無(wú)人機(jī)集群與突防無(wú)人機(jī)的等效阿波羅尼奧斯圓仿真分析目錄TOC\o"1-3"\h\u135241緒論 緒論1.1無(wú)人機(jī)集群協(xié)同對(duì)抗的背景及意義隨著人工智能以及無(wú)人機(jī)技術(shù)的高速發(fā)展,新興的群體智能也在無(wú)人機(jī)領(lǐng)域初露崢嶸,而計(jì)算機(jī)刻板高效這一特性,使交戰(zhàn)中的不確定性大幅度減少.駕駛技術(shù)、經(jīng)驗(yàn)、運(yùn)氣等不確定因素,被飛機(jī)性能、策略、預(yù)設(shè)決策等確定性方法替代.同時(shí)無(wú)人機(jī),”無(wú)人”這一特性,使其可以高效的完成諸多人類難以解決的高危、高難度工作,當(dāng)下,已然被廣泛推廣,可以預(yù)見(jiàn)在不遠(yuǎn)的未來(lái),這會(huì)是戰(zhàn)爭(zhēng)中不容小視的一股”潮流”,或許未來(lái)的小中規(guī)?？罩薪粦?zhàn)的主角也將更換為無(wú)人機(jī)這一后起之秀.唯一美中不足的是,無(wú)人機(jī)的單機(jī)載荷能力略有欠缺,低功耗裝備配比不足,使其難以獨(dú)立完成系統(tǒng)性任務(wù).于是乎!無(wú)人機(jī)協(xié)同對(duì)抗,極有可能是未來(lái)智能化戰(zhàn)爭(zhēng)的主要發(fā)展方向.相較于傳統(tǒng)戰(zhàn)機(jī),無(wú)人機(jī)的協(xié)同對(duì)抗有著更優(yōu)越的協(xié)調(diào)性,更靈活的智能性.在此模式下,其低成本且規(guī)模龐大這一優(yōu)勢(shì),得以無(wú)限放大.無(wú)人機(jī)群能夠,更有效的利用大量集群內(nèi)部的信息共享和通訊便捷的優(yōu)勢(shì),顯著的提升集群態(tài)感知能力及任務(wù)達(dá)成效率.相較于傳統(tǒng)的載人航空器,無(wú)人機(jī)的環(huán)境適應(yīng)性、機(jī)動(dòng)性和生存能力更為優(yōu)秀.無(wú)人機(jī)的低制造和維修成本使其可以實(shí)現(xiàn)零人員傷亡任務(wù)模式,還可以有效提升協(xié)同率和任務(wù)執(zhí)行效率.無(wú)人人機(jī)協(xié)同對(duì)抗這種模式,突破了無(wú)人機(jī)單一機(jī)體的任務(wù)的局限性.因?yàn)闊o(wú)人機(jī)集群的特殊性,在真實(shí)常態(tài)化場(chǎng)景中很難進(jìn)行驗(yàn)證,為此本文設(shè)計(jì)了經(jīng)典的電子對(duì)抗場(chǎng)景,以達(dá)到盡可能模擬還原無(wú)人機(jī)集群的自主協(xié)同決策過(guò)程這一最終目的,同時(shí)驗(yàn)證本文提出針對(duì)無(wú)人機(jī)集群協(xié)同對(duì)抗的可行性.在傳統(tǒng)模式下,假設(shè)的前提大多為敵方已然完全明晰本國(guó)策略,這在多變的實(shí)戰(zhàn)中幾乎是不會(huì)發(fā)生的情況,所以本文的主要方向?yàn)樽専o(wú)人機(jī)在實(shí)戰(zhàn)環(huán)境中自主進(jìn)行控制決策,且不需要完全獲得對(duì)方的控制決策,從而達(dá)到最優(yōu)無(wú)人機(jī)協(xié)同追捕、逃脫策略.1.2研究現(xiàn)狀無(wú)人機(jī)技術(shù)最早的起源就是軍事對(duì)抗，在越南戰(zhàn)場(chǎng)，美軍使用無(wú)人機(jī)進(jìn)行空中偵察以及電子情報(bào)傳輸，可視為無(wú)人機(jī)技術(shù)首次實(shí)戰(zhàn)應(yīng)用。在伊拉克戰(zhàn)場(chǎng)，無(wú)人機(jī)已經(jīng)可以完成同戰(zhàn)斗機(jī)的實(shí)時(shí)數(shù)據(jù)對(duì)接，進(jìn)行有效誘導(dǎo)和佯攻，為最終戰(zhàn)爭(zhēng)的勝利奠定了基礎(chǔ)[1]。后續(xù)經(jīng)過(guò)幾十年的科學(xué)研發(fā)，無(wú)人機(jī)的品類和應(yīng)用方式越發(fā)廣泛起來(lái)。因其載荷低且較為單一的特性，使其對(duì)于任務(wù)的執(zhí)行力較為有限，無(wú)人機(jī)技術(shù)轉(zhuǎn)向集群化方向可謂是必然選擇與結(jié)果。無(wú)人機(jī)的應(yīng)用，從單平臺(tái)轉(zhuǎn)向多平臺(tái)集群方向。[2]美國(guó)空軍科學(xué)顧問(wèn)委員會(huì)也提出了，無(wú)人機(jī)更適合以成群的方式完成任務(wù)而非單獨(dú)行動(dòng)。[3]美國(guó)國(guó)防部對(duì)于無(wú)人機(jī)較多的考慮平臺(tái)自主運(yùn)作轉(zhuǎn)換為多平臺(tái)協(xié)同運(yùn)作的模式，4并明確表示集群協(xié)作是當(dāng)前無(wú)人機(jī)系統(tǒng)陳、亟需的能力。如今國(guó)內(nèi)的民用和軍用無(wú)人機(jī)集群技術(shù)正在快速發(fā)展，有諸多科研機(jī)構(gòu)都相繼投入研發(fā)，羅德林[6]帶頭引入的多智能體系統(tǒng)理論，重新定義了個(gè)體無(wú)人機(jī)的定位，將其視為獨(dú)立智能體，同時(shí)構(gòu)造大規(guī)模集群對(duì)抗的模型，使無(wú)人機(jī)集群內(nèi)可以更為高效的完成協(xié)同對(duì)抗任務(wù).對(duì)無(wú)人機(jī)集群的路徑規(guī)劃、分配任務(wù)、自主執(zhí)行能力等均有較大突破。追逃問(wèn)題模型2.1條件預(yù)設(shè)無(wú)人機(jī)的尺度相對(duì)于其速度和空域大小很小，可視作質(zhì)點(diǎn)，無(wú)人機(jī)問(wèn)題可視作質(zhì)點(diǎn)的追逃問(wèn)題。此外，無(wú)人機(jī)的特殊性在于，接近一定距離之后即可攻擊，擁有捕獲半徑。攻擊方攜帶對(duì)地武器，防守方攜帶對(duì)空，雙方目的不同。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)化，本文賦予合理數(shù)值并進(jìn)行簡(jiǎn)單的前景預(yù)設(shè)：2.1.1λ大小討論設(shè)VP與Vλ＞1追捕者性能優(yōu)于逃跑者追捕者性能優(yōu)于、等于逃跑者情況下，大概率會(huì)出現(xiàn)，輕易捕獲或距離恒定結(jié)果，所以本文著重討論λ＜12.1.2問(wèn)題敘述本文只討論平面問(wèn)題，在已知攻擊縱深L=50km，也場(chǎng)地寬度的矩形場(chǎng)地ABCD上進(jìn)行無(wú)人機(jī)機(jī)群的協(xié)同對(duì)抗，紅方為防守方，紅方無(wú)人機(jī)以編隊(duì)方式進(jìn)行攔截，速度為VP=200m/s，最小轉(zhuǎn)彎半徑為Rp=350m，藍(lán)方為進(jìn)攻方，行進(jìn)速度為VP=250s，最小轉(zhuǎn)彎半徑為RE=500m，也就是進(jìn)攻方速度快但轉(zhuǎn)向速度慢，攔截方速度慢但轉(zhuǎn)向速度快。紅方編隊(duì)需要保證任何兩架無(wú)人機(jī)的間距需大于30m，每一架無(wú)人機(jī)與本集群中至少兩架無(wú)人機(jī)的距離不超過(guò)200m。當(dāng)紅方無(wú)人機(jī)群由運(yùn)載機(jī)藍(lán)方無(wú)人機(jī)與紅方任何2架無(wú)人機(jī)的距離均小于R=300時(shí)，則認(rèn)為此藍(lán)方無(wú)人機(jī)被成功攔截。若藍(lán)方無(wú)人機(jī)到達(dá)底線也就是最右邊邊界同時(shí)所用時(shí)間小于360s時(shí)，就認(rèn)為藍(lán)方無(wú)人機(jī)進(jìn)攻成功。紅方無(wú)人機(jī)編隊(duì)由紅方運(yùn)載機(jī)運(yùn)輸?shù)綀?chǎng)內(nèi)并投放，投放5架，初始隊(duì)形為圓形，隨后可根據(jù)需要隨意變化。任何時(shí)刻，紅方運(yùn)載機(jī)與任意一架無(wú)人機(jī)的距離大于100m，與所屬無(wú)人機(jī)編隊(duì)中至少一架無(wú)人機(jī)的距離不超過(guò)10km，與藍(lán)方的突防無(wú)人機(jī)的距離大于5km追擊與捕獲：兩架紅方運(yùn)載機(jī)初始時(shí)刻投放無(wú)人機(jī)攔截編隊(duì)，投放位置為CD邊上的G1和G2兩點(diǎn)，DG1=20，G1G2=30突破與防守：藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置固定，為邊界AB中點(diǎn)，紅方無(wú)人機(jī)位于邊界CD上，具體位置可自主設(shè)定。求出通道帶寬M的下限Mmin，使得實(shí)際通道帶寬M比Mmin2.1.3模型假設(shè)（1）本文只考慮平面上的紅藍(lán)雙方對(duì)抗；（2）雙方無(wú)人機(jī)均裝載有探測(cè)裝置和數(shù)據(jù)鏈，能夠準(zhǔn)確探測(cè)對(duì)方無(wú)人機(jī)和己方無(wú)人機(jī)的實(shí)時(shí)位置；紅藍(lán)雙方無(wú)人機(jī)的速度保持不變，運(yùn)動(dòng)的方向可根據(jù)機(jī)動(dòng)策略的需要隨時(shí)改變，但是受轉(zhuǎn)彎半徑的限制；（4）紅方運(yùn)載機(jī)布設(shè)無(wú)人機(jī)集群為瞬間布好；（5）紅方無(wú)人機(jī)在對(duì)抗過(guò)程中不要求全程按照某一固定隊(duì)形飛行，可根據(jù)需要隨時(shí)調(diào)整隊(duì)形3.追擊與捕獲3.1非對(duì)稱的追捕問(wèn)題與阿波羅尼奧斯圓紅方兩個(gè)無(wú)人機(jī)集群初始位置固定，初始隊(duì)形固定，但初始速度方向，隊(duì)形朝向沒(méi)有固定，因此紅方在藍(lán)方運(yùn)行的過(guò)程中最大機(jī)動(dòng)范圍為可等效為一系列同心圓。同樣藍(lán)隊(duì)的初始速度方向也沒(méi)有固定，則此問(wèn)題可以等效為多對(duì)一非對(duì)稱的追捕問(wèn)題，可以用阿波羅尼奧斯圓來(lái)劃分可以逃脫與不能逃脫的區(qū)域[7]。圖1-1阿波羅尼奧斯圓如圖1-1所示，E點(diǎn)為藍(lán)方無(wú)人機(jī)，P點(diǎn)為紅方單個(gè)攔截?zé)o人機(jī)，已有文獻(xiàn)證明當(dāng)雙方無(wú)人機(jī)滿足λ<1，且都用最大速度飛行，則可以同時(shí)到達(dá)的點(diǎn)所形成線為阿波羅尼奧斯圓，藍(lán)方無(wú)人機(jī)必須經(jīng)過(guò)阿波羅尼奧斯圓才有可能與紅方攔截機(jī)相遇，并且相遇點(diǎn)位于阿波羅尼奧斯圓內(nèi)。阿波羅尼奧斯圓的方程描述如下:阿波羅尼奧斯圓的圓心坐標(biāo)為O(1-1)圓的半徑:(1-2)3.2靜態(tài)最大捕獲范圍等效捕獲距離在本文中，藍(lán)方無(wú)人機(jī)同時(shí)位于兩架紅方無(wú)人機(jī)的捕獲范圍（R=300）時(shí)，則認(rèn)為紅方成功攔截了藍(lán)方無(wú)人機(jī)，因此阿波羅尼奧斯圓無(wú)法直接描述紅方的最大捕獲范圍。對(duì)此問(wèn)題建模如下。3.2.1靜態(tài)最大捕獲范圍計(jì)算靜態(tài)最大捕獲范圍：?jiǎn)栴}中描述為藍(lán)方無(wú)人機(jī)必須至少與紅方任何2架無(wú)人機(jī)的距離均小于R=300m時(shí)，則認(rèn)為此藍(lán)方無(wú)人機(jī)被成功攔截，故一定存在一個(gè)最大捕獲距離，則其相對(duì)應(yīng)的為靜態(tài)最大捕獲范圍。圖1-2靜態(tài)最大捕獲距離示意圖如圖1-2所示，設(shè)A1、A2為兩個(gè)紅方無(wú)人機(jī)，以A1、A2為圓心，捕獲半徑R=300為半徑做圓，兩圓交于T點(diǎn)，線段OT垂直于直線AOT長(zhǎng)度與A1、A2長(zhǎng)度負(fù)相關(guān)，紅方兩架無(wú)人機(jī)最短距離為30m，A1、A2長(zhǎng)度最小為30，即因此最大OT長(zhǎng)度約為299.62m。規(guī)定了紅方無(wú)人機(jī)初始位置和隊(duì)形，對(duì)初始速度方向均無(wú)硬性要求，則紅隊(duì)無(wú)人機(jī)編隊(duì)飛行時(shí)可能朝向任意角度。如圖1-3，A1圖1-3靜態(tài)最大捕獲范圍示意圖3.2.2最優(yōu)隊(duì)形紅方任何一架無(wú)人機(jī)任何時(shí)刻與本集群中至少兩架無(wú)人機(jī)的距離不超過(guò)200m，則最小編隊(duì)為3架無(wú)人機(jī)，又由于一隊(duì)無(wú)人機(jī)由5架組成，因此紅方一隊(duì)無(wú)人機(jī)無(wú)法拆成兩隊(duì)飛行。本文提出了如下隊(duì)形如圖1-4，兼具最大編隊(duì)半徑與最大可能捕獲距離。其中A1到??5為紅的一個(gè)編隊(duì)，5個(gè)點(diǎn)組成兩個(gè)等邊三角形△A1A2A3和△A1圖1-4最優(yōu)隊(duì)形示意圖3.3動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍計(jì)算動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍：根據(jù)藍(lán)方無(wú)人機(jī)的位置，與靜態(tài)最大捕獲范圍邊上的點(diǎn)相對(duì)應(yīng)的阿波羅尼奧斯圓的集合所形成的范圍，為動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍。阿波羅尼奧斯圓描述的是追逃兩者相遇位置，而在本題當(dāng)藍(lán)方進(jìn)入紅方的靜態(tài)捕獲范圍中就算作被捕獲，因此捕獲發(fā)生在相遇之前，紅方最大的動(dòng)態(tài)捕獲范圍要比阿波羅尼奧斯圓大。建模如下。若給與紅方無(wú)人機(jī)初始位置的偏移，使其向更利于捕獲的方向移動(dòng)與靜態(tài)捕獲半徑相同的距離，則此時(shí)可以等效為紅方攔截?zé)o人機(jī)只有與藍(lán)方無(wú)人機(jī)相遇才算做被捕獲。如圖1-5所示，由于雙方無(wú)人機(jī)初始運(yùn)動(dòng)方向的任意性，因此偏移后的紅方攔截?zé)o人機(jī)位置分布在以初始位置為圓心，靜態(tài)最大捕獲距離為半徑的圓上。圖1-5紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群初始位置的等效圓示意圖圖1-6簡(jiǎn)易動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍示意圖紅方無(wú)人機(jī)可以在等效圓上的任意一點(diǎn)，因此，動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍為藍(lán)方無(wú)人機(jī)與紅方無(wú)人機(jī)初始位置等效圓上所有點(diǎn)對(duì)應(yīng)的一系列阿波羅尼奧斯圓的并集。如圖1-7所示，以四個(gè)可能點(diǎn)為例展示，其中灰色圓為阿波羅尼奧斯圓,且四個(gè)圓半徑不完全相同，圓心也不相同，故其不是同心圓，灰色區(qū)域并集為動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍的一部分。3.3.1動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍求解根據(jù)阿波羅尼奧斯圓圓心坐標(biāo)可知，若紅方無(wú)人機(jī)編隊(duì)一系列P點(diǎn)在一個(gè)圓上，則其分別對(duì)應(yīng)的阿波羅尼奧斯圓圓心也會(huì)分布在一個(gè)圓上。圖1-7單一動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍邊界點(diǎn)的求解示意圖如圖1-7，設(shè)E點(diǎn)為藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置，其坐標(biāo)為（XE,YE）,P點(diǎn)為單隊(duì)紅方無(wú)人機(jī)初始編隊(duì)圓中心，其坐標(biāo)為（XP,YP），P′點(diǎn)在紅方無(wú)人機(jī)靜態(tài)最大捕獲圓上，其坐標(biāo)為（XP',YP'）,半徑為R1=499m，O點(diǎn)為追捕者P與逃脫者E對(duì)應(yīng)的阿波羅尼奧斯圓圓心，其坐標(biāo)為（XO,YO）,O’點(diǎn)為P′與E點(diǎn)對(duì)應(yīng)阿波羅尼奧斯圓圓心，其坐標(biāo)為（XO',Y由阿波羅尼奧斯圓圓心公式可得O點(diǎn)坐標(biāo)為：(1-4)O’點(diǎn)坐標(biāo)為：(1-5)以O(shè)′點(diǎn)為圓心的阿波羅尼奧斯圓的半徑為：R2可得以O(shè)’點(diǎn)為圓心的阿波羅尼奧斯圓的方程為：(XNN′點(diǎn)為OO′與阿波羅尼奧斯圓的交點(diǎn),則N′坐標(biāo)為(1-7)P′點(diǎn)所在圓形方程為：(X遍歷N′可得動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍邊界數(shù)值解。3.4捕獲與逃脫條件通過(guò)以上過(guò)程我們建立了任意初始位置的一隊(duì)紅方編隊(duì)追捕單個(gè)藍(lán)方無(wú)人機(jī)的動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍，第二隊(duì)紅方編隊(duì)的動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍同理可得，則會(huì)得到如下結(jié)果.3.4.1捕獲與逃脫條件圖1-8能逃脫的藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置的示意圖其中□ABCD為場(chǎng)上邊界，P1和P2為紅方無(wú)人機(jī)編隊(duì)圓心初始位置，E為藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置，根據(jù)預(yù)設(shè)前提規(guī)定底線為線段CD所在直線?？梢苑謩e得到以E為逃脫者對(duì)應(yīng)p1若當(dāng)兩個(gè)動(dòng)態(tài)捕獲范圍邊線與底線所在直線有3個(gè)或4個(gè)交點(diǎn)時(shí),設(shè)P1對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)捕獲范圍與底線及其延長(zhǎng)線的交點(diǎn)為U1、U2，P2對(duì)應(yīng)交點(diǎn)為U3、U同時(shí)U1>U2；U3>U43.4.2紅方初始靜態(tài)捕獲圓在求得的范圍中需要將初始就在紅方無(wú)人機(jī)集群靜態(tài)太最大捕獲范圍內(nèi)的點(diǎn)去掉，相當(dāng)于去掉兩個(gè)以G1、G3.4.3線性插補(bǔ)求解數(shù)值解交點(diǎn)由于本文所求的動(dòng)態(tài)捕獲范圍是數(shù)值解，很大可能無(wú)法求解出U1、U2、U3如下：初始化k1=1，k2（2）在P1動(dòng)態(tài)捕獲范圍中查找XN'n＜L且XN'n+1＞L或者XN'n＞L且XN'n+1＜L，記錄X（3）計(jì)算=JK1=YN'n+1-(XN'n+1?L)(XN'（4）若J1<J2，U1=J2，U2=J1否則U1=J1，U2=J2；（5）在P2動(dòng)態(tài)捕獲范圍中查找XN′n<L且XN′n+1>L或者記錄XN′n＞L且XN′n+1＜L，記錄X（6）計(jì)算IK2=YN′n+1?(XN′（7）若I1<I2，U3=I2,，U4=I1否則U3=I1，U4=I2,結(jié)束。3.5追擊與捕獲結(jié)論圖1-9對(duì)于藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置所形成的動(dòng)態(tài)最大捕捉范圍的示意圖從圖1-9中看出，G1和G2點(diǎn)對(duì)于藍(lán)方無(wú)人機(jī)所形成的動(dòng)態(tài)最大捕捉范圍不是正圓。圖1-10能逃脫的藍(lán)方無(wú)人機(jī)的范圍在圖1-10藍(lán)色區(qū)域表示在這個(gè)位置出發(fā)的藍(lán)方無(wú)人機(jī)都能躲避紅方無(wú)人機(jī)集群的攔截到達(dá)底線。其中藍(lán)方無(wú)人機(jī)的初始位置的精度在100m，其因?yàn)榧t方無(wú)人機(jī)集群的探查范圍為R1，所以在邊界CD上如圖所示，會(huì)存在一個(gè)以G1和G2點(diǎn)為圓心，以R1為半徑的半圓是沒(méi)有任何藍(lán)色飛機(jī)能飛出去的可能。因?yàn)镚1和G2是以點(diǎn)（50，35）對(duì)稱的，故圖10呈現(xiàn)的藍(lán)色飛機(jī)所能飛出底線CD的初始位置的范圍是以y=35呈對(duì)稱的。因?yàn)檫吘€會(huì)對(duì)可逃脫的點(diǎn)有影響，故如圖10所示，其最外圍的藍(lán)色飛機(jī)所能飛出底線CD的初始位置的點(diǎn)并不與G1和G2處于同一個(gè)y邊線也會(huì)影響可逃脫的點(diǎn)使得可逃脫的點(diǎn)并不對(duì)成，或?qū)ΨQ軸并不對(duì)齊。藍(lán)方無(wú)人機(jī)的最佳突圍策略為：在范圍內(nèi)的藍(lán)方無(wú)人機(jī)直接向沒(méi)有被兩個(gè)動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍覆蓋的底線區(qū)域移動(dòng)直至接觸底線；在范圍外的藍(lán)色無(wú)人機(jī)先向最近的范圍邊線移動(dòng)，然后向最近的沒(méi)有被兩個(gè)動(dòng)態(tài)最大捕獲范圍覆蓋的底線區(qū)域移動(dòng)直至接觸底線.4.突破與防守4.1關(guān)于場(chǎng)中線對(duì)稱的突防與防守策略與求解由圖2-1可知，藍(lán)方無(wú)人機(jī)于邊界AB的中心點(diǎn)出發(fā)，由于紅方無(wú)法預(yù)知藍(lán)方無(wú)人機(jī)的飛行方向，顯然，紅方運(yùn)載機(jī)釋放無(wú)人機(jī)集群的位置應(yīng)關(guān)于邊界CD的中點(diǎn)對(duì)稱。圖2-1上區(qū)域內(nèi)的突防示意圖將整片區(qū)域視作按邊界AB中點(diǎn)E與CD中點(diǎn)連線所分成的上、下兩區(qū)域，在上區(qū)域中考慮FYO1及其釋放的無(wú)人機(jī)集群，由于紅藍(lán)雙方速度比已知，當(dāng)帶寬未知時(shí)，由第三章公式可證得得，阿波羅尼奧斯圓的圓心與半徑與G1的縱坐標(biāo)YG1有關(guān)。由于藍(lán)方無(wú)人機(jī)受突防時(shí)間限制，對(duì)于紅方無(wú)人機(jī)集群,其各自阿波羅尼奧斯圓應(yīng)覆蓋盡可能長(zhǎng)的邊界當(dāng)SC等于0，即運(yùn)載機(jī)FYO1與FYO2釋放的無(wú)人機(jī)群形成的等效阿波羅尼奧斯圓相交與CD中點(diǎn)時(shí)，其覆蓋了最長(zhǎng)的邊界長(zhǎng)度，此時(shí)，邊界長(zhǎng)度就是待求的通道帶寬下限Mmin。由阿波羅尼奧斯圓的性質(zhì)可得，只考慮上區(qū)域，當(dāng)?shù)刃О⒉_尼奧斯圓于邊界相交于D以及CD中點(diǎn)F，相當(dāng)于從以G1為圓心，最大捕獲范圍為半徑的圓的圓周上取一點(diǎn)P1，使得P1F/EF=4/5，即P1F=40km。；取一點(diǎn)P2，使P2D/ED=4/5，ED=L2由于藍(lán)方無(wú)人機(jī)存在突防時(shí)間上限，同時(shí)通道存在邊界，因此對(duì)于紅方無(wú)人機(jī)群，最佳攔截策略是覆蓋點(diǎn)F，使得F處在等效阿波羅尼奧斯圓內(nèi)，與阿波羅尼奧斯圓的圓周距離為ε(ε→0)。藍(lán)方無(wú)人機(jī)的速度大于紅方無(wú)人機(jī)，考慮當(dāng)通道帶寬無(wú)限，同時(shí)藍(lán)方無(wú)人機(jī)不受最長(zhǎng)突防時(shí)間限制時(shí)的情況，藍(lán)方無(wú)人機(jī)一定可以通過(guò)使用沿Y軸方向飛行最夠長(zhǎng)的距離后轉(zhuǎn)向X軸，從而成功突防。現(xiàn)將對(duì)于藍(lán)方無(wú)人機(jī)最不利的繞過(guò)紅方無(wú)人機(jī)的情況描述如下：紅方無(wú)人機(jī)與藍(lán)方無(wú)人機(jī)相向運(yùn)動(dòng)，在某時(shí)刻的距離為l。雙方同時(shí)向同一與原速度方向垂直的方向運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，紅方無(wú)人機(jī)積累了足夠長(zhǎng)的垂直方向距離優(yōu)勢(shì)(250-200)t=50t，重新轉(zhuǎn)向原方向前進(jìn)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t1，剛好與沿垂直方向前進(jìn)的紅方無(wú)人機(jī)相遇。紅方無(wú)人機(jī)以200的速度前進(jìn)50t所用的時(shí)間t1=t/4，藍(lán)方在t1內(nèi)前進(jìn)了l，故l=250t/4，t=4l/250。藍(lán)方無(wú)人機(jī)完成超越的總時(shí)間為T(mén)=t+t1=l/50，與l成正比；在垂直方向運(yùn)動(dòng)的總距離s=250t=4l，與l成正比。因此，雙方距離越遠(yuǎn)，藍(lán)方無(wú)人機(jī)需向垂直方向運(yùn)動(dòng)更遠(yuǎn)的距離，消耗更多的時(shí)間，考慮通道帶寬與突防時(shí)間限制，在雙方距離較遠(yuǎn)處進(jìn)行轉(zhuǎn)彎?rùn)C(jī)動(dòng)，對(duì)藍(lán)方無(wú)人機(jī)突防成功是不利的。因此，藍(lán)方無(wú)人機(jī)在AB中點(diǎn)出發(fā)時(shí)的最佳突防策略是，在與紅方無(wú)人機(jī)X軸方向距離較遠(yuǎn)時(shí)，沿X軸方向前進(jìn)，縮短與紅方無(wú)人機(jī)在X軸方向的距離；在與紅方無(wú)人機(jī)X軸方向距離較近時(shí)，執(zhí)行轉(zhuǎn)彎操作以到達(dá)邊界。紅方無(wú)人機(jī)攔截成功的條件可以等效為，VEX<50，目的是令藍(lán)方無(wú)人機(jī)加長(zhǎng)飛行時(shí)間以及靠近邊界。因此，突防策略為沿向量ED方向。用以下三個(gè)方程求得Mmin其中，R1和O1分別為由藍(lán)方無(wú)人機(jī)出發(fā)點(diǎn)E和紅方無(wú)人機(jī)出發(fā)點(diǎn)P1將上述方程組列出：式中YP,θ1,θ此處的M即為通道帶寬下限。4.2以藍(lán)方無(wú)人機(jī)位于紅方無(wú)人機(jī)捕獲半徑為唯一捕獲條件的最小帶寬與時(shí)間4.2.1紅方無(wú)人機(jī)無(wú)法直接攔截論證由于一方面阿波羅尼奧斯圓和動(dòng)態(tài)捕獲最大范圍只是理論上紅方無(wú)人機(jī)能夠捕獲藍(lán)方無(wú)人機(jī)的可能范圍，即是否一定可以捕獲到并不能做出準(zhǔn)確判斷，最終判斷能否捕獲的標(biāo)準(zhǔn)為在時(shí)刻T，藍(lán)方無(wú)人機(jī)出現(xiàn)位于紅方無(wú)人機(jī)捕獲半徑上的狀態(tài)，在T時(shí)刻之前藍(lán)方無(wú)人機(jī)均有機(jī)會(huì)突破紅方無(wú)人機(jī)攔截。之前的論證不考慮雙方轉(zhuǎn)彎半徑，以下將考慮雙方轉(zhuǎn)彎半徑，以藍(lán)方無(wú)人機(jī)出現(xiàn)位于紅方無(wú)人機(jī)捕獲半徑為唯一捕獲條件，討論紅藍(lán)兩方最佳機(jī)動(dòng)方案。上文中論證了藍(lán)方只有一開(kāi)始走中線才能花費(fèi)最小時(shí)間突破紅方攔截，而且在帶寬足夠的情況下，紅方無(wú)人機(jī)無(wú)法通過(guò)機(jī)動(dòng)策略來(lái)捕獲藍(lán)方無(wú)人機(jī)，只能消耗藍(lán)方無(wú)人機(jī)剩余機(jī)動(dòng)時(shí)間來(lái)進(jìn)行攔截。4.2.2紅方無(wú)人機(jī)的兩種最佳防守策略圖2-2最優(yōu)攔截策略的示意圖在只有兩個(gè)紅方無(wú)人機(jī)群時(shí)，會(huì)有以上兩種最優(yōu)攔截策略，相應(yīng)在帶寬足夠的情況下，藍(lán)方也會(huì)有相應(yīng)機(jī)動(dòng)策略和最近機(jī)動(dòng)距離D。第一種策略如圖2-2左所示，紅方兩無(wú)人機(jī)群先后在中線上飛行，藍(lán)方開(kāi)始機(jī)動(dòng)同時(shí)機(jī)動(dòng)，以期有最大的攔截帶寬。第二種策略如圖2-2右所示，紅方無(wú)人機(jī)上下對(duì)稱分布，在保證藍(lán)方無(wú)人機(jī)不會(huì)從中間通過(guò)的最大間距下，在藍(lán)方開(kāi)始機(jī)動(dòng)同時(shí)機(jī)動(dòng)，以期有最大的攔截帶寬。首先證明雙方在到達(dá)藍(lán)方最短機(jī)動(dòng)距離之前機(jī)動(dòng)沒(méi)有意義：若紅方偏離中線，則藍(lán)方繼續(xù)保持沿中線飛行，到達(dá)最短機(jī)動(dòng)距離時(shí)機(jī)動(dòng)即可。藍(lán)方若提前機(jī)動(dòng)，紅方也可跟隨做相應(yīng)激動(dòng)，而藍(lán)方如果繼續(xù)機(jī)動(dòng)，以期出現(xiàn)不用通過(guò)最短機(jī)動(dòng)距離時(shí)的機(jī)動(dòng)策略突破紅方無(wú)人及攔截，首先這種機(jī)動(dòng)需要占用一定帶寬，其次斜向的機(jī)動(dòng)使得橫向機(jī)動(dòng)分量變小，延長(zhǎng)了藍(lán)方的突破時(shí)間。因此藍(lán)方在到達(dá)最短機(jī)動(dòng)距離之前，不會(huì)偏離中線飛行。討論以上紅方兩個(gè)編隊(duì)的兩種相對(duì)位置關(guān)系時(shí)，藍(lán)方為了突破攔截需要占用的帶寬W消耗的時(shí)間T由于紅方無(wú)人機(jī)的轉(zhuǎn)彎半徑比藍(lán)方無(wú)人機(jī)小,因此假設(shè)紅方無(wú)人機(jī)的最大捕獲范圍一直朝向藍(lán)方無(wú)人機(jī)。4.2.3兩種策略的求解兩種情況對(duì)所用帶寬W，時(shí)間T的最小值求解，對(duì)前進(jìn)距離S，平均前進(jìn)速度V求解：情況一求解圖2-3一對(duì)一追逃示意圖首先分析一對(duì)一追逃情況，在此稱為情況一，情況一解析圖如上圖所示：圖中虛線為場(chǎng)中線，以場(chǎng)中線為X軸建系，上半場(chǎng)為Y正方向，P1某紅方無(wú)人機(jī)初始位置，E1為藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置P3為整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群與藍(lán)方無(wú)人機(jī)距離最小的紅方無(wú)人機(jī)群的位置，距離為捕獲半徑，E4為整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群與藍(lán)方無(wú)人機(jī)距離最小的藍(lán)方無(wú)人機(jī)的位置，距離為捕獲半徑。因?yàn)镋1與P1同時(shí)都在場(chǎng)中線上，故藍(lán)方無(wú)人機(jī)不會(huì)沿著場(chǎng)中線直接飛而逃脫紅方攔截。E2O1、O2為藍(lán)方無(wú)人機(jī)兩次轉(zhuǎn)向圓心，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向角度相等為θ1，半徑r1為500m。O3藍(lán)方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T內(nèi)走過(guò)的路程為兩段圓弧與一條直線的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度等于時(shí)間與藍(lán)方無(wú)人機(jī)速度的乘積：E整理得：2θ紅方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T內(nèi)走過(guò)的路程為一段圓弧與一條直線的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度等于時(shí)間與紅無(wú)人機(jī)速度的乘積：P整理得：θ紅藍(lán)雙方在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離相同：T?E4與中線的Y軸差YE4，為兩個(gè)圓弧與一條線段的2*r1?(1?cosθP3與中線的Y軸差YP3,為一個(gè)圓弧與一條線段的r2?(1?cosθE4與P3距離為捕獲半徑Y(jié)E4=Y綜上可得一下等式：上式中未知量有T、θ1、θ2、E2E3、P2P3，紅方為被動(dòng)機(jī)動(dòng)方，只有確定藍(lán)方機(jī)動(dòng)方向才能機(jī)動(dòng)，藍(lán)方則會(huì)選擇消耗帶寬最短的最近機(jī)動(dòng)距離，通過(guò)多次論證分析發(fā)現(xiàn)：若要藍(lán)方機(jī)動(dòng)，θ1以下是消耗最小帶寬時(shí)紅藍(lán)雙方行進(jìn)路線：圖2-4一對(duì)一追逃結(jié)果此時(shí)，所用帶寬為：3.79km消耗時(shí)間為：17.44sX軸方向行進(jìn)長(zhǎng)度：1km策略一求解圖2-5紅方橫向編隊(duì)追逃示意圖策略一解析圖如上圖所示：圖中虛線為場(chǎng)中線，P1、P2為紅方無(wú)人機(jī)初始位置，E1為藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置，P3E2、E3為藍(lán)方機(jī)動(dòng)過(guò)程中可能經(jīng)過(guò)的直線與O1、O2為藍(lán)方無(wú)人機(jī)兩次轉(zhuǎn)向圓心，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向角度為θ1，半徑r1為500m。O3、O4藍(lán)方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T1E既：θ紅方無(wú)人機(jī)P1在時(shí)間TP既：θ紅藍(lán)雙方在T1T1?E5與P3距離為捕獲半徑E藍(lán)方無(wú)人機(jī)P2在時(shí)間T于時(shí)間與藍(lán)方無(wú)人機(jī)速度的乘積：E整理得：2θ紅方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T2P整理得：θ紅藍(lán)在T2T2?E4與中線的Y軸差YE4，為兩個(gè)圓弧與一條線段的2*r1?(1?cosθP4與中線的Y軸差YP4r2?(1?cosθE4與P3距離為捕獲半徑Y(jié)綜上可得一下等式通過(guò)情況一和相關(guān)推導(dǎo)可以得到策略一這種策略為情況一下最大占用帶寬的2倍。因此策略一所用帶寬為：18.6km消耗時(shí)間為：34.88sX軸方向行進(jìn)長(zhǎng)度：1km策略二求解圖2-5當(dāng)紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群不在場(chǎng)中線，紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群與藍(lán)方無(wú)人機(jī)的策略示意圖第一種隊(duì)形的另一種形式解析圖如圖2-5所示：圖中虛線為場(chǎng)中線，以場(chǎng)中線為x軸建系，上半場(chǎng)為Y正方向，P1為紅方無(wú)人機(jī)群初始位置，E1為藍(lán)方無(wú)人機(jī)初始位置，P3和P5為整個(gè)機(jī)動(dòng)過(guò)程中，紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群與藍(lán)方無(wú)人機(jī)距離最小的紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群的位置，距離為捕獲半徑。E4如圖所示，在紅方無(wú)人機(jī)集群在藍(lán)方無(wú)人機(jī)斜上方的時(shí)候，對(duì)于藍(lán)方無(wú)人機(jī)有兩種越過(guò)的方法：（1）藍(lán)方無(wú)人機(jī)沿著E1E（2）藍(lán)方無(wú)人機(jī)沿著E1同時(shí)，對(duì)與紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群其攔截藍(lán)方無(wú)人機(jī)的策略來(lái)說(shuō)也就有兩種，并且與藍(lán)方無(wú)人機(jī)的策略一一對(duì)應(yīng)，1.紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群沿著P12.紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群沿著P1E2E3為直線，O1O2為藍(lán)方無(wú)人機(jī)兩次轉(zhuǎn)向圓心，對(duì)應(yīng)轉(zhuǎn)向角度相等為θ1,半徑r1為500m。O3、O4先討論藍(lán)色無(wú)人機(jī)采用策略（1），紅色無(wú)人機(jī)機(jī)群采用策略1的時(shí)候：藍(lán)方無(wú)人機(jī)從E1到E5的時(shí)間與紅方無(wú)人機(jī)機(jī)群從P1E4與中線的Y軸距離為Y2?r1?(1?cosP3與中線的Y軸距離為Yr2?(1?cosθE4與P3距離為捕獲半徑Y(jié)E4再討論藍(lán)色無(wú)人機(jī)采用策略（2），紅色無(wú)人機(jī)機(jī)群采用策略2的時(shí)候，此時(shí)對(duì)于第一種情況的來(lái)說(shuō)，是第一種情況的特殊情況，即P1距離場(chǎng)中線的距離為藍(lán)方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T內(nèi)走過(guò)的路程為兩段圓弧與一條直線的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度等于時(shí)間與藍(lán)方無(wú)人機(jī)速度的乘積：E紅方無(wú)人機(jī)在時(shí)間T內(nèi)走過(guò)的路程為一段圓弧與一條直線的長(zhǎng)度，長(zhǎng)度等于時(shí)間與紅無(wú)人機(jī)速度的乘積：P紅藍(lán)在T時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的距離相同：T?E5與中線的Y軸的距離YE5，為兩個(gè)圓弧與一條線段的r靜=P2與中線的Y軸差YP2,為一個(gè)圓弧與一條線段的Yp5+P與情況一相同，紅方為被動(dòng)機(jī)動(dòng)方，只有確定藍(lán)方機(jī)動(dòng)方向才能機(jī)動(dòng)，藍(lán)方則會(huì)選擇消耗帶寬最短的最近機(jī)動(dòng)距離，通過(guò)多次論證分析發(fā)現(xiàn)：若要藍(lán)方機(jī)動(dòng)，θ1、θ2都是90°，即藍(lán)方飛機(jī)為了產(chǎn)生可以通過(guò)的Y軸差即最小消耗帶寬一定會(huì)垂直于以下是消耗最小帶寬時(shí)紅藍(lán)雙方行進(jìn)路線：圖2-7紅方縱向編隊(duì)追逃結(jié)果可得策略二：所用帶寬為：9.29km消耗時(shí)間為：39.44sX軸方向行進(jìn)長(zhǎng)度：1km機(jī)動(dòng)前紅方攔截機(jī)于X周偏差：1.1km各種策略的總結(jié)綜上可得下表：所用帶寬X軸方向行進(jìn)長(zhǎng)度消耗時(shí)間機(jī)動(dòng)前紅方攔截機(jī)場(chǎng)中線距離情況一3.79km1km17.44s0策略一18.6km1km34.88s0策略二9.29km1km39.44s1.1km表4-1二對(duì)一追逃結(jié)果由表4-1可以得到策略二的帶寬占用和消耗時(shí)間都是最大值，因此紅方飛機(jī)一定會(huì)選擇策略二來(lái)進(jìn)