廣東省郁南縣連灘中學(xué)2026屆高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測試試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.2．如圖，過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，與其準(zhǔn)線交于點(diǎn)（點(diǎn)位于之間）且于點(diǎn)且，則等于（）A. B.C. D.3．若拋物線與直線：相交于兩點(diǎn)，則弦的長為（）A.6 B.8C. D.4．如圖，在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.5．若直線被圓截得的弦長為，則的最小值為（）A. B.C. D.6．如圖，已知最底層正方體的棱長為a，上層正方體下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，依此方法一直繼續(xù)下去，則所有這些正方體的體積之和將趨近于（）A. B.C. D.7．設(shè)函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.8．下列關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法中正確的有（）①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③菱形的直觀圖是菱形；④正方形的直觀圖是正方形.A.① B.①②C.③④ D.①②③④9．已知函數(shù)，則下列判斷正確的是（）A.直線與曲線相切B.函數(shù)只有極大值，無極小值C.若與互為相反數(shù)，則的極值與的極值互為相反數(shù)D.若與互為倒數(shù)，則的極值與的極值互為倒數(shù)10．已知復(fù)數(shù)滿足(其中為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A. B.C. D.11．若兩個(gè)不同平面，的法向量分別為，，則（）A.，相交但不垂直 B.C. D.以上均不正確12．在空間直角坐標(biāo)系中，方程所表示的圖形是（）A圓 B.橢圓C.雙曲線 D.球二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知雙曲線(a，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1且傾斜角為的直線l與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn)A，B.且|AF2|=|BF2|，則該雙曲線的離心率為____________.14．已知圓的半徑為3，，為該圓的兩條切線，為切點(diǎn)，則的最小值為___________.15．設(shè)點(diǎn)是雙曲線上的一點(diǎn)，、分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，已知，且，則雙曲線的離心率為________16．若球的大圓的面積為，則該球的表面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列{an}滿足*（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn18．（12分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）在與之間插入n個(gè)數(shù)，使得包括與在內(nèi)的這個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，其公差為，求數(shù)列的前n項(xiàng)和19．（12分）求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)20．（12分）如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，且平面，.（1）求證：；（2）點(diǎn)在線段（不含端點(diǎn)）上運(yùn)動(dòng)，設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍.21．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，圓C：，直線l：（1）若直線l與圓C相切于點(diǎn)N，求切點(diǎn)N的坐標(biāo)；（2）若，直線l上有且僅有一點(diǎn)A滿足：過點(diǎn)A作圓C的兩條切線AP、AQ，切點(diǎn)分別為P，Q，且使得四邊形APCQ為正方形，求m的值22．（10分）已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，，求數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選2、B【解析】由題可得，然后結(jié)合條件可得，即求.【詳解】設(shè)于點(diǎn)，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)G，則，又，∴，又于點(diǎn)且，∴BE∥AD，∴，即，∴，∴等于.故選：B.3、B【解析】由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，再聯(lián)立直線和拋物線的方程，利用韋達(dá)定理和拋物線的定義求解.【詳解】解：由題得.由題得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為剛好在直線上，設(shè)，聯(lián)立直線和拋物線方程得,所以.所以.故選：B4、A【解析】利用向量的加法法則直接求解.【詳解】在四面體中，，分別是，的中點(diǎn)，故選：A5、D【解析】先根據(jù)已知條件得出，再利用基本不等式求的最小值即可.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑為，若直線被截得弦長為，說明圓心在直線：上，即，即，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用基本不等式求最值，本題關(guān)鍵是求出，屬常規(guī)考題.6、D【解析】由已知可判斷出所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，然后求和可得答案.【詳解】最底層上面第一個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第二個(gè)正方體的棱長為，其體積為，上面第三個(gè)正方體的棱長為，其體積為，所有這些正方體的體積構(gòu)成首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，其前項(xiàng)和為，當(dāng)，，所以所有這些正方體的體積之和將趨近于.故選：D.7、B【解析】分析可知，對任意的恒成立，由參變量分離法可得出，求出在時(shí)的取值范圍，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】因?yàn)椋瑒t，由題意可知對任意的恒成立，則對任意的恒成立，當(dāng)時(shí)，，.故選：B.8、B【解析】根據(jù)斜二側(cè)直觀圖的畫法法則，直接判斷①②③④的正確性，即可推出結(jié)論【詳解】由斜二測畫法規(guī)則知：三角形的直觀圖仍然是三角形，所以①正確；根據(jù)平行性不變知，平行四邊形的直觀圖還是平行四邊形，所以②正確；根據(jù)兩軸的夾角為45°或135°知，菱形的直觀圖不再是菱形，所以③錯(cuò)誤；根據(jù)平行于x軸的長度不變，平行于y軸的長度減半知，正方形的直觀圖不再是正方形，所以④錯(cuò)誤.故選：B.9、C【解析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，通過在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)為該點(diǎn)處切線的斜率，求出切線方程，并且判斷出極值，通過結(jié)合與互為相反數(shù)，若與互為倒數(shù)，分別判斷的極值與的極值是否互為相反數(shù)，以及是否互為倒數(shù).【詳解】，，令，得，所以，因?yàn)椋?，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A錯(cuò)；當(dāng)時(shí)，存在使，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，即有極小值，無極大值，故B錯(cuò)誤；設(shè)為的極值點(diǎn)，則，且，所以，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故C正確，D錯(cuò)誤.10、A【解析】由題目條件可得，即，然后利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡.【詳解】因?yàn)?，所以，則故復(fù)數(shù)的虛部為.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的相關(guān)概念及復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算，按照復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則化簡計(jì)算即可，較簡單.11、B【解析】由向量數(shù)量積為0可求.【詳解】∵，，∴，∴，∴，故選：B.12、D【解析】方程表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，從而可知圖形的形狀【詳解】由，得，表示空間中的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為2，所以方程所表示的圖形是以原點(diǎn)為球心，2為半徑的球，故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得a，c的關(guān)系，再由離心率公式可得所求值【詳解】過F2作F2N⊥AB于點(diǎn)N，設(shè)|AF2|＝|BF2|＝m，因?yàn)橹本€l的傾斜角為，所以在直角三角形F1F2N中，，由雙曲線的定義可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此，在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，則，故答案為：14、【解析】設(shè)（），，則，，，根據(jù)數(shù)量積的定義和余弦的二倍角公式結(jié)合基本不等式即可求解詳解】如圖所示，設(shè)（），，則，，，，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號成立，∴的最小值是.故答案為：15、【解析】由雙曲線的定義可求得、，利用勾股定理可得出關(guān)于、的齊次等式，進(jìn)而可求得該雙曲線的離心率.【詳解】由雙曲線定義可得，故，由勾股定理可得，即，可得，因此，該雙曲線的離心率為.故答案為：.16、【解析】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，根據(jù)圓的面積公式列方程求出，再由球的表面積公式即可求解.【詳解】設(shè)球的半徑為，則球的大圓的半徑為，所以球的大圓的面積為，可得，所以該球的表面積為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系式可得，再由等差數(shù)列的定義以及通項(xiàng)公式即可求解.（2）利用錯(cuò)位相減法即可求解.【小問1詳解】（1），即，所以數(shù)列為等差數(shù)列，公差為1，首項(xiàng)為1，所以，即.【小問2詳解】令，所以，所以18、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）根據(jù)公式得到，得到，再根據(jù)等比數(shù)列公式得到答案.（2）根據(jù)等差數(shù)列定義得到，再利用錯(cuò)位相減法計(jì)算得到答案.【小問1詳解】，當(dāng)時(shí)，，得到；當(dāng)時(shí)，，兩式相減得到，整理得到，即，故，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，驗(yàn)證時(shí)滿足條件，故.【小問2詳解】，故，，，兩式相減得到：，整理得到：，故.19、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）由已知可得，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，或，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，進(jìn)而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；【小問1詳解】解：橢圓經(jīng)過點(diǎn)，，，，，且焦點(diǎn)在軸上，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：長軸長是短軸長的3倍，且經(jīng)過點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在長軸上時(shí)，，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；當(dāng)點(diǎn)在短軸上時(shí)，，，此時(shí)焦點(diǎn)在軸上，此時(shí)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.綜合得橢圓的方程為或.20、（1）證明見解析（2）【解析】（1）過作，垂足為，利用正余弦定理可證，再利用線線垂足證明線面垂直，進(jìn)而可得證；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求線面夾角的正弦值.【小問1詳解】證明：由已知可得四邊形是等腰梯形，過作，垂足為，則，在中，，則，可得，在中，由余弦定理可得，，則，，又平面，平面，，，，平面，平面，又為矩形，，則平面，而平面，；【小問2詳解】平面，且，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，又，設(shè)平面的法向量為，由，取，得，又，，，，則.21、（1）或（2）3.【解析】（1）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)和圓心連線與切線垂直以及切點(diǎn)在圓上建立關(guān)系式，求解切點(diǎn)坐標(biāo)即可；（2）由圓的方程可得圓心坐標(biāo)及半徑，由APCQ為正方形，可得|AC|＝可得圓心到直線的距離為，可得m的值【小問1詳解】解：設(shè)切點(diǎn)為，則有，解得：或x0=-2+1y0=-2，所以切點(diǎn)的坐標(biāo)為或【小問2詳解】解：圓C：的圓心（1，0），半徑r＝2，設(shè)，由題意可得，由四邊形APCQ為正方形，可得|AC|＝，即，由題意直線l⊥AC，圓C：