湖南省株洲市攸縣第三中學(xué)2026屆高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量檢測試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P是雙曲線E上的一點(diǎn)，且.若直線與雙曲線E的漸近線交于點(diǎn)M，且M為的中點(diǎn)，則雙曲線E的漸近線方程為()A． B． C． D．2．已知，是兩條不重合的直線，是一個(gè)平面，則下列命題中正確的是（）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則3．已知是平面內(nèi)互不相等的兩個(gè)非零向量,且與的夾角為,則的取值范圍是（）A． B． C． D．4．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．的展開式中的項(xiàng)的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．406．已知函數(shù)（）的最小值為0，則（）A． B． C． D．7．觀察下列各式：，，，，，，，，根據(jù)以上規(guī)律，則（）A． B． C． D．8．已知的垂心為，且是的中點(diǎn)，則（）A．14 B．12 C．10 D．89．是平面上的一定點(diǎn)，是平面上不共線的三點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡一定經(jīng)過的（）A．重心 B．垂心 C．外心 D．內(nèi)心10．已知半徑為2的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2，則球的體積與圓柱的體積的比為（）A． B． C． D．11．若滿足約束條件則的最大值為（）A．10 B．8 C．5 D．312．已知角的頂點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，若點(diǎn)在角的終邊上，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．現(xiàn)有5人要排成一排照相，其中甲與乙兩人不相鄰，且甲不站在兩端，則不同的排法有____種.（用數(shù)字作答）14．若一個(gè)正四面體的棱長為1，四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)球面上，則此球的表面積為_________.15．如圖在三棱柱中，，，，點(diǎn)為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為________.16．已知函數(shù)的最小值為2，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在直三棱柱中，，點(diǎn)P，Q分別為，的中點(diǎn).求證：（1）PQ平面；（2）平面.18．（12分）已知矩陣,二階矩陣滿足.（1）求矩陣;（2）求矩陣的特征值．19．（12分）某精密儀器生產(chǎn)車間每天生產(chǎn)個(gè)零件，質(zhì)檢員小張每天都會(huì)隨機(jī)地從中抽取50個(gè)零件進(jìn)行檢查是否合格，若較多零件不合格，則需對(duì)其余所有零件進(jìn)行檢查．根據(jù)多年的生產(chǎn)數(shù)據(jù)和經(jīng)驗(yàn)，這些零件的長度服從正態(tài)分布（單位：微米），且相互獨(dú)立．若零件的長度滿足，則認(rèn)為該零件是合格的，否則該零件不合格．（1）假設(shè)某一天小張抽查出不合格的零件數(shù)為，求及的數(shù)學(xué)期望；（2）小張某天恰好從50個(gè)零件中檢查出2個(gè)不合格的零件，若以此頻率作為當(dāng)天生產(chǎn)零件的不合格率．已知檢查一個(gè)零件的成本為10元，而每個(gè)不合格零件流入市場帶來的損失為260元．假設(shè)充分大，為了使損失盡量小，小張是否需要檢查其余所有零件，試說明理由．附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則．20．（12分）（江蘇省徐州市高三第一次質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題）在平面直角坐標(biāo)系中，已知平行于軸的動(dòng)直線交拋物線：于點(diǎn)，點(diǎn)為的焦點(diǎn).圓心不在軸上的圓與直線，，軸都相切，設(shè)的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）若直線與曲線相切于點(diǎn)，過且垂直于的直線為，直線，分別與軸相交于點(diǎn)，.當(dāng)線段的長度最小時(shí)，求的值.21．（12分）已知函數(shù)，（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，證明；（Ⅱ）已知點(diǎn)，點(diǎn)，設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，試判斷的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．22．（10分）如圖所示，已知平面，，為等邊三角形，為邊上的中點(diǎn)，且.(Ⅰ)求證：面；(Ⅱ)求證：平面平面；(Ⅲ)求該幾何體的體積．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】

由雙曲線定義得，，OM是的中位線，可得，在中，利用余弦定理即可建立關(guān)系，從而得到漸近線的斜率.【詳解】根據(jù)題意，點(diǎn)P一定在左支上.由及，得，，再結(jié)合M為的中點(diǎn)，得，又因?yàn)镺M是的中位線，又，且，從而直線與雙曲線的左支只有一個(gè)交點(diǎn).在中.——①由，得.——②由①②，解得，即，則漸近線方程為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線漸近線方程，涉及到雙曲線的定義、焦點(diǎn)三角形等知識(shí)，是一道中檔題.2、D【解析】

利用空間位置關(guān)系的判斷及性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】解：選項(xiàng)A中直線，還可能相交或異面，選項(xiàng)B中，還可能異面，選項(xiàng)C，由條件可得或．故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查直線與平面平行、垂直的性質(zhì)與判定等基礎(chǔ)知識(shí)；考查空間想象能力、推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】試題分析：如下圖所示，則，因?yàn)榕c的夾角為，即，所以，設(shè)，則，在三角形中，由正弦定理得，所以，所以，故選C．考點(diǎn)：1．向量加減法的幾何意義；2．正弦定理；3．正弦函數(shù)性質(zhì)．4、D【解析】

將復(fù)數(shù)化簡得,,即可得到對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,即可得出結(jié)果.【詳解】，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)與平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng),難度容易.5、A【解析】

化簡得到，再利用二項(xiàng)式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項(xiàng)為.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.6、C【解析】

設(shè)，計(jì)算可得，再結(jié)合圖像即可求出答案.【詳解】設(shè)，則，則，由于函數(shù)的最小值為0，作出函數(shù)的大致圖像，結(jié)合圖像，，得，所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的圖像與性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.7、B【解析】

每個(gè)式子的值依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，然后歸納出數(shù)列的遞推關(guān)系后再計(jì)算．【詳解】以及數(shù)列的應(yīng)用根據(jù)題設(shè)條件，設(shè)數(shù)字，，，，，，，構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，可得數(shù)列滿足，則，，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，解題關(guān)鍵是通過數(shù)列的項(xiàng)歸納出遞推關(guān)系，從而可確定數(shù)列的一些項(xiàng)．8、A【解析】

由垂心的性質(zhì)，得到，可轉(zhuǎn)化，又即得解.【詳解】因?yàn)闉榈拇剐?，所以，所以，而，所以，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以．故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了利用向量的線性運(yùn)算和向量的數(shù)量積的運(yùn)算率，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.9、B【解析】

解出，計(jì)算并化簡可得出結(jié)論．【詳解】λ（），∴，∴，即點(diǎn)P在BC邊的高上，即點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過△ABC的垂心．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用，根據(jù)條件中的角計(jì)算是關(guān)鍵．10、D【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，所以圓柱的體積.又球的體積，所以球的體積與圓柱的體積的比，故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).11、D【解析】

畫出可行域,將化為,通過平移即可判斷出最優(yōu)解,代入到目標(biāo)函數(shù),即可求出最值.【詳解】解:由約束條件作出可行域如圖,化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式,.由圖可知當(dāng)直線過時(shí),直線在軸上的截距最大,有最大值為3.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題.一般第一步畫出可行域,然后將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為的形式,在可行域內(nèi)通過平移找到最優(yōu)解,將最優(yōu)解帶回到目標(biāo)函數(shù)即可求出最值.注意畫可行域時(shí),邊界線的虛實(shí)問題.12、D【解析】

由題知，又，代入計(jì)算可得.【詳解】由題知，又.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，二倍角公式的應(yīng)用求值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、36【解析】

先優(yōu)先考慮甲、乙兩人不相鄰的排法，在此條件下，計(jì)算甲不排在兩端的排法，最后相減即可得到結(jié)果.【詳解】由題意得5人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，有種排法，其中甲排在兩端，有種排法，則6人排成一排，甲、乙兩人不相鄰，且甲不排在兩端，共有（種）排法.所以本題答案為36.【點(diǎn)睛】排列、組合問題由于其思想方法獨(dú)特，計(jì)算量龐大，對(duì)結(jié)果的檢驗(yàn)困難，所以在解決這類問題時(shí)就要遵循一定的解題原則，如特殊元素、位置優(yōu)先原則、先取后排原則、先分組后分配原則、正難則反原則等，只有這樣我們才能有明確的解題方向.同時(shí)解答組合問題時(shí)必須心思細(xì)膩、考慮周全，這樣才能做到不重不漏，正確解題.14、【解析】

將四面體補(bǔ)成一個(gè)正方體，通過正方體的對(duì)角線與球的半徑的關(guān)系，得到球的半徑，利用球的表面積公式，即可求解.【詳解】如圖所示，將正四面體補(bǔ)形成一個(gè)正方體，則正四面體的外接球與正方體的外接球表示同一個(gè)球，因?yàn)檎拿骟w的棱長為1，所以正方體的棱長為，設(shè)球的半徑為，因?yàn)榍虻闹睆绞钦襟w的對(duì)角線，即，解得，所以球的表面積為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了有關(guān)求得組合體的結(jié)構(gòu)特征，以及球的表面積的計(jì)算，其中巧妙構(gòu)造正方體，利用正方體的外接球的直徑等于正方體的對(duì)角線長，得到球的半徑是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】

把繞著進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，當(dāng)四點(diǎn)共面時(shí)，運(yùn)用勾股定理即可求得的最小值.【詳解】將以為軸旋轉(zhuǎn)至與面在一個(gè)平面，展開圖如圖所示，若，，三點(diǎn)共線時(shí)最小為，為直角三角形，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何體的翻折，平面內(nèi)兩點(diǎn)之間線段最短，解直角三角形進(jìn)行求解，考查了空間想象能力和計(jì)算能力，屬于中檔題.16、【解析】

首先利用絕對(duì)值的意義去掉絕對(duì)值符號(hào)，之后再結(jié)合后邊的函數(shù)解析式，對(duì)照函數(shù)值等于2的時(shí)候?qū)?yīng)的自變量的值，從而得到分段函數(shù)的分界點(diǎn)，從而得到相應(yīng)的等量關(guān)系式，求得參數(shù)的值.【詳解】根據(jù)題意可知，可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)或時(shí)是分界點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的解析式，可以判斷0不可能，所以只能是是分界點(diǎn)，故，解得，故答案是.【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)最值的求解等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.根據(jù)線面平行的判定定理即得；（2）先證，，和都是平面內(nèi)的直線且交于點(diǎn)，由（1）得，再結(jié)合線面垂直的判定定理即得.【詳解】（1）取的中點(diǎn)D，連結(jié)，.在中，P，D分別為，中點(diǎn)，，且.在直三棱柱中，，.Q為棱的中點(diǎn)，，且.，.四邊形為平行四邊形，從而.又平面，平面，平面.（2）在直三棱柱中，平面.又平面，.，D為中點(diǎn)，.由（1）知，，.又，平面，平面，平面.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行的判定定理，以及線面垂直的判定定理，難度不大.18、（1）（2）特征值為或．【解析】

（1）先設(shè)矩陣,根據(jù),按照運(yùn)算規(guī)律,即可求出矩陣.（2）令矩陣的特征多項(xiàng)式等于,即可求出矩陣的特征值．【詳解】解：（1）設(shè)矩陣由題意,因?yàn)?所以,即所以,（2）矩陣的特征多項(xiàng)式,令,解得或,所以矩陣的特征值為1或．【點(diǎn)睛】本題主要考查矩陣的乘法和矩陣的特征值,考查學(xué)生的劃歸與轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算求解能力.19、（1）見解析（2）需要，見解析【解析】

（1）由零件的長度服從正態(tài)分布且相互獨(dú)立,零件的長度滿足即為合格,則每一個(gè)零件的長度合格的概率為,滿足二項(xiàng)分布,利用補(bǔ)集的思想求得,再根據(jù)公式求得；（2）由題可得不合格率為,檢查的成本為,求出不檢查時(shí)損失的期望,與成本作差,再與0比較大小即可判斷.【詳解】（1）,由于滿足二項(xiàng)分布,故.（2）由題意可知不合格率為,若不檢查,損失的期望為；若檢查,成本為,由于,當(dāng)充分大時(shí),,所以為了使損失盡量小,小張需要檢查其余所有零件.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布的應(yīng)用,考查二項(xiàng)分布的期望,考查補(bǔ)集思想的應(yīng)用,考查分析能力與數(shù)據(jù)處理能力.20、(1)．(2)見解析.【解析】試題分析：（1）設(shè)根據(jù)題意得到，化簡得到軌跡方程；（2）設(shè)，，，，構(gòu)造函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，得到函數(shù)的最值.解析：（1）因?yàn)閽佄锞€的方程為，所以的坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)閳A與軸、直線都相切，平行于軸，所以圓的半徑為，點(diǎn)，則直線的方程為，即，所以，又，所以，即，所以的方程為．（2）設(shè)，，，由（1）知，點(diǎn)處的切線的斜率存在，由對(duì)稱性不妨設(shè)，由，所以，，所以，，所以．令，，則，由得，由得，所以在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，取得極小值也是最小值，即取得最小值，此時(shí)．點(diǎn)睛：求軌跡方程，一般是問誰設(shè)誰的坐標(biāo)然后根據(jù)題目等式直接求解即可，而對(duì)于直線與曲線的綜合問題要先分析題意轉(zhuǎn)化為等式，例如，可以轉(zhuǎn)化為向量坐標(biāo)進(jìn)行運(yùn)算也可以轉(zhuǎn)化為斜率來理解，然后借助韋達(dá)定理求解即可運(yùn)算此類題計(jì)算一定要仔細(xì).21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）1.【解析】

（Ⅰ）令，；則．易得，．即可證明；（Ⅱ），分①，②，③當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即可．【詳解】解：（Ⅰ）令，；則．令，，易得在遞減，在遞增，∴，∴在恒成立．∵在遞減，在遞增．∴．∵；（Ⅱ）∵點(diǎn)，點(diǎn)，∴，．①當(dāng)時(shí)，可知，∴∴，，∴．∴在單調(diào)遞增，，．∴在上有一個(gè)零點(diǎn)，②當(dāng)時(shí)，，，∴，∴在恒成立，∴在無零點(diǎn)．③當(dāng)時(shí)，，．∴在單調(diào)遞減，，．∴在存在一個(gè)零點(diǎn)．綜上，的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1．．【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)