吉林省安圖縣安林中學2026屆高二數學第一學期期末質量跟蹤監(jiān)視試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數，則的值為（）A B.C. D.2．已知，，若，則實數（）A. B.C.2 D.3．已知命題：，，命題：，，則（）A.是假命題 B.是真命題C.是真命題 D.是假命題4．若拋物線的焦點與橢圓的下焦點重合，則m的值為（）A.4 B.2C. D.5．在數列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為，再在數列插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列.若，則數列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8206．設數列的前項和為，若，，，則、、、中，最大的是（）A. B.C. D.7．古希臘數學家阿波羅尼奧斯(約公元前262~公元前190年)的著作《圓錐曲線論》是古代世界光輝的科學成果，著作中有這樣一個命題：平面內與兩定點距離的比為常數k(k>0且k≠1)的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.已知O(0，0)，A(3，0)，動點P(x，y)滿，則動點P軌跡與圓的位置關系是（）A.相交 B.相離C.內切 D.外切8．設為可導函數，且滿足，則曲線在點處的切線的斜率是A. B.C. D.9．經過點，且被圓所截得的弦最短時的直線的方程為（）A. B.C. D.10．函數在的圖象大致為（）A. B.C D.11．設是函數的導函數，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.12．曲線在處的切線的傾斜角是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知滿足約束條件，則的最小值為___________14．某市開展“愛我內蒙，愛我家鄉(xiāng)”攝影比賽，9位評委給參賽作品A打出的分數如莖葉圖所示，記分員算得平均分為91，復核員在復核時，發(fā)現一個數字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則數字x應該是______15．已知等差數列中，，則=_________.16．命題“，”為假命題，則實數a的取值范圍是______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知等差數列和正項等比數列滿足（1）求的通項公式；（2）求數列的前n項和18．（12分）求適合下列條件的橢圓的標準方程：（1）經過點，；（2）長軸長是短軸長的3倍，且經過點19．（12分）已知二次函數.（1）若時，不等式恒成立，求實數的取值范圍.（2）解關于的不等式（其中）.20．（12分）已知三角形的三個頂點，求邊所在直線的方程，以及該邊上中線所在直線的方程21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面，，，是邊長為的等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，點為線段的中點.（1）證明：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知橢圓的中心在原點，焦點在軸上，離心率等于，它的一個頂點恰好是拋物線的焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）已知直線與橢圓交于、兩點，、是橢圓上位于直線兩側的動點，且直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】求出函數的導數，代入求值即可.【詳解】函數,故，所以，故選：B2、D【解析】根據給定條件利用空間向量平行的坐標表示計算作答.【詳解】因，，又，則，解得，所以實數.故選：D3、C【解析】先分別判斷命題、的真假，再利用邏輯聯結詞“或”與“且”判斷命題的真假.【詳解】由題意，，所以，成立，即命題為真命題，，所以不存在，使得，即命題為假命題，所以是假命題，為真命題，所以是真命題，是假命題，是假命題，是真命題.故選：C4、D【解析】求出橢圓的下焦點，即拋物線的焦點，即可得解.【詳解】解：橢圓的下焦點為，即為拋物線焦點，∴，∴.故選：D.5、C【解析】先根據等比數列的通項公式得到，列出數列的前6項，將其中是數列的項的所有數去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數列，所以，則由，得，即數列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數列的項，3、27、243不是數列的項，且，所以數列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.6、C【解析】求出的表達式，解不等式可得結果.【詳解】由已知可得，故數列為等差數列，且公差為，所以，，令可得.因此，當時，最大.故選：C.7、A【解析】首先求得點的軌跡，再利用圓心距與半徑的關系，即可判斷兩圓的位置關系.【詳解】由條件可知，，化簡為：，動點的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，圓是以為圓心，為半徑的圓，兩圓圓心間的距離，所以兩圓相交.故選：A8、D【解析】由題，為可導函數，，即曲線在點處的切線的斜率是，選D【點睛】本題考查導數的定義，切線的斜率，以及極限的運算，本題解題的關鍵是對所給的極限式進行整理，得到符合導數定義的形式9、C【解析】當是弦中點，她能時，弦長最短．由此可得直線斜率，得直線方程【詳解】根據題意，圓心為，當與直線垂直時，點被圓所截得的弦最短，此時，則直線的斜率，則直線的方程為，變形可得，故選：C.【點睛】本題考查直線與圓相交弦長問題，掌握垂徑定理是求解圓弦長問題的關鍵10、D【解析】函數|在[–2,2]上是偶函數，其圖象關于軸對稱，因為，所以排除選項；當時，有一零點，設為，當時，為減函數，當時，為增函數故選：D.11、C【解析】先由圖像分析出的正負，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數的圖象可知,在區(qū)間上單調遞減,在區(qū)間(0,2)上單調遞增，即當時,;當x∈(0,2)時,.因為可化為或，解得：0<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C12、D【解析】求出函數的導數，再求出并借助導數的幾何意義求解作答.【詳解】由求導得：，則有，因此，曲線在處的切線的斜率為，所以曲線在處切線的傾斜角是.故選：D二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據題意，作出可行域，進而根據幾何意義求解即可.【詳解】解：作出可行域如圖，將變形為，所以根據幾何意義，當直線過點時，有最小值，所以聯立方程得，所以的最小值為故答案為：14、1【解析】由平均數列出方程，求出x的值.【詳解】由題意得：，解得：.故答案為：115、4【解析】由等差數列的通項公式求出公差，進而求出.【詳解】設該等差數列的公差為，則，所以.故答案為：4.16、【解析】寫出原命題的否定，再利用二次型不等式恒成立求解作答.【詳解】因命題“，”為假命題，則命題“，”為真命題，當時，恒成立，則，當時，必有，解得，所以實數a的取值范圍是.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）【解析】（1）根據條件列公差與公比方程組，解得結果，代入等差數列通項公式即可；（2）根據等比數列求和公式直接求解.【詳解】（1）設等差數列公差為，正項等比數列公比為，因為，所以因此；（2）數列的前n項和【點睛】本題考查等差數列以及等比數列通項公式、等比數列求和公式，考查基本分析求解能力，屬基礎題.18、（1）；（2）或.【解析】（1）由已知可得，，且焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；（2）由已知可得，，此時焦點在軸上，或，，此時焦點在軸上，進而可得橢圓的標準方程；【小問1詳解】解：橢圓經過點，，，，，且焦點在軸上，橢圓的標準方程為.【小問2詳解】解：長軸長是短軸長的3倍，且經過點，當點在長軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程為；當點在短軸上時，，，此時焦點在軸上，此時橢圓的標準方程.綜合得橢圓的方程為或.19、（1）；（2）答案見解析.【解析】（1）結合分離常數法、基本不等式求得的取值范圍.（2）將原不等式轉化為，對進行分類討論，由此求得不等式的解集.【詳解】（1）不等式即為：，當時，可變形為：，即.又，當且僅當，即時，等號成立，，即.實數的取值范圍是：.（2）不等式，即，等價于，即，①當時，不等式整理為，解得：；當時，方程的兩根為：，.②當時，可得，解不等式得：或；③當時，因為，解不等式得：；④當時，因為，不等式的解集為；⑤當時，因為，解不等式得：；綜上所述，不等式的解集為：①當時，不等式解集為；②當時，不等式解集為；③當時，不等式解集為；④當時，不等式解集為；⑤當時，不等式解集為.20、；【解析】根據兩點式方程和中點坐標公式求解，并化為一般式方程即可.【詳解】解：過的兩點式方程為，整理得即邊所在直線的方程為，邊上的中線是頂點A與邊中點M所連線段，由中點坐標公式可得點M的坐標為，即過，的直線的方程為，即整理得所以邊上中線所在直線的方程為21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）取的中點，連接，，證明兩兩垂直，如圖建系，求出的坐標以及平面的一個法向量，證明結合面，即可求證；（2）求出的坐標以及平面的法向量，根據空間向量夾角公式計算即可求解.【小問1詳解】如圖：取的中點，連接，，因為是邊長為等邊三角形，是以為斜邊的等腰直角三角形，可得，，因為面面，面面，，面，所以平面，因為面，所以，可得兩兩垂直，分別以所在的直線為軸建立空間直角坐標系，則，，，，，，所以，，，設平面的一個法向量，由，可得，令，則，所以，因為，所以，因為面，所以平面.【小問2詳解】，，，設平面的一個法向量，由，令，，，所以，設直線與平面所成角為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.22、（1）（2）【解析】（1）根據離心率的定義以及橢圓與拋物線焦點的關系，可以求出橢圓方程；（2）根據題意，可以利用鉛錘底水平高的方法求四邊形APBQ的面積，即是要