試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025-2026學年度第一學期蕪湖市高中教學質量監(jiān)控高三年級數(shù)學試題卷本試題卷共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．設命題，則的否定是（

）A． B．C． D．3．已知實數(shù)，則（

）A． B． C． D．4．等差數(shù)列的前項和為，滿足，則公差（

）A． B． C．1 D．25．已知的定義域為，滿足，則（

）A．2 B．-2 C．3 D．-36．若函數(shù)（且）的值域是，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B． C． D．7．正四棱錐的底面邊長為4，且所有頂點都在半徑為3的同一球面上,則異面直線與所成角的余弦值為（

）A．或 B．或 C． D．8．已知橢圓，雙曲線的漸近線與橢圓在第一象限的交點記為，為坐標原點，且，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9．（多選）若復數(shù)，則下列說法正確的有（

）A．實部為 B．虛部為C． D．復數(shù)對應的點在第一象限10．已知直線與單位圓（為坐標原點）交于兩點，下列說法正確的有（

）A．的最大值為2B．當直線過點時，的最小值為C．當時，中點的軌跡方程為D．當原點到直線的距離為時，的最大值為11．已知函數(shù)且為常數(shù)，是函數(shù)大于0的零點，其構成數(shù)列，下列說法正確的有（

）A．函數(shù)有且只有一個零點B．若函數(shù)在區(qū)間內均存在零點，則C．若，則數(shù)列為遞增數(shù)列D．存在實數(shù)，使得數(shù)列為常數(shù)列二、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知向量，若，則實數(shù).13．的展開式中的常數(shù)項為（用數(shù)字作答）．14．已知函數(shù)，關于的方程有6個不同的實數(shù)根，則的取值范圍為.四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知的內角的對邊分別為，滿足.(1)求；(2)若，求的周長.16．已知曲線在處的切線為.(1)求切線的方程；(2)求證：切線在曲線的下方（切點除外）.17．一個盒子里裝有大小相同且質地均勻的6個小球，編號分別為1，2，3，4，5，6.甲乙兩人摸球，每次由其中一人在盒中摸出兩球后立即放回.若兩球編號之和是3的倍數(shù)，則由這個人繼續(xù)摸球；否則，由另一人開始摸球.(1)求在一次摸球后，摸出兩球編號之和是3的倍數(shù)的概率；(2)假設第一次是甲摸球，在前4次摸球中，記乙摸球的次數(shù)為隨機變量，求隨機變量的分布列和期望；(3)假設第一次是乙摸球，求第次是乙摸球的概率.18．已知點，直線，是直線上任意一點，過作直線的垂線交線段的中垂線于點，記為坐標原點.(1)求點的軌跡的方程；(2)點異于點，連接交直線于點，求證：；(3)若與交于兩點，與交于兩點，設線段的中點分別為，求面積的最小值.19．如圖，空間六面體中四邊形與四邊形為共腰的梯形.(1)求證：四邊形與四邊形中至少有一個是梯形；(2)在空間直角坐標系中，分別與同向共線.①若該六面體為正四棱臺且，求平面與平面的夾角；②若四個側面均為腰長為2的等腰梯形，，求點到平面的距離.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁1．D【分析】根據(jù)集合并集的概念計算求解即可.【詳解】因為集合，所以，故選：D2．A【分析】由全稱量詞命題的否定是將任意改為存在，并否定原結論，即可得.【詳解】由全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題，則原命題的否定為.故選：A3．B【分析】利用作差法判斷AD，利用函數(shù)的單調性判斷BC即可.【詳解】選項A：因為，，當時，，即，當時，，即，A說法錯誤；選項B：因為在上單調遞增，所以由可得，B說法正確；選項C：由的圖象和性質，無法由判斷的關系，例如當，，此時，C說法錯誤；選項D：因為，，所以當時，即，當時，即，D說法錯誤；故選：B4．C【分析】利用等差數(shù)列的通項公式和性質求解即可.【詳解】因為數(shù)列是等差數(shù)列，滿足，所以，解得，所以由，即，解得，故選：C5．D【分析】根據(jù)給定條件，求出函數(shù)的周期，進而求出函數(shù)值.【詳解】由上的函數(shù)滿足，得，即函數(shù)是以6為周期的周期函數(shù)，而，所以.故選：D6．A【分析】先求出時的值域，可知要使的值域是，則當時的值域為的子集，求解即可.【詳解】當時，單調遞減，此時，要使的值域是，則當時，的值域為的子集，所以，解得，即實數(shù)a的取值范圍為，故選：A7．A【分析】設外接球球心為，底面中心為，外接球半徑，利用求出進而得到側棱長，根據(jù)異面直線的概念可知即為異面直線與所成角的平面角，在中利用余弦定理求解即可.【詳解】設外接球球心為，底面中心為，外接球半徑，因為底面邊長為4，所以，易知球心在線段上，則，解得或，當時，又，解得，因為，所以即為異面直線與所成角的平面角，在中，由余弦定理可得，解得，當時，又，解得，因為，所以即為異面直線與所成角的平面角，在中，由余弦定理可得，解得，故選：A8．C【分析】由可得，與橢圓方程聯(lián)立解出點坐標，代入漸近線方程結合離心率公式即可得解.【詳解】設，由可得，因為在橢圓上，聯(lián)立，兩式相減得，解得，所以，雙曲線經(jīng)過第一象限的漸近線方程為，將代入得，解得，所以雙曲線的離心率，故選：C9．AD【分析】根據(jù)復數(shù)的概念逐項判斷即可.【詳解】由題意可得，所以的實部為，虛部為，，復數(shù)對應的點為，在第一象限，故選：AD10．ABD【分析】由題意圓，圓心為原點，半徑為1，利用圓的性質判斷A、B、C，根據(jù)原點到直線的距離為，得到并設，利用向量法及、確定縱坐標的表示，再由三角恒等變換、正弦函數(shù)的性質求最大值判斷D.【詳解】由題設，圓，圓心為原點，半徑為1，所以，當直線過原點時所得最大，為2，A對，顯然點在圓內，若直線過該點，則該點與點所在直線與直線垂直時，最小，為，B對，由，則其中點與圓心的距離，所以中點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，則方程為，C錯，若原點到直線的距離為，即中點在圓上，且，設，則，與垂直的一個單位向量為，而，則，又，所以，而關于對稱，則，所以，，則且，所以時，最大值為，D對.故選：ABD11．ACD【分析】利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調性即可說明A，由單調性可得，即可求出的范圍判斷B，當時可得，推導出，再利用函數(shù)的單調性判斷C，設（常數(shù)），則對任意，恒成立，解出即可判斷D.【詳解】選項A：因為，所以恒成立，所以在上單調遞增，又時，時，所以函數(shù)有且只有一個零點，A說法正確；選項B：當時，恒成立，所以在上單調遞增，又，所以若函數(shù)在區(qū)間內均存在零點，只需滿足即可，所以對任意成立即可，易知函數(shù)在上單調遞減，所以，所以，B說法錯誤；選項C：當時，因為在上單調遞增，，，所以，當時，由于是函數(shù)在的零點，所以，所以，則，數(shù)列為遞增數(shù)列，C說法正確；選項D：若存在實數(shù)，使得數(shù)列為常數(shù)列，設（常數(shù)），則對任意，恒成立，解得或，當時，代入得解得，當時，代入得，因故舍去，所以當時，數(shù)列為常數(shù)列，，D說法正確；故選：ACD12．6【分析】由以及數(shù)量積的坐標運算即可求解.【詳解】若，則，則，故答案為：.13．15【分析】由二項式定理得，要使為常數(shù)項有，即可求項系數(shù).【詳解】由二項式知：，∴當時為常數(shù)項，即.故答案為：15.14．【分析】問題化為上有4個不同實根，且有2個不同實根，結合正弦函數(shù)的圖象得，即可得.【詳解】共有6個不同的實根，由，則有4個不同實根，且有2個不同實根，根據(jù)正弦函數(shù)的圖象知，可得.故答案為：15．(1)；(2).【分析】（1）由正弦邊角關系及三角形內角的性質化簡條件得，即可求；（2）由余弦定理及已知得，進而即得.【詳解】（1）由及正弦邊角關系得，而，整理得，因為，所以；（2）由余弦定理，得，進而得，得，所以的周長為.16．(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）由導數(shù)的幾何意義求切線方程即可；（2）結合（1），將問題化為證明，令，利用導數(shù)證明恒成立，即可.【詳解】（1）由，得，所以，又，所以切線方程為，即；（2）結合（1），令，則，令，則，令，得，所以時，時，所以在上單調遞減且恒小于0，在上單調遞增，注意到，所以有唯一根，時，在上單調遞減，時，在上單調遞增，所以函數(shù)，則，當且僅當時取等號，所以切線在曲線的下方（切點除外），得證.17．(1)；(2)分布列見解析，；(3).【分析】（1）應用組合數(shù)及古典概型的概率求法求概率即可；（2）根據(jù)已知有，應用獨立事件的概率求法求出分布列，進而求期望；（3）根據(jù)已知有，當時，從而得到為等比數(shù)列，即可得.【詳解】（1）在一次摸球后有種等可能的結果，其中“兩球編號之和為3”有1種結果，“兩球編號之和為6”有2種結果，“兩球編號之和為9”有2種結果，故“兩球編號之和是3的倍數(shù)”的概率為.（2）由題意，設事件分別表示甲乙摸到3的倍數(shù)(以下連寫表示順次摸出情況)，事件為的概率，事件為的概率，事件為的概率，事件為的概率，0123；（3）由，當時，，整理可得，又，所以，即是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，故.18．(1)(2)證明見解析(3)4【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義求解即可；（2）設點，根據(jù)題意分別求出坐標，再根據(jù)斜率公式求解即可；（3）設直線的斜率為，直線的斜率為，根據(jù)題意求出點坐標，再根據(jù)三角形的面積公式和基本不等式求最小值即可.【詳解】（1）因為點在的垂直平分線上，所以點到的距離與到直線的距離相等，則點的軌跡是以為焦點的拋物線，所以軌跡的方程為.（2）設點，則點，直線方程為，令可得點，所以，，所以，即.（3）由題可得直線的斜率存在且不為0，設的斜率為，則直線的斜率為，則，，設，則，所以，得，同理用代替得，則，又由（2）得，所以，當且僅當時取等號，是的最小值為4.19．(1)證明見解析(2)①；②【分析】（1）利用線面平行和面面平行的性質可得，，假設四邊形與四邊形均不是梯形可得出平面，進而得，與條件矛盾，即可證明；（2）①求出平面與平面的法向量，利用面面角的坐標公式求解即可；②延長直線交于點，過點作交，于，交于，可得正四棱錐，求出點到下底面的距離等體積法即可求解.【詳解】（1）因為四邊形與四邊形為共腰的梯形，所以，由于平面，平面，所以平面，同理可得平面，又因為，平面，所以平面平面，因為平面平面，平面平面，所以，同理得，下面使用反證法：如果四邊形與四邊形均不是梯形，那必都是平行四邊形，則，因為平面，平面，所以平面，又平面平面，所以，這與四邊形為梯形矛盾，所以原命題成立，即四邊形與四邊形中至少有一個是梯形.（2），①當該六面體為正四棱臺時，，，由解得，當時，，設平面的法向量，平