2026年數(shù)學(xué)建模與數(shù)據(jù)分析技能考試題目第一部分：數(shù)據(jù)分析與處理（共3題，每題10分，合計(jì)30分）說明：本部分主要考察考生在數(shù)據(jù)處理、統(tǒng)計(jì)分析方面的能力，要求考生能夠熟練運(yùn)用數(shù)據(jù)處理工具和方法，對(duì)給定數(shù)據(jù)進(jìn)行清洗、分析和可視化。1.1數(shù)據(jù)清洗與預(yù)處理（10分）背景：某電商平臺(tái)收集了2023年全年用戶購買行為數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包含用戶ID、購買時(shí)間、商品類別、購買金額、用戶地域等信息。原始數(shù)據(jù)中存在缺失值、異常值和重復(fù)記錄，需要進(jìn)行清洗和預(yù)處理。題目：（1）描述至少三種常見的缺失值處理方法，并說明每種方法的適用場(chǎng)景。（2）假設(shè)某商品類別的購買金額存在異常值，請(qǐng)?zhí)岢鲋辽賰煞N檢測(cè)和修正異常值的方法，并說明其原理。（3）簡(jiǎn)述如何檢測(cè)和去除重復(fù)記錄，并說明其重要性。答案與解析：（1）缺失值處理方法：-刪除法：適用于缺失值比例較低的情況，直接刪除含有缺失值的記錄或特征。優(yōu)點(diǎn)是簡(jiǎn)單高效，缺點(diǎn)是可能丟失重要信息。-均值/中位數(shù)/眾數(shù)填充：適用于缺失值分布均勻的情況，用統(tǒng)計(jì)量填充缺失值。優(yōu)點(diǎn)是操作簡(jiǎn)單，缺點(diǎn)是可能影響數(shù)據(jù)分布。-插值法：適用于時(shí)間序列數(shù)據(jù)或有序數(shù)據(jù)，如線性插值、多項(xiàng)式插值等。優(yōu)點(diǎn)是保留數(shù)據(jù)趨勢(shì)，缺點(diǎn)是計(jì)算復(fù)雜度較高。（2）異常值檢測(cè)與修正方法：-箱線圖法：通過四分位數(shù)范圍（IQR）識(shí)別異常值，公式為：異常值=Q3+1.5×IQR或Q1-1.5×IQR。優(yōu)點(diǎn)是直觀，缺點(diǎn)是假設(shè)數(shù)據(jù)呈正態(tài)分布。-Z-score法：計(jì)算數(shù)據(jù)與均值的標(biāo)準(zhǔn)化距離，絕對(duì)值大于3的視為異常值。優(yōu)點(diǎn)是適用于多特征數(shù)據(jù)，缺點(diǎn)是對(duì)異常值敏感。-修正方法：可用中位數(shù)替換、截?cái)喾ǎㄈ鐚惓Ｖ翟O(shè)為第95百分位數(shù)）等。（3）重復(fù)記錄檢測(cè)與去除：-方法：通過用戶ID、購買時(shí)間、商品ID等唯一標(biāo)識(shí)符檢測(cè)重復(fù)記錄，使用數(shù)據(jù)庫的DISTINCT函數(shù)或編程語言的group-by操作。-重要性：重復(fù)記錄會(huì)干擾統(tǒng)計(jì)分析結(jié)果，如用戶購買頻率、客單價(jià)等指標(biāo)失真。去除重復(fù)記錄可確保數(shù)據(jù)準(zhǔn)確性。1.2描述性統(tǒng)計(jì)分析（10分）背景：某銀行收集了2023年第一季度信用卡用戶消費(fèi)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包含用戶年齡、性別、消費(fèi)金額、消費(fèi)頻率等信息。題目：（1）計(jì)算用戶消費(fèi)金額的均值、中位數(shù)、方差和標(biāo)準(zhǔn)差，并解釋這些統(tǒng)計(jì)量的意義。（2）繪制用戶年齡的直方圖，并描述年齡分布特征。（3）計(jì)算用戶消費(fèi)頻率的眾數(shù)，并解釋其業(yè)務(wù)含義。答案與解析：（1）統(tǒng)計(jì)量計(jì)算：-均值：反映消費(fèi)水平的中心趨勢(shì)。-中位數(shù)：不受極端值影響，更能代表典型消費(fèi)水平。-方差/標(biāo)準(zhǔn)差：衡量消費(fèi)金額的波動(dòng)性，值越大表示消費(fèi)越分散。（2）直方圖繪制與描述：-以年齡分組（如20-30歲、30-40歲等），統(tǒng)計(jì)各組人數(shù)。-描述：如“20-30歲用戶最多，呈右偏態(tài)分布，說明年輕群體是主力消費(fèi)群體?！保?）眾數(shù)與業(yè)務(wù)含義：-眾數(shù)是出現(xiàn)頻率最高的消費(fèi)頻率（如每月消費(fèi)3次）。-業(yè)務(wù)含義：可優(yōu)化營銷策略，如針對(duì)高頻用戶推出會(huì)員福利。1.3數(shù)據(jù)可視化（10分）背景：某共享單車平臺(tái)收集了2023年全年騎行數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)包含騎行時(shí)間、騎行距離、用戶地域等信息。題目：（1）繪制騎行距離的分布圖（如核密度圖或箱線圖），并描述距離分布特征。（2）繪制不同地域用戶的騎行距離箱線圖，并分析地域差異。（3）說明數(shù)據(jù)可視化的作用，并舉例說明如何通過可視化發(fā)現(xiàn)業(yè)務(wù)問題。答案與解析：（1）分布圖繪制與描述：-核密度圖：顯示騎行距離的概率密度，如“距離集中在1-5公里，呈單峰分布，說明短途騎行為主?！?箱線圖：顯示中位數(shù)、四分位數(shù)和異常值，如“中位數(shù)距離為3公里，但存在部分長距離異常值（如20公里以上）?！保?）地域差異分析：-通過箱線圖對(duì)比不同地域（如城市A、城市B）的騎行距離。-如“城市A距離分布更集中（中位數(shù)2公里），城市B存在更多長距離騎行（可能郊區(qū)用戶多）?！保?）數(shù)據(jù)可視化作用與舉例：-作用：直觀展示數(shù)據(jù)規(guī)律、發(fā)現(xiàn)異常、支持決策。-舉例：通過熱力圖發(fā)現(xiàn)“某區(qū)域騎行量突然下降，可能因道路施工，需提前預(yù)警?！钡诙糠郑航y(tǒng)計(jì)推斷與建模（共3題，每題10分，合計(jì)30分）說明：本部分考察考生在統(tǒng)計(jì)推斷和模型構(gòu)建方面的能力，要求考生能夠運(yùn)用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問題。2.1參數(shù)估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)（10分）背景：某餐飲企業(yè)想了解其新推出的健康餐是否比傳統(tǒng)餐更受消費(fèi)者歡迎，隨機(jī)抽取100名顧客進(jìn)行問卷調(diào)查，其中60人更喜歡健康餐。題目：（1）計(jì)算樣本中更喜歡健康餐的比例及其95%置信區(qū)間。（2）檢驗(yàn)“健康餐更受歡迎”的假設(shè)，設(shè)顯著性水平為0.05。（3）解釋假設(shè)檢驗(yàn)的p值含義。答案與解析：（1）置信區(qū)間計(jì)算：-樣本比例p?=60/100=0.6，標(biāo)準(zhǔn)誤SE=√(p?(1-p?)/n)=√(0.6×0.4/100)≈0.049。-95%置信區(qū)間：0.6±1.96×0.049≈[0.503,0.697]。（2）假設(shè)檢驗(yàn)：-原假設(shè)H0：p≤0.5；備擇假設(shè)H1：p>0.5。-Z統(tǒng)計(jì)量=(0.6-0.5)/0.049≈2.04，p值≈0.021<0.05，拒絕H0，說明健康餐更受歡迎。（3）p值含義：-p值表示在H0成立時(shí)，觀察到樣本比例至少與實(shí)際值一樣極端的概率。p值越小，越有理由拒絕H0。2.2回歸分析（10分）背景：某電商平臺(tái)分析用戶購買金額（Y）與用戶年齡（X1）、購買頻率（X2）的關(guān)系，數(shù)據(jù)如下表（部分）：|Y|X1|X2||||||500|25|5||1200|35|8||...|...|...|題目：（1）建立Y關(guān)于X1和X2的線性回歸模型。（2）解釋回歸系數(shù)的經(jīng)濟(jì)含義。（3）檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷恼w顯著性（F檢驗(yàn)）。答案與解析：（1）線性回歸模型：-模型形式：Y=β0+β1X1+β2X2+ε。-通過最小二乘法計(jì)算回歸系數(shù)（需完整數(shù)據(jù)），假設(shè)結(jié)果為：Y=200+20X1+100X2。（2）系數(shù)含義：-β1=20：年齡每增加1歲，購買金額增加20元（假設(shè)其他變量不變）。-β2=100：購買頻率每增加1次，購買金額增加100元。（3）F檢驗(yàn)：-計(jì)算F統(tǒng)計(jì)量=(回歸平方和/自由度)/(殘差平方和/自由度)，若F>F臨界值，則模型顯著。2.3時(shí)間序列分析（10分）背景：某城市2023年空氣質(zhì)量指數(shù)（AQI）數(shù)據(jù)如下（月度）：|月份|AQI|||||1月|80||2月|75||...|...|題目：（1）繪制AQI時(shí)間序列圖，觀察趨勢(shì)和季節(jié)性。（2）建立簡(jiǎn)單移動(dòng)平均模型預(yù)測(cè)下個(gè)月AQI。（3）說明時(shí)間序列分析在空氣質(zhì)量預(yù)測(cè)中的應(yīng)用價(jià)值。答案與解析：（1）時(shí)間序列圖分析：-繪制折線圖，如“數(shù)據(jù)顯示春秋季節(jié)AQI較低（如3月、10月），冬季較高（如1月、12月）?！保?）移動(dòng)平均模型：-使用過去3個(gè)月數(shù)據(jù)計(jì)算平均值作為下月預(yù)測(cè)值，如“4月AQI≈(3月+2月+1月AQI)/3?！保?）應(yīng)用價(jià)值：-可提前預(yù)警污染天氣，指導(dǎo)交通管制、健康建議等政策。第三部分：機(jī)器學(xué)習(xí)與預(yù)測(cè)（共3題，每題10分，合計(jì)30分）說明：本部分考察考生在機(jī)器學(xué)習(xí)算法應(yīng)用和預(yù)測(cè)建模方面的能力。3.1分類模型（10分）背景：某銀行想預(yù)測(cè)客戶是否會(huì)流失（Yes/No），數(shù)據(jù)包含客戶年齡、收入、消費(fèi)行為等特征。題目：（1）選擇合適的分類算法（如邏輯回歸、決策樹），并說明選擇理由。（2）簡(jiǎn)述模型訓(xùn)練和評(píng)估步驟。（3）解釋混淆矩陣的TP、FP、TN、FN含義。答案與解析：（1）算法選擇：-邏輯回歸適用于線性關(guān)系，決策樹處理非線性關(guān)系。根據(jù)數(shù)據(jù)特征選擇，如“消費(fèi)行為數(shù)據(jù)離散化后可用決策樹?！保?）訓(xùn)練與評(píng)估：-訓(xùn)練：劃分訓(xùn)練集和測(cè)試集，用訓(xùn)練集擬合模型。-評(píng)估：計(jì)算準(zhǔn)確率、精確率、召回率、F1分?jǐn)?shù)。（3）混淆矩陣：-TP：真陽性（預(yù)測(cè)流失且實(shí)際流失）。-FP：假陽性（預(yù)測(cè)流失但實(shí)際未流失）。-TN：真陰性（預(yù)測(cè)未流失且實(shí)際未流失）。-FN：假陰性（預(yù)測(cè)未流失但實(shí)際流失）。3.2聚類分析（10分）背景：某電商平臺(tái)想將用戶按消費(fèi)行為聚類，數(shù)據(jù)包含購買金額、購買頻率、客單價(jià)等。題目：（1）選擇合適的聚類算法（如K-means），并說明K值確定方法。（2）簡(jiǎn)述聚類步驟。（3）解釋輪廓系數(shù)如何評(píng)估聚類效果。答案與解析：（1）K值確定：-使用肘部法則：繪制不同K值的慣性值，選擇拐點(diǎn)處的K值。（2）聚類步驟：-初始化聚類中心，分配樣本，更新中心，重復(fù)直到收斂。（3）輪廓系數(shù)：-范圍[-1,1]，值越大聚類效果越好，表示樣本與同簇距離近、與異簇距離遠(yuǎn)。3.3預(yù)測(cè)模型優(yōu)化（10分）背景：某共享單車平臺(tái)想預(yù)測(cè)每日騎行需求，數(shù)據(jù)包含天氣、季節(jié)、節(jié)假日等特征。題目：（1）簡(jiǎn)述交叉驗(yàn)證的作用。（2）比較兩種預(yù)測(cè)模型（如線性回歸、梯度提升樹）的優(yōu)缺點(diǎn)。（