2026屆錫林郭勒市重點中學數學高二上期末預測試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．圓與圓公切線的條數為（）A.1 B.2C.3 D.42．若點P是曲線上任意一點，則點P到直線的最小距離為（）A.0 B.C. D.3．已知直線與拋物線C：相交于A，B兩點，O為坐標原點，，的斜率分別為，，則（）A. B.C. D.4．在正項等比數列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2565．設A＝37＋·35＋·33＋·3，B＝·36＋·34＋·32＋1，則A－B的值為()A.128 B.129C.47 D.06．19世紀法國著名數學家加斯帕爾·蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學，推動了空間幾何學的獨立發(fā)展，提出了著名的蒙日圓定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點位于一個與橢圓同心的圓上，稱為蒙日圓，且該圓的半徑等于橢圓長半軸長與短半軸長的平方和的算術平方根．若圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，則b的值為（）A. B.C. D.7．為了更好地解決就業(yè)問題，國家在2020年提出了“地攤經濟”為響應國家號召，有不少地區(qū)出臺了相關政策去鼓勵“地攤經濟”.某攤主2020年4月初向銀行借了免息貸款8000元，用于進貨，因質優(yōu)價廉，供不應求，據測算：每月獲得的利潤是該月初投入資金的20%，每月底扣除生活費800元，余款作為資金全部用于下月再進貨，如此繼續(xù)，預計到2021年3月底該攤主的年所得收入為（）（取，）A.24000元 B.26000元C.30000元 D.32000元8．下列命題中正確的是（）A.若為真命題，則為真命題B.在中“”是“”的充分必要條件C.命題“若，則或”的逆否命題是“若或，則”D.命題，使得，則，使得9．在四棱錐中，四邊形為菱形，平面，是中點，下列敘述正確的是（）A.平面 B.平面C.平面平面 D.平面平面10．過拋物線C：的準線上任意一點作拋物線的切線，切點為，若在軸上存在定點，使得恒成立，則點的坐標為（）A. B.C. D.11．在長方體中，，，點分別在棱上，，，則（）A. B.C. D.12．數列，，，，…，是其第（）項A.17 B.18C.19 D.20二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在平面幾何中有如下結論：若正三角形的內切圓周長為，外接圓周長為，則.推廣到空間幾何可以得到類似結論：若正四面體的內切球表面積為，外接球表面積為，則__________14．雙曲線的右焦點到C的漸近線的距離為，則C漸近線方程為______15．棱長為的正方體的頂點到截面的距離等于__________.16．設，，若將函數的圖像向左平移個單位能使其圖像與原圖像重合，則正實數的最小值為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，正方體的棱長為2，點，分別在棱，上運動，且.（1）求證：；（2）求三棱錐的體積的最大值：（3）當，分別是棱，的中點時，求平面與平面的夾角的正弦值.18．（12分）自我國爆發(fā)新冠肺炎疫情以來，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計了口罩生產車間每名工人的生產速度，并將所得數據分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計口罩生產車間工人生產速度的中位數（結果寫成分數的形式）；（2）為了解該車間工人生產速度是否與他們的工作經驗有關，現從車間所有工人中隨機抽樣調查了5名工人的生產速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數據如下表：工齡x（單位：年）4681012生產速度y（單位：件/小時）4257626267根據上述數據求每名工人的生產速度y關于他的工齡x的回歸方程，并據此估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式為：，19．（12分）已知等差數列滿足：，，數列的前n項和為（1）求及；（2）設是首項為1，公比為3的等比數列，求數列的前項和20．（12分）在①成等差數列；②成等比數列；③這三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并對其求解.問題：已知為數列的前項和，，且___________.（1）求數列的通項公式；（2）記，求數列前項和.注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.21．（12分）設函數過點（1）求函數的單調區(qū)間和極值（要列表）；（2）求函數在上的最大值和最小值.22．（10分）如圖長方體中，，，點為的中點.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】分別求出圓和圓的圓心和半徑，判斷出兩圓的位置關系可得到公切線的條數.【詳解】根據題意，圓即，其圓心為，半徑；圓即，其圓心為，半徑；兩圓的圓心距，所以兩圓相離，其公切線條數有4條；故選：D.2、D【解析】由導數的幾何意義求得曲線上與直線平行的切線方程的切線坐標，求出切點到直線的距離即為所求最小距離【詳解】點是曲線上的任意一點，設，令，解得1或（舍去），，∴曲線上與直線平行的切線的切點為，點到直線的最小距離.故選：D.3、C【解析】設，，由消得：，又，由韋達定理代入計算即可得答案.【詳解】設，，由消得：，所以，故.故選：C【點睛】本題主要考查了直線與拋物線的位置關系，直線的斜率公式，考查了轉化與化歸的思想，考查了學生的運算求解能力.4、C【解析】根據等比數列的通項公式求出公比，進而求得答案.【詳解】設的公比為，則（負值舍去），所以.故選：C.5、A【解析】先化簡A－B，發(fā)現其結果為二項式展開式，然后計算即可【詳解】A－B＝37－·36＋·35－·34＋·33－·32＋·3－1＝故選A.【點睛】本題主要考查了二項式定理的運用，關鍵是通過化簡能夠發(fā)現其結果在形式上滿足二項式展開式，然后計算出結果，屬于基礎題6、B【解析】由題意求出蒙日圓方程，再由兩圓只有一個交點可知兩圓相切，從而列方程可求出b的值【詳解】由題意可得橢圓的蒙日圓的半徑，所以蒙日圓方程為，因為圓與橢圓的蒙日圓有且僅有一個公共點，所以兩圓相切，所以，解得，故選：B7、D【解析】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，由題意得出的遞推關系，變形構造出等比數列，由得其通項公式后可得結論【詳解】設，從4月份起每月底用于下月進借貨的資金依次記為，，、同理可得，所以，而，所以數列是等比數列，公比為，所以，，總利潤為故選：D【點睛】思路點睛：本題考查數列的實際應用．解題方法是用數列表示月初進貨款，得出遞推關系，然后構造等比數列求解8、B【解析】A選項，當一真一假時也滿足條件，但不滿足為真命題；B選項，可以使用正弦定理和大邊對大角，大角對大邊進行證明；C選項，利用逆否命題的定義進行判斷，D選項，特稱命題的否定，把存在改為任意，把結論否定，故可判斷D選項.【詳解】若為真命題，則可能均為真，或一真一假，則可能為真命題，也可能為假命題，故A錯誤；在中，由正弦定理得：，若，則，從而，同理，若，則由正弦定理得，，所以，故在中“”是“”的充分必要條件，B正確；命題“若，則或”的逆否命題是“若且，則”，故C錯誤；命題，使得，則，使得，故D錯誤.故選：B9、D【解析】利用反證法可判斷A選項；利用面面垂直的性質可判斷BC選項；利用面面垂直的判定可判斷D選項.【詳解】對于A選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，平面，若平面，因為，則平面平面，事實上，平面與平面相交，假設不成立，A錯；對于B選項，過點在平面內作，垂足為點，平面，平面，則，，，平面，而過作平面的垂線，有且只有一條，故與平面不垂直，B錯；對于C選項，過點在平面內作，垂足為點，因為平面，平面，則，，，則平面，若平面平面，過點在平面內作，垂足為點，因為平面平面，平面平面，平面，平面，而過點作平面的垂線，有且只有一條，即、重合，所以，平面平面，所以，，但四邊形為菱形，、不一定垂直，C錯；對于D選項，因為四邊形為菱形，則，平面，平面，，，平面，因為平面，因此，平面平面平面，D對.故選：D.10、D【解析】設切點，點，聯(lián)立直線的方程和拋物線C的準線方程可得，將問題轉化為對任意點恒成立，可得，解出，從而求出答案【詳解】設切點，點由題意，拋物線C的準線，且由，得，則直線的方程為，即，聯(lián)立令，得由題意知，對任意點恒成立，也就是對任意點恒成立因為，，則，即對任意實數恒成立，所以，即，所以，故選：D【點睛】一般表示拋物線的切線方程時可將拋物線方程轉化為函數解析式，可利用導數的幾何意義求解切線斜率，再代入計算.11、D【解析】依題意可得，從而得到，即可得到，從而得解；【詳解】解：由長方體的性質可得，又，所以，因為，所以，所以，因為，所以；故選：D12、D【解析】根據題意，分析歸納可得該數列可以寫成，，，……，，可得該數列的通項公式，分析可得答案.【詳解】解：根據題意，數列，，，，…，，可寫成，，，……，，對于，即，為該數列的第20項；故選：D.【點睛】此題考查了由數列的項歸納出數列的通項公式，考查歸納能力，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】分析：平面圖形類比空間圖形,二維類比三維得到,類比平面幾何的結論,確定正四面體的外接球和內切球的半徑之比,即可求得結論.詳解：平面幾何中，圓的周長與圓的半徑成正比，而在空間幾何中，球的表面積與半徑的平方成正比，因為正四面體的外接球和內切球的半徑之比是，，故答案為.點睛：本題主要考查類比推理，屬于中檔題.類比推理問題，常見的類型有：（1）等差數列與等比數列的類比；（2）平面與空間的類比；（3）橢圓與雙曲線的類比；（4）復數與實數的類比；（5）向量與數的類比.14、【解析】根據給定條件求出雙曲線漸近線，再用點到直線的距離公式計算作答【詳解】雙曲線的漸近線為：，即，依題意，，即，解得，所以C漸近線方程為.故答案為：15、【解析】根據勾股定理可以計算出，這樣得到是直角三角形，利用等體積法求出點到的距離.【詳解】解：如圖所示，在三棱錐中，是三棱錐的高，，在中，,,,所以是直角三角形，，設點到的距離為，.故A到平面的距離為故答案為：【點睛】本題考查了點到線的距離，利用等體積法求出點到面的距離.是解題的關鍵.16、【解析】根據正弦型函數圖像平移法則和正弦函數性質進行解題.【詳解】解：由題意得：函數的圖像向左平移個單位后得：該函數與原函數圖像重合故可知，即故當時，最小正實數.故答案為：三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）【解析】(1)向量垂直的充要條件是內積為零，建立空間直角坐標系，計算向量內積；(2)利用一元二次函數，求解體積的最大值；(3)利用平面的法向量求二面角的正弦值.【小問1詳解】如下圖所示，以原點，，，所在直線分別軸、軸、軸，建立空間直角坐標系，設，則，，，，則，，因為，所以，即.【小問2詳解】因為，所以故的最大值為【小問3詳解】設平面的一個法向量，因為此時，，所以由得取，得，，又可取平面的一個法向量，所以故平面與平面的夾角的正弦值.18、（1）（2）80件/小時【解析】（1）先利用等差數列的通項公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線方程，再進行預測其生產速度.【小問1詳解】解：設前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數為.【小問2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線方程為，則當時，，即估計該車間某位有16年工齡的工人的生產速度為80件/小時.19、（1）；（2）【解析】(1)先根據已知求出，再求及.(2)先根據已知得到，再利用分組求和求數列的前項和.【詳解】（1）設等差數列的公差為d，因為，，所以，解得，所以；==.（2）由已知得，由（1）知，所以，=.【點睛】(1)本題主要考查等差數列的通項和前n項和求法，考查分組求和和等比數列的求和公式，意在考查學生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2)有一類數列，它既不是等差數列，也不是等比數列，但是數列是等差數列或等比數列或常見特殊數列，則可以將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比數列或常見的特殊數列，然后分別求和，再將其合并即可.這叫分組求和法.20、（1）（2）【解析】（1）由可知數列是公比為的等比數列，若選①：結合等差數列等差中項的性質計算求解；若選②：利用等比數列等比中項的性質計算求解，若選③：利用直接計算；（2）根據對數的運算，可知數列為等差數列，直接求和即可.【小問1詳解】由，當時，，即，即，所以數列是公比為的等比數列，若選①：由，即，，所以數列的通項公式為；若選②：由，所以，所以數列的通項公式為；若選③：由，即，所以數列的通項公式為；【小問2詳解】由（1）得，所以數列為等差數列，所以.21、（1）增區(qū)間，，減區(qū)