專題05概率與數(shù)列、導數(shù)交匯問題典型例題例題1．（2022·上海市高橋中學高三階段練習）奧密克戎BA.5變異毒株的潛伏期又縮短了，但具體到個人，感染后潛伏期的長短還是有個體差異的．潛伏期是指已經(jīng)感染了奧密克戎變異株，但未出現(xiàn)臨床癥狀的和體征的一段時期，奧密克戎潛伏期做核算檢測可能為陰性，建議可以多做幾次核算檢測，有助于明確診斷．某研究機構對某地1000名患者進行了調(diào)查和統(tǒng)計，得到如下表：潛伏期：（單位：天）人數(shù)80210310250130155(1)求這1000名患者的潛伏期的樣本平均值．(2)該傳染病的潛伏期受諸多因素的影響，為研究潛伏期與患者年齡的關系，以潛伏期是否超過6天為標準進行分層抽樣，從上述1000名患者中抽取300人，得到如下列聯(lián)表請將列聯(lián)表補充完整，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有95％的把握認為潛伏期與患者年齡有關．潛伏期天潛伏期天總計50歲以上（含50）15050歲以下85總計300(3)為了做好防疫工作，各個部門、單位抓緊將各項細節(jié)落到實處，對“確診”、“疑似”、“無法明確排除”和“確診密接者”等“四類”人員，強化網(wǎng)格化管理，不落一戶、不漏一人．若在排查期間，某小區(qū)有5人被確認為“確診患者的密接接觸”，現(xiàn)醫(yī)護人員要對這5人進行逐一“單人單管”核酸檢測，只要出現(xiàn)一例陽性，則該小區(qū)將被劃為“封控區(qū)”．假設每人被確診的概率為且相互獨立，若當時，至少檢測了4人該小區(qū)就被劃為“封控區(qū)”的概率取得最大值，求．附：，其中例題2．（2022·廣東·東莞四中高三階段練習）足球是一項大眾喜愛的運動.2022卡塔爾世界杯揭幕戰(zhàn)將在2022年11月21日打響，決賽定于12月18日晚進行，全程為期28天.(1)為了解喜愛足球運動是否與性別有關，隨機抽取了男性和女性各100名觀眾進行調(diào)查，得到22列聯(lián)表如下：喜愛足球運動不喜愛足球運動合計男性6040100女性2080100合計80120200依據(jù)小概率值a=0.001的獨立性檢驗，能否認為喜愛足球運動與性別有關?(2)校足球隊中的甲、乙、丙、丁四名球員將進行傳球訓練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時，傳球者都等可能的將球傳給另外三個人中的任何一人，如此不停地傳下去，且假定每次傳球都能被接到．記開始傳球的人為第1次觸球者，第次觸球者是甲的概率記為，即．（i）求（直接寫出結果即可）；（ii）證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并判斷第19次與第20次觸球者是甲的概率的大?。}型歸類練1．（2022·全國·高三專題練習）紅鈴蟲是棉花的主要害蟲之一，能對農(nóng)作物造成嚴重傷害，每只紅鈴蟲的平均產(chǎn)卵數(shù)y和平均溫度x有關，現(xiàn)收集了以往某地的7組數(shù)據(jù)，得到下面的散點圖及一些統(tǒng)計量的值．平均溫度x/℃21232527293133平均產(chǎn)卵數(shù)y/個7112124661153251.92.43.03.24.24.75.8(1)根據(jù)散點圖判斷，與（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）哪一個更適宜作為平均產(chǎn)卵數(shù)y關于平均溫度x的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）并由判斷結果及表中數(shù)據(jù)，求出y關于x的回歸方程，（計算結果精確到0.01）(2)根據(jù)以往統(tǒng)計，該地每年平均溫度達到28℃以上時紅鈴蟲會造成嚴重傷害，需要人工防治，其他情況均不需要人工防治，假設該地每年平均溫度達到28℃以上的概率為p．若當時，該地今后5年中恰好有3年需要人工防治的概率最大，求的值．參考數(shù)據(jù)52151771371781.33.6附：回歸方程，，．2．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習）今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多.9月19日，中國疾控中心發(fā)布了我國首例“輸入性猴痘病例”的溯源公告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控已提前做出部署，同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21天．在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；(2)以樣本中結束醫(yī)學現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有1人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大？附：0.10.050.0102.7063.8416.6353．（2022·河南·安陽一中高三階段練習（理））根據(jù)社會人口學研究發(fā)現(xiàn)，一個家庭有個孩子的概率模型為：1230概率其中.每個孩子的性別是男孩還是女孩的概率均為且相互獨立，事件表示一個家庭有個孩子，事件表示一個家庭的男孩比女孩多（例如：一個家庭恰有一個男孩，則該家庭男孩多）.(1)若，求和；(2)為了調(diào)控未來人口結構，其中參數(shù)受到各種因素的影響（例如生育保險的增加，教育?醫(yī)療福利的增加等）.①若希望增大，如何調(diào)控的值？②是否存在的值使得，請說明理由.4．（2022·江蘇省高郵中學高三開學考試）今年5月以來，世界多個國家報告了猴痘病例，非洲地區(qū)猴痘地方性流行國家較多．我國目前為止尚無猴痘病例報告．我國作為為人民健康負責任的國家，對可能出現(xiàn)的猴痘病毒防控提前做出部署．同時國家衛(wèi)生健康委員會同國家中醫(yī)藥管理局制定了《猴痘診療指南（2022年版）》．此《指南》中指出：①猴痘病人潛伏期5-21天；②既往接種過天花疫苗者對猴痘病毒存在一定程度的交叉保護力．據(jù)此，援非中國醫(yī)療隊針對援助的某非洲國家制定了猴痘病毒防控措施之一是要求與猴痘病毒確診患者的密切接觸者集中醫(yī)學觀察21天．在醫(yī)學觀察期結束后發(fā)現(xiàn)密切接觸者中未接種過天花疫苗者感染病毒的比例較大．對該國家200個接種與未接種天花疫苗的密切接觸者樣本醫(yī)學觀察結束后，統(tǒng)計了感染病毒情況，得到下面的列聯(lián)表：接種天花疫苗與否/人數(shù)感染猴痘病毒未感染猴痘病毒未接種天花疫苗3060接種天花疫苗2090(1)是否有99%的把握認為密切接觸者感染猴痘病毒與未接種天花疫苗有關；(2)以樣本中結束醫(yī)學現(xiàn)察的密切接觸者感染猴痘病毒的頻率估計概率．現(xiàn)從該國所有結束醫(yī)學觀察的密切接觸者中隨機抽取4人進行感染猴痘病毒人數(shù)統(tǒng)計，求其中至多有2人感染猴痘病毒的概率：(3)該國現(xiàn)有一個中風險村莊，當?shù)卣疀Q定對村莊內(nèi)所有住戶進行排查．在排查期間，發(fā)現(xiàn)一戶3口之家與確診患者有過密切接觸，這種情況下醫(yī)護人員要對其家庭成員逐一進行猴痘病毒檢測．每名成員進行檢測后即告知結果，若檢測結果呈陽性，則該家庭被確定為“感染高危家庭”．假設該家庭每個成員檢測呈陽性的概率均為且相互獨立．記：該家庭至少檢測了2名成員才能確定為“感染高危家庭”的概率為．求當為何值時，最大?附：0.10.050.0102.7063.8416.6355．（2022·山東濰坊·高三階段練習）學校籃球隊30名同學按照1，2，…，30號站成一列做傳球投籃練習，籃球首先由1號傳出，訓練規(guī)則要求：第號同學得到球后傳給號同學的概率為，傳給號同學的概率為，直到傳到第29號（投籃練習）或第30號（投籃練習）時，認定一輪訓練結束，已知29號同學投籃命中的概率為，30號同學投籃命中的概率為，設傳球傳到第號的概率為．(1)求的值；(2)證明：是等比數(shù)列；(3)比較29號和30號投籃命中的概率大?。?．（2022·福建·上杭一中高三階段練習）汽車尾氣排放超標是全球變暖、海平面上升的重要因素．我國近幾年著重強調(diào)可持續(xù)發(fā)展，加大在新能源項目的支持力度，積極推動新能源汽車產(chǎn)業(yè)發(fā)展，某汽車制造企業(yè)對某地區(qū)新能源汽車的銷售情況進行調(diào)查，得到7下面的統(tǒng)計表：年份20172018201920202021年份代碼12345銷量萬輛1012172026(1)統(tǒng)計表明銷量與年份代碼有較強的線性相關關系，求關于的線性回歸方程，并預測該地區(qū)新能源汽車的銷量最早在哪一年能突破50萬輛；(2)為了解購車車主的性別與購車種類（分為新能源汽車與傳統(tǒng)燃油汽車）的情況，該企業(yè)心隨機調(diào)查了該地區(qū)200位購車車主的購車情況作為樣本其中男性車主中購置傳統(tǒng)燃油汽車的有名，購置新能源汽車的有45名，女性車主中有20名購置傳統(tǒng)燃油汽車．①若，將樣本中購置新能源汽車的性別占比作為概率，以樣本估計總體，試用（1）中的線性回歸方程預測該地區(qū)2023年購置新能源汽車的女性車主的人數(shù)（假設每位車主只購買一輛汽車，結果精確到千人）；②設男性車主中購置新能源汽車的概率為，老吉將樣本中的頻率視為概率，從被調(diào)查的所有男性車主中隨機抽取5人，記恰有3人購置新能源汽車的概率為，求當為何值時，最大．附：為回歸方程，，．7．（2022·云南·昆明一中高三開學考試）甲?乙兩人參加一個游戲，該游戲設有獎金256元，誰先贏滿5局，誰便贏得全部的獎金，已知每局游戲乙贏的概率為，甲贏的概率為，每局游戲相互獨立，在乙贏了3局甲贏了1局的情況下，游戲設備出現(xiàn)了故障，游戲被迫終止，則獎金應該如何分配才為合理？有專家提出如下的獎金分配方案：如果出現(xiàn)無人先贏5局且游戲意外終止的情況，則甲?乙按照游戲再繼續(xù)進行下去各自贏得全部獎金的概率之比分配獎金.(1)若，則乙應該得多少獎金；(2)記事件A為“游戲繼續(xù)進行下去甲獲得全部獎金”，試求當游戲繼續(xù)進行下去，甲獲得全部獎金的概率，并判斷當時，事件A是否為小概率事件，并說明理由.（注：若隨機事件發(fā)生的概率小于，則稱隨機事件為小概率事件）8．（2022·遼寧·大連二十四中模擬預測）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對100輛汽車進行了單次最大續(xù)航里程的測試.現(xiàn)對測試數(shù)據(jù)進行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：(1)估計這100輛汽車的單次最大續(xù)航里程的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代表）；(2)經(jīng)計算第（1）問中樣本標準差的近似值為50，根據(jù)大量的測試數(shù)據(jù)，可以認為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布（用樣本平均數(shù)和標準差分別作為的近似值），現(xiàn)任取一輛汽車，求它的單次最大續(xù)航里程的概率；（參考數(shù)據(jù)：若隨機變量，則，(3)某汽車銷售公司為推廣此款新能源汽車，現(xiàn)面向意向客戶推出“玩游戲，送大獎”活動，客戶可根據(jù)拋擲硬幣的結果，操控微型遙控車在方格圖上（方格圖上依次標有數(shù)字0?1?2?3?……?20）移動，若遙控車最終停在“勝利大本營”（第19格），則可獲得購車優(yōu)惠券3萬元；若遙控車最終停在“微笑大本營”（第20格），則沒有任何優(yōu)優(yōu)惠券.已知硬幣出現(xiàn)正?反面的概率都是，遙控車開始在第0格，客戶每擲一次硬幣，遙控車向前移動一次：若擲出正面，遙控車向前移動一格（從到；若擲出反面，遙控車向前移動兩格（從到），直到遙控車移到“勝利大本營”或“微笑大本營”時，游戲結束.設遙控車移到第格的概率為，試證明是等比數(shù)列，并求參與游戲一次的顧客獲得優(yōu)惠券全額的期望值（精確到萬元）.9．（2022·江蘇·南京市江寧高級中學模擬預測）2022年2月6日，中國女足在兩球落后的情況下，以3比2逆轉擊敗韓國女足，成功奪得亞洲杯冠軍，在之前的半決賽中，中國女足通過點球大戰(zhàn)驚險戰(zhàn)勝日本女足，其中門將朱鈺兩度撲出日本隊員的點球，表現(xiàn)神勇．(1)撲點球的難度一般比較大，假設罰點球的球員會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向射門，門將也會等可能地隨機選擇球門的左、中、右三個方向來撲點球，而且門將即使方向判斷正確也有的可能性撲不到球．不考慮其它因素，在一次點球大戰(zhàn)中，求門將在前三次撲出點球的個數(shù)X的分布列和期望；(2)好成績的取得離不開平時的努力訓練，甲、乙、丙、丁4名女足隊員在某次傳接球的訓練中，球從甲腳下開始，等可能地隨機傳向另外3人中的1人，接球者接到球后再等可能地隨機傳向另外3人中的1人，如此不停地傳下去，假設傳出的球都能接?。浀趎次傳球之前球在甲腳下的概率為，易知．①試證明為等比數(shù)列；②設第n次傳球之前球在乙腳下的概率為，比較與的大?。?0．（2022·全國·高三專題練習）某疾病可分為Ⅰ、Ⅱ兩種類型．為了解該疾病類型與性別的關系，在某地區(qū)隨機抽取了患該疾病的病人進行調(diào)查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人數(shù)占男性性別病人的，女性患Ⅰ型病的人數(shù)占女性性別病人的．(1)若在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“所患疾病類型”與“性別”有關，求男性患者至少有多少人？(2)某藥品研發(fā)公司欲安排甲乙兩個研發(fā)團隊來研發(fā)此疾病的治療藥物．兩個團隊各至多安排2個接種周期進行試驗．甲團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每人每次接種每個周期至多接種3次，第一個周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止本接種周期進入第二個接種周期，否則需依次接種至第一周期結束，再進入第二周期：第二接種周期連續(xù)2次出現(xiàn)抗體則終止試驗，否則需依次接種至至試驗結束；乙團隊研發(fā)的藥物每次接種后產(chǎn)生抗體的概率為，每人每次花費元，每個周期接種3次，每個周期必須完成3次接種，若一個周期內(nèi)至少出現(xiàn)2次抗體，則該周期結束后終止試驗，否則進入第二個接種周期，假設兩個研發(fā)團隊每次接種后產(chǎn)生抗體與否均相互獨立．當，時，從兩個團隊試驗的平均花費考慮，公司應選擇哪個團隊？(3)乙團隊為獎勵參與研發(fā)的工作人員，特地給參與本次研發(fā)的工作人員每人發(fā)放價值1000元的購物卡，并推出一檔“勇闖關，送大獎”的活動．規(guī)則是：在某張方格圖上標有第0格、第1格、第2格、…第30格共31個方格．棋子開始在第0格，然后擲一枚均勻的硬幣（已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是，其中）．若擲出正面，將棋子向前移動一格（從k到），若擲出反面，則將棋子向前移動兩格（從k到）．重復多次，若這枚棋子最終停在第29格，則認為“闖關成功”，并贈送1000元購物卡；若這枚棋子最終停在第30格，則認為“闖關失敗”，不再獲得其他獎勵，活動結束．設棋子移到第n格的概率為，若某員工參與這檔“闖關游戲”，試比較一名員工闖關成功和失敗的概率，并說明理由．附：，0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82811．（2022·全國·高三專題練習）一種擲骰子走跳棋的游戲：棋盤上標有第站、第站、第站、、第站，共站，設棋子跳到第站的概率為，一枚棋子開始在第站，棋手每擲一次骰子，棋子向前跳動一次．若擲出奇數(shù)點，棋子向前跳一站；若擲出偶數(shù)點，棋子向前跳兩站，直到棋子跳到第站（獲勝）或第站（失?。r，游戲結束（骰子是用一種均勻材料做成的立方體形狀的游戲玩具，它的六個面分別標有點數(shù)、、、、、）．(1)求、、，并根據(jù)棋子跳到第站的情況，試用和表示；(2)求證：為等比數(shù)列；(3)求玩該游戲獲勝的概率．12．（2022·全國·高三專題練習）我國某芯片企業(yè)使用新技術對一款芯片進行試產(chǎn)，設試產(chǎn)該款芯片的次品率為p（0＜p＜1），且各個芯片的生產(chǎn)互不影響．(1)試產(chǎn)該款芯片共有兩道工序，且互不影響，其次品率依次為，．①求p；②現(xiàn)對該款試產(chǎn)的芯片進行自動智能檢測，自動智能檢測為次品（注：合格品不會被誤檢成次品）的芯片會被自動淘汰，然后再進行人工抽檢已知自動智能檢測顯示該款芯片的合格率為96%，求人工抽檢時，抽檢的一個芯片是合格品的概率．(2)視p為概率，記從試產(chǎn)的芯片中隨機抽取n個恰含m（n＞m）個次品的概率為，求證：在時取得最大值．13．（2022·全國·高三專題練習（理））地球上兩個生物種群之間通常會存在三種關系：相互競爭、相互依存、弱肉強食.已知某兩個生物種群A、B在地球上會以約500年為一個周期，從一個關系逐漸過渡到另一種關系，設、、分別表示相互競爭、相互依存、弱肉強食關系，研究發(fā)現(xiàn)，該生物種群A、B的過渡概率如圖所示，比如生物種群A、B從關系經(jīng)過一個周期逐漸過渡到關系的概率為，經(jīng)去年統(tǒng)計數(shù)據(jù)分析，生