選.點撥做這種類型題思路就是先畫圖,然后根據(jù)圖像利用三角形法則將用選項中出現(xiàn)的向量,表示出來,注意向量間系數(shù)關系以及向量方向,向量的方向對這種類型題非常重要.1.3.6平面向量與圓錐曲線結合例6（2018北京卷理19）已知拋物線經(jīng)過點,過點的直線與拋物線有兩個不同的焦點,,且直線交軸于,直線交軸于.設為原點,,,求證為定值.解因為拋物線經(jīng)過點,所以,解得,所以拋物線方程為.由題意可知直線斜率存在且不為0,設直線方程為.由得.設,由聯(lián)立方程組得到,,直線PA方程為.令,得到點縱坐標為,同理得點的縱坐標為.由,得,,所以.所以為定值.點撥本題與圓錐曲線相結合,運用向量的坐標知識,將,用縱坐標表示,進而化簡得到進一步的結論,這里要注意兩根之和,兩根之積的公式.1.4高考試卷中空間向量的考點分類解析本節(jié)主要針對空間向量的題目與解題方法進行分析．1.4.1點在面內(nèi)的證明例7（2020全國卷Ⅲ理19）如圖3(),在長方體中,點,分別在棱,上,且,.證明點在平面內(nèi).圖3()圖3()圖3()解設,,,如圖3(),以作為坐標原點,的方向為正方向,構建空間直角坐標系.連接,則,,,,,,可得.因此,即,,,,四點共面,所以在平面內(nèi).點撥在解決點在面內(nèi)這樣的問題中,首先要明確有哪幾種方法,在平常解題中常用的一般是三種,第一種是通過建立直角坐標系將平面上的點通過在軸上的投影所構成的有序實數(shù)對來表示位置.第二種是從向量的角度來判斷點的位置,選取一個點,確定兩個非零向量,那么固定的向量便可用這兩個向量來表示,第三種就是通過到兩向量間的距離來判斷.通過判斷好方法選取好求取的量來解決問題.1.4.2線線垂直的證明圖4()圖4()例8（2019浙江卷19）如圖4(),已知三棱柱,平面面,,,,,分別是,的中點.證明.圖4()圖4()證明連接,因為,是的中點,所以.又因為平面面,面,平面面,所以面.如圖4(),以作為原點,以射線為軸,為軸的正半軸,構建空間直角坐標系.不妨設,則,,,,,因此,.由,得.點撥本題考查的是線線垂直的證明,這樣作為第一問考察的題目來說,往往不止一種做題方法,通過一般方法證明也可得到結果,但相應的需要看出如何利用面面垂直,線面垂直等方法求得線線垂直.當然,在這里也可以使用坐標系依靠向量知識來解決,明確好坐標即可求解.1.4.3線面垂直與平行的證明圖5()圖5()例9（2019北京卷理16）如圖5(),在四棱錐中,面,,,,,為的中點,點在上,且.求證：面圖5()圖5()證明把點當作坐標原點,面內(nèi)與垂直的直線為軸,方向為軸,軸,構建如圖5()所示的空間直角坐標系.易知,,,,,,,,,由此可得,.又因為,所以面.點撥在證明線面垂直過程中,有兩種方法可以用來證明,第一種是證明直線所在的方向向量和平面內(nèi)任意兩條相交的直線都垂直,第二種方法和第一種方法類似,也是選取所在的方向向量,但平面要計算其法向量,讓和面的法向量平行來得證線面垂直,構建空間直角坐標系找到相應點的坐標即可解題.例10（2019天津卷理17）如圖6(),面,,,,,.求證面.圖6()圖圖6()圖6()證明依題意,建立以為原點,分別以,,的方向為軸,軸,軸正方向的空間直角坐標系如圖6().可得,,,,.設,則.依題意,是平面的法向量,又由,可得.又因為面,所以面.點撥本題主要考察了線與面平行的知識,空間抽象能力與推理證明的能力,解決此類問題時發(fā)現(xiàn)不能直觀的利用特殊圖形之間關系來解決問題時,學生可以借助直角坐標系通過向量間關系來判斷他們的位置關系.1.4.4面面垂直與平行的證明圖7()圖7()例11（2016全國卷Ⅰ理18）如圖7(),在以,,,,,為頂點的五面體中,面為正方形,,,且二面角與二面角都是.證明平面平面.圖7()圖7()證明因為面為正方形,所以.過點做的垂線,即為軸,以為軸,為軸,構建如圖7()空間直角坐標系.設,則,有,,.由題意可知是二面角的平面角,由此可得,,.設面的法向量是,則有即可取.由已知得,設面的法向量是,即可取.又因為,所以平面平面.點撥使用向量法來證明兩個平面垂直,有兩種方法,第一種方法是先通過分析題目或者計算求得平面與平面的法向量,對這兩個平面的法向量做數(shù)量積運算,當數(shù)量積結果為零時,則兩個面垂直,第二種方法是先找出平面內(nèi)任意一條直線所在的方向向量,再讓得到的這個方向向量與平面內(nèi)任意兩條相交的直線都垂直,并且由于這條直線在這個面內(nèi),因此得到這兩個面垂直.1.4.5異面直線所成角的計算例12（2018上海卷理17）已知圓錐頂點為,底面圓心為,半徑為1.設,是底面半徑,且,為線段中點,如圖8()所示,求異面直線與所成角的大小.圖8()圖圖8()圖8()解由題目所給條件,可得,,,所以以為原點,為軸,為軸.為軸,構建如圖8()所示空間直角坐標系.,,,,,,.設異面直線與所成角為,則,.所以異面直線與所成角為.點撥這道題將向量內(nèi)容與高二所學的立體幾何里面的圓錐圖形相結合,題目要求學生要求得異面直線間所成的角的大小,學生可以使用已經(jīng)學過的向量夾角公式,主要考察運算能力,選取好坐標系,判斷好點的坐標,計算仔細一些,即可解題.1.4.6線面夾角例13（2019上海卷理17）如圖9,在長方體中,為上一點,已知,,,.求直線與平面的夾角解連接,面,則即為直線與平面的夾角。圖9在中,,圖9則.點撥在做線面夾角類型題時,首先先看線與面的夾角是否在平面上,若在平面上可利用平面圖形來判斷角的大小,若此夾角不在平面上,那么則可利用向量法來解決,通過構建空間直角坐標系確定所在的方向向量以及平面的法向量,然后使用以前學習過的向量夾角公式來求得最終的夾角.1.4.7點到面的距離計算例14（2019上海卷理17）在長方體中,為上一點,已知,,,.求點到平面的距離.解如圖10構建空間直角坐標系.,,,,,.設面,則圖10圖10令,則.所以.點撥計算點到平面間的距離這樣的問題,首先要計算