2026屆福建省廈冂雙十中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若雙曲線的離心率為3，則的最小值為（）A. B.1C. D.22．雙曲線的漸近線方程和離心率分別是A. B.C. D.3．點(diǎn)A是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)A到直線的最小距離為（）A. B.C. D.4．已知等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，公比，且滿足，則（）A.8 B.4C.2 D.15．已知等差數(shù)列，且，則（）A.3 B.5C.7 D.96．若直線過點(diǎn)（1，2），（4，2＋），則此直線的傾斜角是（）A.30° B.45°C.60° D.90°7．命題若，且，則，命題在中，若，則.下列命題中為真命題的是（）A. B.C. D.8．下列直線中，傾斜角為銳角的是（）A. B.C. D.9．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(1，1，2)，B(－3，1，－2)，則線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.(－2，1，2) B.(－1，1，0)C.(－2，0，1) D.(－1，1，2)10．“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件11．在等差數(shù)列中，，，則的取值范圍是（）A. B.C. D.12．不等式的解集是（）A. B.C.或 D.或二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．曲線在點(diǎn)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為__________.14．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，過作x軸垂線交橢圓于點(diǎn)P，若為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是___________.15．已知數(shù)列滿足，則_____________16．已知點(diǎn)在拋物線上，那么點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為______三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的長軸長是，以其短軸為直徑的圓過橢圓的左右焦點(diǎn)，.（1）求橢圓E的方程；（2）過橢圓E左焦點(diǎn)作不與坐標(biāo)軸垂直的直線，交橢圓于M，N兩點(diǎn)，線段MN的垂直平分線與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)Q，若點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的最大值是，求面積的取值范圍.18．（12分）2021年國慶期間，某電器商場為了促銷，給出了兩種優(yōu)惠方案，顧客只能選擇其中的一種，方案一：每消費(fèi)滿8千元，可減8百元.方案二：消費(fèi)金額超過8千元（含8千元），可抽取小球三次，其規(guī)則是依次從裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的一號箱子，裝有2個(gè)紅色小球、2個(gè)黃色小球的二號箱子，裝有1個(gè)紅色小球、3個(gè)黃色小球的三號箱子各抽一個(gè)小球（這些小球除顏色外完全相同），其優(yōu)惠情況為：若抽出3個(gè)紅色小球則打6折；若抽出2個(gè)紅色小球則打7折；若抽出1個(gè)紅色小球則打8折；若沒有抽出紅色小球則不打折.（1）若有兩名顧客恰好消費(fèi)8千元，他們都選中第二方案，求至少有一名顧客比選擇方案一更優(yōu)惠的概率；（2）若你朋友在該商場消費(fèi)了1萬元，請用所學(xué)知識幫助你朋友分析一下應(yīng)選擇哪種付款方案.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）已知數(shù)列滿足，（1）證明是等比數(shù)列，（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和21．（12分）已知橢圓：的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓與直線相交于兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B，線段AB的中點(diǎn)為M.若直線OM的斜率為-1，求線段AB的長；（3）如圖，設(shè)橢圓上一點(diǎn)R的橫坐標(biāo)為1（R在第一象限），過R作兩條不重合直線分別與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)、若直線PR與QR的傾斜角互補(bǔ)，求直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.22．（10分）如圖所示的四棱錐的底面是一個(gè)等腰梯形，，且，是△的中線，點(diǎn)E是棱的中點(diǎn)（1）證明：∥平面（2）若平面平面，且，求平面與平面夾角余弦值（3）在（2）條件下，求點(diǎn)D到平面的距離

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的離心率為3和，求得，化簡，結(jié)合基本不等式，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線的離心率為3，即，即，又由，可得，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，“”成立.故選：D【點(diǎn)睛】使用基本不等式解答問題的策略：1、利用基本不等式求最值時(shí)，要注意三點(diǎn)：一是各項(xiàng)為正；二是尋求定值；三是考慮等號成立的條件；2、若多次使用基本不等式時(shí)，容易忽視等號的條件的一致性，導(dǎo)致錯(cuò)解；3、巧用“拆”“拼”“湊”：在使用基本不等式時(shí)，要特別注意“拆”“拼”“湊”等技巧，使其滿足基本不等式中的“正、定、等”的條件.2、A【解析】先根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得其特征參數(shù)的值，再利用雙曲線漸近線方程公式和離心率定義分別計(jì)算即可.【詳解】雙曲線的，雙曲線的漸近線方程為，離心率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線及離心率，屬于簡單題.離心率的求解在圓錐曲線的考查中是一個(gè)重點(diǎn)也是難點(diǎn)，一般求離心率有以下幾種情況：①直接求出，從而求出;②構(gòu)造的齊次式，求出;③采用離心率的定義以及圓錐曲線的定義來求解;④根據(jù)圓錐曲線的統(tǒng)一定義求解3、A【解析】動(dòng)點(diǎn)在曲線，則找出曲線上某點(diǎn)的斜率與直線的斜率相等的點(diǎn)為距離最小的點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可【詳解】不妨設(shè)，定義域?yàn)椋簩η髮?dǎo)可得：令解得：（其中舍去）當(dāng)時(shí)，，則此時(shí)該點(diǎn)到直線的距離為最小根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可得：解得：故選：A4、A【解析】根據(jù)是等比數(shù)列，則通項(xiàng)為，然后根據(jù)條件可解出，進(jìn)而求得【詳解】由為等比數(shù)列，不妨設(shè)首項(xiàng)為由，可得：又，則有：則故選：A5、B【解析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】由于數(shù)列是等差數(shù)列，所以.故選：B6、A【解析】求出直線的斜率，由斜率得傾斜角【詳解】由題意直線斜率為，所以傾斜角為故選：A7、A【解析】根據(jù)不等式性質(zhì)及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷命題的真假，根據(jù)大角對大邊及正弦定理可判斷命題的真假，再根據(jù)復(fù)合命題真假的判斷方法即可得出結(jié)論.【詳解】解：若，且，則，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，綜上命題為假命題，則為真命題，在中，若，則，由正弦定理得，所以命題為真命題，為假命題，所以為真命題，，，為假命題.故選：A.8、A【解析】先由直線方程找到直線的斜率，再推導(dǎo)出直線的傾斜角即可.【詳解】選項(xiàng)A：直線的斜率，則直線傾斜角為，是銳角，判斷正確；選項(xiàng)B：直線的斜率，則直線傾斜角為鈍角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：直線的斜率，則直線傾斜角為0，不是銳角，判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：直線沒有斜率，傾斜角為直角，不是銳角，判斷錯(cuò)誤.故選：A9、B【解析】利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式直接求解【詳解】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，1，，，1，，則線段的中點(diǎn)坐標(biāo)是，，，1，故選：B.10、B【解析】因但11、A【解析】根據(jù)題設(shè)可得關(guān)于的不等式，從而可求的取值范圍.【詳解】設(shè)公差為，因?yàn)椋?，所以，即，從?故選：A.12、A【解析】確定對應(yīng)二次方程的解，根據(jù)三個(gè)二次的關(guān)系寫出不等式的解集【詳解】，即為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以，而，所以切線方程為：，令，得，令，得，所以三角形的面積為：，故答案為：14、##【解析】以為等腰直角三角形列方程組可得之間的關(guān)系式，進(jìn)而求得橢圓的離心率.【詳解】橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)P由為等腰直角三角形可知，，即可化為，故或（舍）故答案為：15、【解析】找到數(shù)列的規(guī)律，由此求得.【詳解】依題意，，，所以數(shù)列是以為周期的周期數(shù)列，.故答案為：16、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當(dāng)為與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取得最小值，進(jìn)而求得點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】由題意得：拋物線焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為作，垂直于準(zhǔn)線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號）即的最小值為，此時(shí)為與拋物線的交點(diǎn)故答案為【點(diǎn)睛】本題考查拋物線線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離與到定點(diǎn)距離之和最小的相關(guān)問題的求解，關(guān)鍵是能夠熟練應(yīng)用拋物線定義確定最值取得的位置.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）.【解析】(1)根據(jù)給定條件結(jié)合列式計(jì)算即可作答.(2)設(shè)出直線MN的方程，與橢圓方程聯(lián)立并結(jié)合已知求出m的范圍，再借助韋達(dá)定理求出面積函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性計(jì)算作答.【小問1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為.【小問2詳解】由(1)知，橢圓E左焦點(diǎn)為，設(shè)過橢圓E左焦點(diǎn)的直線為(存在且不為0)，由消去x得，，設(shè)，則，線段的中點(diǎn)為，因此線段的垂直平分線為，由得的縱坐標(biāo)為，依題意，且，解得，由(1)知，，，令，在上單調(diào)遞減，當(dāng)，即時(shí)，，當(dāng)，即時(shí)，，所以面積的取值范圍.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：過定點(diǎn)的直線l：y=kx+b交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積；過定點(diǎn)直線l：x=ty+a交圓錐曲線于點(diǎn)，，則面積18、（1）（2）選擇方案二更劃算【解析】（1）要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，求出沒有抽出紅色小球的概率，再根據(jù)對立事件的概率公式即可得出答案；（2）若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，求出對應(yīng)概率，從而可求得的期望，在比較的期望與9200的大小即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：根據(jù)題意得要使方案二比方案一優(yōu)惠，則需要抽出至少一個(gè)紅球，設(shè)沒有抽出紅色小球?yàn)槭录?，則，所以所求概率；【小問2詳解】解：若選擇方案一，則需付款（元），若選擇方案二，設(shè)付款金額為元，則可取6000，7000，8000，10000，，，，，故的分布列為X60007000800010000P所以（元），因?yàn)椋赃x擇方案二更劃算.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，根據(jù)已知條件列出方程組求解a1，d，代入通項(xiàng)公式即可得答案；（2）根據(jù)等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，利用分組求和法即可求解【小問1詳解】解：設(shè)等差數(shù)列公差為d，首項(xiàng)為a1，由題意，有，解得，所以；【小問2詳解】解：，所以20、（1）見解析；（2）【解析】（1）利用定義法證明是一個(gè)與n無關(guān)的非零常數(shù)，從而得出結(jié)論；（2）由（1）求出，利用分組求和法求【詳解】（1）由得，所以，所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列,，所以，（2）由（1）知的通項(xiàng)公式為；則所以【點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的證明以及分組求和法，屬于基礎(chǔ)題21、（1）；（2）；（3）.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓長半軸長a即可計(jì)算得解.(2)將代入橢圓的方程，再結(jié)合給定條件求出k值即可計(jì)算出AB的長.(3)設(shè)出直線PR的方程，再與橢圓的方程聯(lián)立求出點(diǎn)P坐標(biāo)，同理可得點(diǎn)Q坐標(biāo)，計(jì)算PQ的斜率即可作答.【小問1詳解】依題意，橢圓的半焦距c=1，而，解得，則，所以橢圓的方程是：.【小問2詳解】由消去y并整理得：，解得，，于是得線段AB的中點(diǎn)，直線OM斜率為，解得，因此，，所以線段AB的長為.【小問3詳解】由(1)知，點(diǎn)，依題意，設(shè)直線PR的斜率為，直線PR方程為：，由消去y并整理得，，設(shè)點(diǎn)，則有，顯然直線QR的斜率為-t，設(shè)點(diǎn)，同理有，于是得直線PQ的斜率，所以直線PQ的斜率的所有可能值組成的集合.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩種方法：①定義法：根據(jù)橢圓的定義，確定，的值，結(jié)合焦點(diǎn)位置可寫出橢圓方程②待定系數(shù)法：若焦點(diǎn)位置明確，則可設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合已知條件求出a，b；若焦點(diǎn)位置不明確，則需要分焦點(diǎn)在x軸上和y軸上兩種情況討論.22、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】（1）連接、，平行四邊形的性質(zhì)、線面平行的判定可得平面、平面，再根據(jù)面面平行的判定可得平面平面，利用面面平行的性質(zhì)可證結(jié)論；（2）取的中點(diǎn)為，連接，證明出平面，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）利用等體積法，求D到平面的距離【小問1詳解】連接、，由、分別是棱、的中點(diǎn)，則，平面，平面，則平面又，且，∴且，四邊形是平行四邊形，則，平面，平面，則平面又，可