2026屆河南省平頂山市、許昌市、汝州高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，那么函數(shù)在x＝π處的瞬時(shí)變化率為（）A. B.0C. D.2．在正四面體中，點(diǎn)為所在平面上動(dòng)點(diǎn)，若與所成角為定值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.圓 B.橢圓C.雙曲線 D.拋物線3．已知為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則（）A.30 B.C. D.30或4．我們知道，償還銀行貸款時(shí)，“等額本金還款法”是一種很常見(jiàn)的還款方式，其本質(zhì)是將本金平均分配到每一期進(jìn)行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數(shù)，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創(chuàng)業(yè)的大學(xué)生張華向銀行貸款的本金為48萬(wàn)元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個(gè)月還一次款，20年還清，貸款月利率為，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則（）A.2192 B.C. D.5．已知，，，，則（）A. B.C. D.6．如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，若，，，則下列向量與相等的是（）A. B.C. D.7．把直線繞原點(diǎn)逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，使它與圓相切，則直線轉(zhuǎn)動(dòng)的最小正角度A. B.C. D.8．已知半徑為2的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），則其圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為（）A.10 B.11C.12 D.139．函數(shù)在其定義域內(nèi)可導(dǎo)，的圖象如圖所示，則導(dǎo)函數(shù)的圖象為A. B.C. D.10．若雙曲線的漸近線方程為，則實(shí)數(shù)a的值為（）A B.C.2 D.11．設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F且垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若，則（）A1 B.2C.4 D.812．已知?jiǎng)狱c(diǎn)的坐標(biāo)滿足方程，則的軌跡方程是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，，若，則實(shí)數(shù)m的值是___________.14．已知為橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，P，Q為C上關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，則四邊形的面積為_(kāi)_______15．如圖①，用一個(gè)平面去截圓錐，得到的截口曲線是橢圓.許多人從純幾何的角度出發(fā)對(duì)這個(gè)問(wèn)題進(jìn)行過(guò)研究，其中比利時(shí)數(shù)學(xué)家（1794-1847）的方法非常巧妙，極具創(chuàng)造性.在圓錐內(nèi)放兩個(gè)大小不同的球，使得它們分別與圓錐的側(cè)面，截面相切，兩個(gè)球分別與截面相切于，在截口曲線上任取一點(diǎn)，過(guò)作圓錐的母線，分別與兩個(gè)球相切于，由球和圓的幾何性質(zhì)，可以知道，，于是.由的產(chǎn)生方法可知，它們之間的距離是定值，由橢圓定義可知，截口曲線是以為焦點(diǎn)的橢圓.如圖②，一個(gè)半徑為2的球放在桌面上，桌面上方有一個(gè)點(diǎn)光源，則球在桌面上的投影是橢圓.已知是橢圓的長(zhǎng)軸，垂直于桌面且與球相切，，則橢圓的離心率為_(kāi)__________.16．某校開(kāi)展“讀書(shū)月”朗誦比賽，9位評(píng)委為選手A給出的分?jǐn)?shù)如右邊莖葉圖所示.記分員在去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分后算得平均分為91，復(fù)核員在復(fù)核時(shí)發(fā)現(xiàn)有一個(gè)數(shù)字（莖葉圖中的x）無(wú)法看清，若記分員計(jì)算無(wú)誤，則數(shù)字x應(yīng)該是___________.選手A87899924x15三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列，，其中，是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，滿足，，且（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和18．（12分）已知公差不為零的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，成等比數(shù)列且滿足________.請(qǐng)?jiān)冖?；②；③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并回答以下問(wèn)題.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，，若點(diǎn)P為棱上一點(diǎn)，且，Q，R分別為棱上的點(diǎn)，且.（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求平面與平面的夾角的余弦值.20．（12分）求下列不等式的解集：（1）；（2）21．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）設(shè)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，且，若，求證：.22．（10分）如圖，已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)是軸上一定點(diǎn)，過(guò)的直線交與兩點(diǎn).（1）若過(guò)的直線交拋物線于，證明縱坐標(biāo)之積為定值；（2）若直線分別交拋物線于另一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn).證明：成等比數(shù)列.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求出，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義即可得到結(jié)論【詳解】由題設(shè)，，所以，函數(shù)在x＝π處瞬時(shí)變化率為，故選：A2、B【解析】把條件轉(zhuǎn)化為與圓錐的軸重合，面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡后即可求解.【詳解】以平面截圓錐面，平面位置不同，生成的相交軌跡可以為拋物線、雙曲線、橢圓、圓.令與圓錐的軸線重合，如圖所示，則圓錐母線與所成角為定值，所以面與圓錐的相交軌跡即為點(diǎn)的軌跡.根據(jù)題意，不可能垂直于平面即軌跡不可能為圓.面不可能與圓錐軸線平行，即軌跡不可能是雙曲線.可進(jìn)一步計(jì)算與平面所成角為，即時(shí)，軌跡為拋物線，時(shí)，軌跡為橢圓，，所以軌跡為橢圓.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了平面截圓錐面所得軌跡問(wèn)題，考查了轉(zhuǎn)化化歸思想，屬于難題.3、A【解析】利用等比數(shù)列基本量代換代入，列方程組，即可求解.【詳解】由得，則等比數(shù)列的公比，則得，令，則即，解得或（舍去），，則故選：A4、D【解析】計(jì)算出每月應(yīng)還的本金數(shù)，再計(jì)算第n個(gè)月已還多少本金，由此可計(jì)算出個(gè)月的還款金額.【詳解】由題意可知：每月還本金為2000元，設(shè)張華第個(gè)月的還款金額為元，則，故選：D5、D【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和冪函數(shù)的單調(diào)性可得正確的選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，故，故，又，在上的增函?shù)，故，故，故選：D.6、A【解析】利用空間向量基本定理求解即可【詳解】由于M是的中點(diǎn)，所以故選：A7、B【解析】根據(jù)直線過(guò)原點(diǎn)且與圓相切，求出直線的斜率，再數(shù)形結(jié)合計(jì)算最小旋轉(zhuǎn)角【詳解】解析：由題意，設(shè)切線為，∴.∴或.∴時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)最小∴最小正角為.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】由條件可得圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，然后可得答案.【詳解】因?yàn)榘霃綖?的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5，12），所以圓心的軌跡是以點(diǎn)為圓心，半徑為2的圓，所以圓心到原點(diǎn)的距離的最小值為，故選：B9、D【解析】分析：根據(jù)函數(shù)單調(diào)性、極值與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系即可得到結(jié)論.詳解：觀察函數(shù)圖象，從左到右單調(diào)性先單調(diào)遞增，然后單調(diào)遞減，最后單調(diào)遞增.對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)為正，負(fù)，正.,選項(xiàng)D的圖象正確.故選D.點(diǎn)睛：本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)符號(hào)的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題關(guān)鍵.10、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結(jié)合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D11、C【解析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)即可求出【詳解】依題可知，，所以故選：C12、C【解析】此方程表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離與到點(diǎn)的距離之差為8，而這正好符合雙曲線的定義，點(diǎn)的軌跡是雙曲線的右支，，的軌跡方程是，故選C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，解?故答案為：.14、【解析】根據(jù)已知可得，設(shè)，利用勾股定理結(jié)合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因?yàn)闉樯详P(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，且，所以四邊形為矩形，設(shè)，則，所以，，即四邊形面積等于.故答案為：.15、##0.5【解析】利用球與圓錐相切，得出截面，在平面圖形中求解，以及圓錐曲線的來(lái)源來(lái)理解切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，求出，得出離心率.【詳解】設(shè)球切于，切于E，，球半徑為2，所以，，∴，又中，，，故橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)為,,根據(jù)橢圓在圓錐中截面與二球相切的切點(diǎn)為橢圓的焦點(diǎn)知：球O與相切的切點(diǎn)為橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，且，，橢圓的離心率為.故答案：.16、4【解析】根據(jù)題意分和兩種情況討論，再根據(jù)平均分公式計(jì)算即可得出答案.【詳解】解：當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為95分，則，所以，當(dāng)時(shí)，則去掉的最低分?jǐn)?shù)為87分，最高分?jǐn)?shù)為分，則平均分為，與題意矛盾，綜上.故答案為：4.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）利用公式法，基本量代換求出數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）利用錯(cuò)位相減法求和.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)?，所以，所以．所以，所以，所以．所以，所以，【小?wèn)2詳解】，所以，，所以.所以18、（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】（1）首先由，，成等比數(shù)列，求出，再由①或②或③求出數(shù)列的首項(xiàng)和公差，即可求得的通項(xiàng)公式；（2）求得的通項(xiàng)公式，結(jié)合裂項(xiàng)相消法求得.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即，∵，故，選①:由，可得，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為選②:由，可得，即，所以，解得，所以；選③:由，可得，即，所以，解得，所以；【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，所以.19、（1）（2）【解析】（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角；（2）用空間向量法求二面角【小問(wèn)1詳解】以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線方向?yàn)閤，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.當(dāng)時(shí)，，所以，設(shè)平面的法向量為，所以，即不妨得，，又，所以，則【小問(wèn)2詳解】在長(zhǎng)方體中，因?yàn)槠矫?，所以平面平面，因?yàn)槠矫媾c平面交于，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，所以平面，即為平面的一個(gè)法向量，，所以，又平面的法向量為，所以.20、（1）（2）【解析】（1）利用一元二次不等式的解法求解；（2）利用分式不等式的解法求解.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，解得，所以不等式的解集是；【小?wèn)2詳解】因?yàn)?，所以，所以，即，解得，所以不等式的解集?21、（1）在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）先求出，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結(jié)論【小問(wèn)1詳解】解：當(dāng)時(shí)，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；【小問(wèn)2詳解】解：，，，因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)，，所以存在兩個(gè)互異的正實(shí)數(shù)根，，所以，