答題模板14數(shù)列通項公式構造解題技巧有關的12類核心題型目錄第一部分命題解碼洞察命題意圖，明確攻堅方向第二部分方法建模構建方法體系，提供通用工具【結(jié)論背記清單】方法一用與關系求通項公式的解題技巧方法二已知用累加法求通項公式的解題技巧方法三已知用累乘法求通項公式的解題技巧方法四已知用求通項公式的解題技巧方法五已知用求通項公式的解題技巧方法六已知用求通項公式的解題技巧方法七已知用求通項公式的解題技巧方法八已知用求通項公式的解題技巧方法九已知用求通項公式的解題技巧方法十已知用求通項公式的解題技巧方法十一構造常數(shù)列求通項公式的解題技巧方法十二直接證明等差數(shù)列或等比數(shù)列的解題技巧第三部分題型專攻實施靶向訓練，提升應試效率?！绢}型01】用與關系求通項公式【題型02】已知用累加法求通項公式【題型03】已知用累乘法求通項公式【題型04】已知用求通項公式【題型05】已知用求通項公式【題型06】已知用求通項公式【題型07】已知用求通項公式【題型08】已知用求通項公式【題型09】已知用求通項公式【題型10】已知用求通項公式【題型11】構造常數(shù)列求通項公式【題型12】直接證明等差數(shù)列或等比數(shù)列第四部分答題實戰(zhàn)檢驗學習成效，錘煉應用能力模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向模塊說明：洞察命題意圖，明確攻堅方向1.考向聚焦：精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值。

2.思維瓶頸：精準診斷學生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板。1.考向聚焦1.考向聚焦（精煉概括本專題在高考中的核心考查方向與價值）在新高考數(shù)學中，對數(shù)列通項公式構造的考查已從單一的記憶、套用公式，發(fā)展為對數(shù)學思想方法綜合運用能力的系統(tǒng)檢驗。命題旨在通過形式各異的遞推關系，考查學生識別數(shù)列結(jié)構、選擇并實施轉(zhuǎn)化策略，最終將未知數(shù)列化歸為基本數(shù)列（等差、等比）的核心素養(yǎng)。試題常與函數(shù)、方程、不等式等知識深度融合，在抽象推理或?qū)嶋H應用情境中，檢驗學生的邏輯思維鏈條與代數(shù)運算功底。核心考查三大方向：遞推關系的識別與策略選擇：面對繁雜的遞推式，能否快速識別其結(jié)構特征，并準確匹配相應的構造方法（累加、累乘、待定系數(shù)、倒數(shù)變換等），是首要考查能力。系統(tǒng)化的化歸與轉(zhuǎn)化思想：整個求解過程本質(zhì)是“化歸”思想的體現(xiàn)。考查學生能否通過引入?yún)?shù)、構造輔助數(shù)列、變量替換等技巧，將復雜問題轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的模型，或構造出常數(shù)列等簡單情形?！膀灐迸c“算”的嚴謹性：在求出通項后，是否養(yǎng)成驗證初始項（n=1）的習慣；在利用時，是否自覺討論n≥2與n=1的情況。這體現(xiàn)了數(shù)學表達的嚴謹性。2.思維瓶頸（精準診斷學生在此類題目上的高階思維誤區(qū)與能力短板）對型入座”僵化，缺乏結(jié)構分析，套用固定解法，當遞推式稍作變形時，仍機械套用導致復雜化或錯誤。面對陌生的遞推式缺乏主動變形、嘗試將其向已知模型靠攏的探究意識?！皹蛄骸币庾R薄弱，忽略中間過程：在累加、累乘法中，混淆通項，導致項數(shù)計算錯誤或表達式不完整。對于待定系數(shù)法，只記結(jié)果公式，不理解構造輔助等比數(shù)列{an+λ}的由來，導致參數(shù)λ求解錯誤。對特殊構造（如倒數(shù)、取對數(shù)）的數(shù)學本質(zhì)理解不清：對為何在分式遞推時取倒數(shù)、在指數(shù)形式時取對數(shù)缺乏深刻理解，僅停留在記憶步驟層面。一旦題目稍加偽裝或與其他性質(zhì)結(jié)合，便無法自主構造。模塊說明：模塊說明：構建思維框架，提煉通用解法1.模模塊化知識體系：熟記數(shù)列通項公式構造解題技巧有關的12類核心題型的相關知識內(nèi)容，形成清晰的解題思維基礎邏輯，便于快速定位解題切入點。2.通用解法模板化：針對高頻題型，總結(jié)“審題-建模-推導-驗證”法，規(guī)范解題流程，減少思維漏洞，提升答題效率。3.易錯點專項突破：整理常見誤區(qū)，設計針對性訓練題，通過對比正確與錯誤解法，強化對知識邊界的理解，避免重復犯錯。結(jié)論背記一、基礎公式/基礎結(jié)論1.2.3.4.技法歸納方法一用與關系求通項公式的解題技巧核心思路：已知數(shù)列的前n項和Sn的表達式，利用關系an=例題1（2025·甘肅·模擬預測）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)與的關系可得，結(jié)合等比數(shù)列的定義和通項公式計算即可求解；（2）由（1），根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)和等差數(shù)列前項求和公式計算可得，進而，結(jié)合裂項相消法求和即可.【詳解】（1）由，得，相減可得，故.當時，，又，解得，所以，因此對任意的，都有，故為等比數(shù)列，且公比為3，故.（2）.故.，所以數(shù)列的前項和為.例題2（2025·黑龍江吉林·模擬預測）已知數(shù)列的首項為1，其前項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式.(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）首先根據(jù)時，利用公式，得到關于數(shù)列的遞推關系式，再通過構造證明數(shù)列是等差數(shù)列，即可求通項公式；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，將通項放縮為，，再相消求和.【詳解】（1），①當時，，②①-②，得，兩邊同時除以，得.當時，.，，解得，此時，也滿足，數(shù)列是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，，即.（2）證明：當時，，當時，，，方法二已知用累加法求通項公式的解題技巧核心思路：當遞推式為后項減前項等于一個關于n的函數(shù)fn解題步驟：1.寫出遞推式：列出an2.逐項列出：aa?a3.累加求和：將左邊所有式子相加，中間項a2a4寫出通項：移項得an=a例題3（25-26高三上·貴州遵義·月考）已知首項為1的正項數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用累加法求出的通項公式，然后可得的通項公式；（2）利用裂項相消法求解即可.【詳解】（1）因為，所以當時，，是首項為1的正項數(shù)列，則，又滿足上式，所以.（2）由（1）可得，，所以.例題4（25-26高三上·吉林延邊·開學考試）已知正項數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)求的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由累加法結(jié)合等差數(shù)列的求和公式可得；（2）由裂項相消法可得.【詳解】（1）當時，，，…..，累加可得，即，易得當也符合上式，所以.（2）數(shù)列的通項為，所以.方法三已知用累乘法求通項公式的解題技巧核心思路：當遞推式為后項與前項的商等于一個關于n的函數(shù)fn解題步驟：1.寫出遞推式：列出an+12.逐項列出：aa4+4a3.累乘求積：將左邊所有式子相乘，中間項a2a4.寫出通項：移項得an=a例題5（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】由得，所以當時，，滿足上式，所以數(shù)列的通項公式為.例題6（25-26高三上·河北承德·期中）已知數(shù)列的前n項和為，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知函數(shù)，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）將代入等式得到，然后利用累乘法求出，進而得到數(shù)列的通項公式.（2）先求出的表達式，然后求導，利用裂項相消法求出結(jié)果即可.【詳解】（1）因為，，所以當時，，化簡得，所以，利用累乘法，，將代入得.所以當時，.當時，符合上式，所以數(shù)列的通項公式為.（2）因為，求導得.所以方法四已知用求通項公式的解題技巧解題步驟：1.設出待定式：假設存在常數(shù)λ,使得an2.求解常數(shù)：展開上式得an+1=pan+3.構造新數(shù)列：原遞推式可變形為a4.求新數(shù)列通項：數(shù)列an+np?1因此a5.得出最終通項：a例題7（24-25高三上·陜西·月考）已知在數(shù)列中，，且當時，.(1)求的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用，變形得到，證明出數(shù)列是等比數(shù)列，即可求出數(shù)列的通項公式；（2）利用裂項相消求出數(shù)列的前項和為，再利用不等式的性質(zhì)即可得到.【詳解】（1）當時，，又，可得，當時，，則，又，所以，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，故；（2）由（1）知，則，則數(shù)列的前項和，又，則，故.例題8（25-26高三上·河南周口·月考）在數(shù)列中，，．(1)求的通項公式；(2)求的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由構造數(shù)列，從而利用等比數(shù)列求解；（2）利用分組求和法求解，利用等差數(shù)列的前項和與等比數(shù)列的前項和求解.【詳解】（1）因為，所以．因為，所以，所以是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，故．（2）由（1）可知，則．第（2）問還可以這樣解答：設數(shù)列的前n項和為．由（1）可知是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，故．方法五已知用求通項公式的解題技巧核心思路：將非齊次項（關于n的一次函數(shù))也納入待定系數(shù)，構造一個與n有關的等比數(shù)列：解題步驟：1.設出待定式：假設存在常數(shù)A,B,使得2.求解常數(shù)：展開并對比原遞推式an+1=3.構造新數(shù)列：得到A,B后，數(shù)列4.求新數(shù)列通項：利用等比數(shù)列通項公式寫出a5.得出最終通項：移項即可得到an例題9在數(shù)列中，已知．(1)求的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．（1）因為，所以，又，所以是首項為2，公比為2的等比數(shù)列．所以，即；（2）（略）例題10在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）化簡得，即可證明；（2）應用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）令，得，則．因為①，所以②．①-②得，即．因為，所以數(shù)列為常數(shù)列．（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，所以．因為，所以③，④．③-④得，所以．方法六已知用求通項公式的解題技巧核心思路：通過等式兩邊同時除以qn+1,構造一個關于解題步驟：1.等式變形：在原遞推式an+1=a2.換元構造：令bn=a3.轉(zhuǎn)化為類型四：此時bn+1=4.按方法四求解：按照方法四的步驟，先求出bn5.還原得通項：由an例題11（25-26高三上·云南昆明·月考）已知數(shù)列{}的首項且滿足(1)求數(shù)列{}的通項公式；(2)求數(shù)列{}的前n項和Sn.【答案】(1)(2)【分析】（1）先根據(jù)題干構造出是以為首項，為公比的等比數(shù)列，進而求出數(shù)列{}的通項公式；（2）由（1）可知數(shù)列{}的通項公式為等差乘等比，利用錯位相減求出前n項和即可.【詳解】（1）由于，則，化簡得，又，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，得，所以．（2）由(1)得，，則，則，①，②①②，得化簡后得．例題12（25-26高三上·黑龍江哈爾濱·月考）已知數(shù)列滿足，且.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）借助構造法構造等差數(shù)列后結(jié)合等差數(shù)列性質(zhì)即可得；（2）借助錯位相減法計算即可得.【詳解】（1）由，則，則，又，故數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，故，則；（2）則，則，則.方法七已知用求通項公式的解題技巧例題13（2025高三·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，，，求通項．【答案】【分析】由題意可得，，進而計算可求得的通項公式.【詳解】由題意知，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，又可得，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，即，所以．例題14（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，求的通項．【答案】【分析】由特征根法求解.【詳解】特征方程為，則特征根為．通項公式為，又，所以，解得，所以．方法八已知用求通項公式的解題技巧1.等式變形：在遞推式兩邊同時除以an1(注意：這里an與an+12.構造新數(shù)列：令bn=1an3.識別數(shù)列類型：數(shù)列bn是公差為?4.求新數(shù)列通項：利用等差數(shù)列通項公式b5.還原得通項：a例題15（25-26高三上·四川廣安·月考）已知，．(1)證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；(2)令，為的前項之積，求證：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知可得，且，由等差數(shù)列的定義寫出通項公式即可；（2）利用導數(shù)證明，進而得到，可得，累加即可證.【詳解】（1）由，又由題意知，，左右同時除以得，又因為，則，則，故是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，可得.（2）因為，則，所以，令函數(shù)，求導得，所以在上單調(diào)遞增，，即，取，則，于是，所以，則方法九已知用求通項公式的解題技巧核心思路：對于分式型遞推，取倒數(shù)可將形式簡化為關于1a解題步驟1.取倒數(shù)：對遞推式an12.構造新數(shù)列：令bn=13.識別問題類型：這成為關于bn4.按方法四求解：利用方法四的待定系數(shù)法，求出bn5.還原得通項：an例題16（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，．證明：數(shù)列為等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式．【答案】證明見解析，【詳解】數(shù)列滿足，，整理得（常數(shù)），所以數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，故，整理得．例題17（2025·山西·模擬預測）已知數(shù)列中，，.(1)求；(2)數(shù)列滿足，設為數(shù)列的前項和，證明：.(3)設，證明：數(shù)列中任意不同的三項都不能構成等差數(shù)列.【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）觀察數(shù)列遞推公式，分析求倒數(shù)再利用構造數(shù)列可求得是等比數(shù)列，再求等比數(shù)列通項公式即可求得.（2）根據(jù)求得的通項公式，再用錯位相減法求和即可證明.（3）根據(jù)（2）求得，假設中任意不同的三項能構成等差數(shù)列，利用等差中項的性質(zhì)，推出矛盾即可證明.【詳解】（1）在數(shù)列中，由，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，則，解得.（2）由（1）知，，，兩式相減得，因為，所以.（3）由題.假設數(shù)列中存在不同的三項，，（，）構成等差數(shù)列，則，即，兩邊同時乘以，得.因為，，所以，，則是2的倍數(shù)，除以2余1，等式不成立.所以假設不成立，即數(shù)列中任意不同的三項都不能構成等差數(shù)列.方法十已知用求通項公式的解題技巧核心思路：對于冪指數(shù)型遞推，通過對數(shù)運算將乘法指數(shù)關系轉(zhuǎn)化為加法線性關系。解題步驟：1.取對數(shù)：在遞推式an+1=lg2.構造新數(shù)列：令bn=lg3.識別問題類型：這成為關于bn4.按方法四求解：利用方法四的待定系數(shù)法，求出bn5.還原得通項：由an=10例題18（2025高三·全國·專題練習）若數(shù)列滿足，且，求的通項公式.【答案】【分析】對已知遞推關系式兩邊取以2為底的對數(shù)，利用等比數(shù)列的通項公式求得后可得結(jié)論．【詳解】，即是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則.方法十一構造常數(shù)列求通項公式的解題技巧例題19（24-25高三上·山東·月考）已知數(shù)列為正項數(shù)列，且，.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)令，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：構造數(shù)列是恒為的常數(shù)列，結(jié)合可得出數(shù)列的通項公式；解法二：利用累加法結(jié)合可求得數(shù)列的通項公式；（2）利用并項求和法結(jié)合分組求和法可求得.【詳解】（1）解法一（構造常數(shù)列）：由，且，可得，故數(shù)列是恒為的常數(shù)列，所以，又因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以.解法二（累加法）：由題意得：且，有，，，，將以上各式相加，得，將代入上式即得，且當時也成立，所以，又因為數(shù)列為正項數(shù)列，所以.（2）由（1）可得，令，其前項和為，對任意的，，則，又因為，所以.例題20（25-26高三上·遼寧·月考）記為正項數(shù)列的前項和，已知．(1)證明：數(shù)列是常數(shù)列；(2)求的通項公式；(3)記數(shù)列的前項和為，證明：．【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式得，記，則，進而，利用及遞推關系得，即可證明；（2）根據(jù)給定的遞推公式，結(jié)合變形，再利用等差數(shù)列定義即可求解通項公式（3）由得，則，又，設，利用導數(shù)法證得證明，結(jié)合對數(shù)運算證得，即可證明.【詳解】（1）因為，所以，記，則，所以，由為正項數(shù)列的前項和知，所以，因為，所以，而，所以，于是，故，即，故數(shù)列是常數(shù)列；（2）由（1）知，即，當時，，解得，當時，，即，又，所以，故，則，所以數(shù)列是首項為，公差為2的等差數(shù)列.所以，所以的通項公式為.（3）由知，即，所以數(shù)列的前項和為，由（1）知，故，下面證明，設，，則，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以，所以.綜上.方法十二直接證明等差數(shù)列或等比數(shù)列的解題技巧例題21（2025·河南·二模）已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，前項和為，且，是與的等差中項.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)等差中項列式，再根據(jù)完全平方公式計算化簡，由定義得出等差數(shù)列；（2）先寫出等差數(shù)列的通項公式，再應用的分組求和得出即可.【詳解】（1）因為是與的等差中項，所以，所以，因為數(shù)列的各項均為正數(shù)，所以，所以，所以，所以數(shù)列是公差為1，首項為的等差數(shù)列；（2）因為數(shù)列是公差為1，首項為的等差數(shù)列，所以，所以，當時，，當時，，所以,所以，例題22（2025·全國·模擬預測）記為數(shù)列的前n項和，已知，，．(1)求，；(2)證明：為等比數(shù)列；(3)求．【答案】(1)，(2)證明見解析(3)384【分析】（1）代入即可求解，進而根據(jù)求和的定義求解，（2）根據(jù)等比數(shù)列的定義，結(jié)合所給等式即可化簡求解公比，（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求解，即可代入求解.【詳解】（1）由可得，故，進而，（2）由可得，為常數(shù)，故為等比數(shù)列，且公比為，首項為，（3）由（2）知，即，，故，所以模塊說明：模塊說明：聚焦前沿題型，靶向提升解題能力1.精選各省市最新模擬題，確保訓練內(nèi)容緊密貼合當前考查方向與命題動態(tài)，幫助學生把握前沿考點。2.按題型進行系統(tǒng)分類與專項訓練，使學生能夠集中突破特定題型，深度掌握其核心解題思路與技巧。【題型01】用與關系求通項公式1．（2025·湖南永州·模擬預測）記數(shù)列的前項和為，已知.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)；(2).【分析】（1）利用的關系求的通項公式；（2）由題設寫出的通項公式，再應用錯位相減法、等比數(shù)列的前n項和公式求.【詳解】（1）當時，，得，當時，，得，整理得，所以從開始成公比為3的等比數(shù)列，則.綜上，；（2）由（1）得，當時，，當時，，則，兩式相減，得，所以也滿足該式，故.2．（2025·黑龍江齊齊哈爾·模擬預測）已知等比數(shù)列的前n項和為，且．(1)求m的值及的通項公式；(2)若，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）先把等比數(shù)列的前項和公式形式為（為常數(shù)，為公比），再通過與的關系求解即可；（2）先借助(1)代入知，借用“等差數(shù)列×等比數(shù)列”型數(shù)列，再用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）因為，當時，；當時，，又因為是等比數(shù)列，所以，解得；所以的通項公式為．故；．（2）由（1）知，所以，所以，兩式相減得：，所以．3．（2025·四川成都·一模）已知正項數(shù)列的前項和為，且.(1)求的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，證明：.【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）利用與的關系求解，即當時，，將式子中的換成，計算出的值；當時，，將式子中的換成，計算得到，從而得到是等差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式求出，繼而得到，將代入求出；（2）求出，設，求出，利用裂項相消法求和，放縮法得到證明.【詳解】（1），當時，，，，，，當時，，，，是等差數(shù)列，公差，首項為，，，，，驗證時也成立，；（2），，，設，，，，.4．（2025·山東濟寧·一模）已知數(shù)列和滿足．(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)設數(shù)列的前項和為，求證：．【答案】(1)；(2)證明見詳解【分析】（1）分析可知數(shù)列為常數(shù)列，即可得數(shù)列的通項公式，根據(jù)前n項和與通項公式之間的關系可得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）可知：，利用裂項相消法求，進而分析證明.【詳解】（1）因為，可得，即，可知數(shù)列為常數(shù)列，則，所以；又因為，則有：若，可得；若，則，兩式相減得；且符合上式，所以.（2）由（1）可知：，可得，顯然，所以.5．（2025·河北秦皇島·模擬預測）已知各項都是正數(shù)的數(shù)列，其前項和為，，且.(1)求的通項公式；(2)若，求證：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）對題干條件化簡，求出前項和為與的關系式，再利用關系式求出通項公式.（2）先求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)列項求和法求出的值.【詳解】（1）由題意得，所以，又數(shù)列是各項都是正數(shù)的數(shù)列，，所以，，當時，有，所以，所以，故數(shù)列是1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以.（2）由（1）得，所以，所以，裂項得，證畢.【題型02】已知用累加法求通項公式6．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項．【答案】．【分析】由遞推關系式，利用累加法即可求解.【詳解】由，得，，，…，．對這個式子求和得，而也滿足該式，所以．7．（25-26高三上·湖北·月考）設數(shù)列的前項和為，，且，.(1)求；(2)求最小的正整數(shù)，使得.【答案】(1)(2)6【分析】（1）利用累加法求的通項公式，進而求出的通項公式；（2）利用分組求和求得數(shù)列的前項和，再根據(jù)的遞增性質(zhì)和、的取值進行判斷.【詳解】（1）由題意，，用累加法可得利用等比數(shù)列求和公式得而當時，，滿足上式.故，化簡得故.（2）因為，所以.利用等比數(shù)列求和公式得.由于，因此隨著的增大，也增大.當時，.當時，.因此當時，.所以整數(shù)的最小值為，使得.8．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】累加法來求解數(shù)列的通項公式，即通過將從到的式子累加，消去中間項，從而得到與的關系，進而求出.【詳解】，，，，…，累加得：，所以．【題型03】已知用累乘法求通項公式9．（2025高三·全國·專題練習）已知，，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】通過累乘法來求數(shù)列的通項公式.【詳解】已知，則，，已知，由，故數(shù)列的通項為：.10．（2025高三·全國·專題練習）已知，，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】，累乘法進行求解.【詳解】因為，所以，故，11．（2025高三·全國·專題練習）已知，，求數(shù)列的通項．【答案】．【分析】利用累乘法來求通項公式，即的關系，逐步化簡得出通項公式.【詳解】當時，，，所以當時，．經(jīng)檢驗，也滿足上式，所以.12．（25-26高三上·江蘇徐州·期中）已知數(shù)列的前項和為.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和.【答案】(1)(2)【分析】（1）由作差得到，即，再由累乘法計算可得；（2）記，利用分組求和法及并項求和法計算可得.【詳解】（1）因為，當時，，兩式相減得，即，所以，所以，累乘得，即，又，所以，又也滿足上式，所以.（2）記，所以.13．（25-26高三上·湖北·期中）已知數(shù)列的首項，且滿足.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）解法一：利用累乘法求解；解法二：利用構造法求解；（2）利用裂項相消法求出，進而可得答案．【詳解】（1）解法一：累乘法依題意：，當時，；當時，符合，故.解法二：構造法依題意：，則數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，則.（2），故，由題意，，故滿足條件的最大整數(shù)的值為8.【題型04】已知用求通項公式14．（25-26高三上·江蘇南京·期中）已知數(shù)列的首項，且滿足遞推關系.(1)求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)記，數(shù)列的前項和為，若，求.【答案】(1)證明見解析，(2)3【分析】（1）首先由，得：，然后根據(jù)等比數(shù)列的定義即可證明.（2）首先通過裂項相消法求解數(shù)列的前項和為，然后通過已知條件解方程即可求解.【詳解】（1），，因為所以所以數(shù)列是以3為首項，公比為3的等比數(shù)列.可得：即：（2）由（1）得，.則，所以.，由，得，所以，解得.15．（25-26高三上·湖南長沙·期中）已知數(shù)列滿足，.(1)求的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和；(3)若，從數(shù)列中依次取出第2項，第4項，第8項，…，第項，按原來順序組成新數(shù)列，求使得不等式成立的最小正整數(shù)的值.【答案】(1)(2)(3)10【分析】（1）由構造法可得數(shù)列是等比數(shù)列，寫出其通項公式后即可得解；（2）運用裂項相消法進行求和；（3）由題可得，求出其前項和后，根據(jù)數(shù)列單調(diào)性及特殊值法即可得解.【詳解】（1）由，變形可得，因為，所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，故，即.（2）因為，由（1）知，，所以，故.（3）由（1）知，則，設，，數(shù)列單調(diào)遞增.令當時，，當時，，所以，使得不等式成立的最小正整數(shù)的值為10.16．（25-26高三上·廣東廣州·月考）已知數(shù)列滿足，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設，若對恒成立，求b的最小值．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3).【分析】（1）由得，兩式作差，再結(jié)合等比數(shù)列的定義可證；（2）構造等比數(shù)列，再利用等比數(shù)列的通項公式即可；（3）先求證數(shù)列為遞增數(shù)列，再通過導函數(shù)求證，利用放縮法可得，再計算，即可求出.【詳解】（1）因，則，兩式作差得，因，則，則，由遞推關系可知，數(shù)列各項均不為零，故，則數(shù)列是等比數(shù)列；（2）因，則，又，結(jié)合以上遞推關系可知，數(shù)列各項均不為零，故，故數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則，則；（3）由（2）可知，，令，則，因，則，即，則數(shù)列為遞增數(shù)列，下面求證：，令，則，則在上單調(diào)遞增，則，即，得證；下面求證：，因，則，則，因，則，故若對恒成立，則，又，則b的最小值為.17．（25-26高三上·上?！ぴ驴迹┮阎獢?shù)列滿足，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)寫出的具體展開式，并求其值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)；【分析】（1）根據(jù)已知遞推關系式和等比數(shù)列定義可證明結(jié)論；（2）利用等比數(shù)列通項公式可推導求得；（3）根據(jù)等比數(shù)列的求和公式計算可求得結(jié)果.【詳解】（1），，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）可得：，.（3）因..【題型05】已知用求通項公式18．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，求出數(shù)列的通項公式.【答案】【詳解】因為，令，即，得，，故，因為，所以，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，得，所以.19．（2025高三上·湖北孝感·專題練習）數(shù)列滿足：，，．(1)求數(shù)列的通項公式.(2)數(shù)列滿足：，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，(2)【分析】（1）由題意可得，可求通項公式；（2）利用分組求和法可求數(shù)列的前項和．【詳解】（1）因為，所以，又，故數(shù)列是以3為首項，公比是的等比數(shù)列；所以，；（2）由（1）得，則．【題型06】已知用求通項公式20．（2025·甘肅武威·模擬預測）已知數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出的通項公式；(2)設，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）根據(jù)題意求出，代入計算為常數(shù)，所以數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求出通項公式，減去便可得到的通項公式.（2）將的通項公式代入，求出數(shù)列的通項公式，利用錯位相減法求出.【詳解】（1）因為，所以，又，所以，所以數(shù)列是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，則.（2）由（1）知，所以，所以，則，兩式相減得，所以.21．（24-25高二下·遼寧大連·期中）已知數(shù)列滿足，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，記數(shù)列的前項和為．①求；②若，成立，求的取值范圍．【答案】(1)(2)①；②【分析】（1）根據(jù)給定的遞推公式，利用構造法求出通項公式.（2）①由（1）的結(jié)論，利用錯位相減法求出前項和；②由①的結(jié)論，結(jié)合已知分離參數(shù)，構造新數(shù)列，利用不等式確定最大項即可.【詳解】（1）由，得，因此數(shù)列是以為首項，3為公差的等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式.（2）①由（1）得，，，于是，則，，所以.②由，，得，令，不妨設的第項取得最大值，由，解得，即數(shù)列的最大值為，所以，即的取值范圍是.22．（25-26高三上·遼寧·月考）已知數(shù)列滿足，.(1)證明：數(shù)列是常數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；(2)設，為的前項和.（i）求；（ii）若，恒成立，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)證明見解析，(2)（i）；（ii）【分析】（1）將兩邊同時除以，令，利用數(shù)學歸納法證明，從而可得結(jié)果；（2）（i）由錯位相減法計算可得結(jié)果；（ii）化簡可得，令，計算可得，分析為奇數(shù)和為偶數(shù)時的單調(diào)性可知當時，有最小值，求出從而得到的最大值.【詳解】（1）由題意知，令，則，由，可得，所以對任意，，即，所以數(shù)列是常數(shù)列，所以.（2）（i），則，，所以，所以.（ii）由題意知，即.令，則，當為奇數(shù)時，，所以單調(diào)遞減，當為偶數(shù)時，，所以單調(diào)遞增.所以當時，有最小值，且，所以的最大值為.23．（25-26高三上·湖南長沙·開學考試）已知數(shù)列中，，，令(1)求數(shù)列的通項公式；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，根據(jù)等差數(shù)列通項公式求法計算即可；（2）由（1）可得，根據(jù)錯位相減法計算即可求解.【詳解】（1）由，得，令，得，因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，即.（2）由（1）可得，，，兩式相減可得，化簡可得，所以.24．（24-25高二上·福建莆田·月考）已知數(shù)列滿足，且．(1)求的值；(2)求證：數(shù)列是等差數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；(3)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)，；(2)證明見解析，；(3)【分析】（1）根據(jù)已知條件令即可求解；（2）利用等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立，并確定數(shù)列的首項和公差，即可求得數(shù)列的通項公式；（3）利用錯位相減法可求得．【詳解】（1），，；（2），∴，，即，又，∴數(shù)列是等差數(shù)列，且該數(shù)列首項為，公差為，∴，，∴．（3）①①－②得：，∴．【題型07】已知用求通項公式25．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，求的通項公式．【答案】【分析】是一個線性非齊次的遞推式，其標準形式為，通過構建新數(shù)列將其轉(zhuǎn)化為標準形式，，由特征方程為解出兩個根，結(jié)合題給條件運算最終得出的通項公式.【詳解】由題意得，化為．構建新數(shù)列，且，轉(zhuǎn)化為：．由特征方程得兩根，則的通項為：．由初始值得解得：，則，所以，即．當時，；當時，，滿足題意.所以.26．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，()，，求數(shù)列的通項公式．【答案】【分析】利用累加法以及特征根法都可以求【詳解】解法1：待定系數(shù)——累加法由，得，且．則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，于是．把，，，，代入，得，，，…．把以上各式相加，得，所以．解法2：特征根法數(shù)列的特征方程是．不妨設兩根為，，則．又，，于是得故．27．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列中，，求．【答案】【分析】由已知可得，令，可得，從而得數(shù)列是等比數(shù)列，求得，即有，即可得是等比數(shù)列，求出其首項和公比，可得，即可得．【詳解】解：因為，所以，令，則，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，所以，所以，，所以，所以數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，所以，所以，即，所以．28．（25-26高三上·吉林長春·期中）已知數(shù)列滿足，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式及其前項和.【答案】(1)證明見詳解；(2)；【分析】（1）把條件變形為，結(jié)合，，可證明結(jié)論；（2）由（1）可得，利用累加法可得：當時，，即可求得的通項公式，繼而利用公式法分組求和可求得.【詳解】（1）因為，則，又，所以數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）可得，當時，，又滿足上式，則.，即.29．（25-26高三上·河南·月考）已知數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)設點，，.當為等腰三角形時，求的值.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】周（1）由等比數(shù)列的定義即可證明；（2）由（1）得，再由累加法即可求出數(shù)列的通項公式；（3）設是的三個頂點.分別討論，和是頂角，由等腰三角形中的垂直關系求解即可得出答案.【詳解】（1）由已知得，且.所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）得，所以，，……，，，由累加法得.所以，所以，且符合上式，故數(shù)列的通項公式為；（3）設是的三個頂點.①若是頂角，設點為邊的中點，則.當為等腰三角形時，，則，即，顯然不成立，故舍去；②若是頂角，設點為邊的中點，則.由題意得，則.當為等腰三角形時，，則，顯然不成立，故舍去；③若是頂角，設點為邊的中點，則.當為等腰三角形時，，則.整理得，即，故，解得.綜上，當為等腰三角形時，的值為1.30．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)若，求數(shù)列的通項公式；(2)在（1）的條件下，是否存在，使得成等比數(shù)列？【答案】(1)；(2)存在.【分析】（1）由題可得數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，則，然后由累加法可得答案；（2）原題等價于有解，然后由判別式可判斷是否存在k.【詳解】（1）由得，．于是數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列．所以，當時，有．于是，，，…，，，疊加得，，又當時，也適合．所以，．（2）假設存在，使成等比數(shù)列，由（1）知，，由得，，整理得，．由可知，當時，，又當時，，當時，，當時，，所以，當時，存在，使成等比數(shù)列．【題型08】已知用求通項公式31．（2025高三·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，且滿足，求證：．【答案】證明見解析【分析】等式兩邊同除，構造等比數(shù)列求出，帶入求和公式利用放縮法裂項相消證明即可.【詳解】因為，且滿足，顯然對任意，，等式兩邊同除以得，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，解得，所以．32．（25-26高三上·廣西南寧·開學考試）已知．(1)求的通項公式；(2)令，為的前項之積，求證：．【答案】(1)；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)已知可得，且，由等差數(shù)列的定義寫出通項公式即可；（2）利用導數(shù)證明，進而得到，可得，累加即可證.【詳解】（1）由，又由題意知，，左右同時除以得，所以，則，故是以3為首項，3為公差的等差數(shù)列，所以，可得；（2）令函數(shù)，求導得，在上單調(diào)遞增，，即，取，則，于是，由（1）知，,，所以.33．（2025高三上·河南鶴壁·專題練習）已知數(shù)列滿足，，，.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)記，求的前項和為.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）由已知兩邊同除以，得，再由構造法得，則數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，從而能求出；（2）將數(shù)列的通項公式代入，化簡得，利用裂項相消法求出．【詳解】（1）因為，，，所以，，在兩邊同除以，得，所以，因為，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以，.所以時，，當時，適合上式，所以，，；（2）因為，所以.【題型09】已知用求通項公式34．（25-26高三上·四川成都·期中）已知數(shù)列中，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)已知克糖水中含有克糖，再添加克糖（假設糖全部溶解），糖水變甜了，請將這一事實提煉為一個不等式___________，并證明這個不等式成立；若恒成立，求正整數(shù)的最小值．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）取倒數(shù)后，利用待定系數(shù)法及等比數(shù)列定義可得數(shù)列是等比數(shù)列，即可得其通項公式，即可得解；（2）利用糖水濃度公式結(jié)合作差法可得不等式及其證明，再借助該不等式將進行適當放縮后，結(jié)合等比數(shù)列求和公式計算即可得.【詳解】（1）因為，所以，設，所以，解得，所以，又，所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，所以，所以；（2）“糖水加糖更甜”提煉為“若，則”，證明：，，；當時，由“糖水加糖更甜”不等式可得，則當時，有，即，當時，，又，所以正整數(shù)的最小值為2.35．（2025·四川綿陽·模擬預測）已知數(shù)列的首項，且滿足(1)求證：為等比數(shù)列；(2)設，記的前項和，求滿足的最小正整數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)10【分析】（1）對已知數(shù)列的遞推公式兩邊取倒數(shù)，根據(jù)等比數(shù)列的定義，即可得證；（2）由（1）可得，利用分組求和法及等比數(shù)列的前項和公式可得，可得為遞增數(shù)列，由即可求解.【詳解】（1），是以1為首項，為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）得，即，所以，所以，因為，所以為遞增數(shù)列，又.所以滿足的最小正整數(shù)為10.36．（2025·全國·模擬預測）已知數(shù)列滿足.(1)證明：為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)數(shù)列遞推式化簡得，將其轉(zhuǎn)化成，利用等比數(shù)列的定義即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)（1）推得的等比數(shù)列寫出通項公式，再利用分組求和法與等比數(shù)列的求和公式計算即得.【詳解】（1）因為，所以，則．又因為，所以數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列．（2）由（1）的結(jié)論，可知，即，則．37．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，.求的通項公式.【答案】【分析】將兩邊取倒數(shù)得到為等差數(shù)列，求出的通項公式，即可得解.【詳解】因為，，所以，所以，故，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以，故.38．（24-25高三下·江蘇蘇州·開學考試）已知數(shù)列中，，(1)求數(shù)列的前項和；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）利用取倒數(shù)的方法化簡等式，再利用構造法可得數(shù)列為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列求和公式，可得答案；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)以及反比例函數(shù)的單調(diào)性，由復合函數(shù)的單調(diào)性可得數(shù)列的單調(diào)性，可得答案.【詳解】（1）由，取倒數(shù)可得，令，化簡可得，則，解得，由，則數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，所以，可得，則.（2）由（1）可得，則，由，則，，由函數(shù)在上單調(diào)遞減，當時，，則在上單調(diào)遞增，當時，，由在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞減，所以.39．（2025·陜西榆林·模擬預測）已知數(shù)列滿足，，，若．(1)求證：是等差數(shù)列；(2)求的前項和的最小值；(3)求的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)遞推關系和等差數(shù)列的定義，推導出即可得解；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式求，再根據(jù)的符號分析的最值；（3）結(jié)合（2）的及的符號，按照和分情況討論求出即可.【詳解】（1）因為，所以，即，所以，又，所以是以為首項，3為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，令，解得，可知當時，；當時，，所以的最小值為.（3）因為，，，當時，；當時，，所以當時，；當時，，所以.【題型10】已知用求通項公式40．（2025·山東泰安·模擬預測）已知在數(shù)列中，，，設.(1)證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)設，將數(shù)列和數(shù)列的所有項，按照從小到大的順序排列得到一個新數(shù)列，求數(shù)列的前50項和.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）變形給定的遞推公式，利用等比數(shù)列的定義推理得證，進而求出通項公式.（2）由（1）確定數(shù)列前50項中數(shù)列的項數(shù)，再利用分組求和法求解.【詳解】（1）由，，得，則，即，又，于是，而，所以數(shù)列為首項為3公比為3的等比數(shù)列，.（2）由（1）知，數(shù)列，都是遞增數(shù)列，，即，因此數(shù)列的前50項包含中的前46項與中的前4項，所以.41．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足，，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】通過對已知遞推公式進行變形，構造新數(shù)列，再通過取對數(shù)將新數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，從而求出原數(shù)列的通項公式.【詳解】，，，，，令，，則，，，令，則，，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，．，則，，．42．（2025高三·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，，求數(shù)列的通項．【答案】【分析】構造，再兩邊取對數(shù)，得到遞推式，再求解得，即可求解．【詳解】由題意有則，則當時，，又，則，所以，所以，當時，也滿足上式，故．【題型11】構造常數(shù)列求通項公式43．（2025·全國·一模）設數(shù)列滿足.(1)求并證明：；(2)證明：【答案】(1)；證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知遞推公式得出是常數(shù)列，再計算化簡證明；（2）根據(jù)單調(diào)性結(jié)合累加法計算證明即可.【詳解】（1）因為數(shù)列滿足，所以,，所以，所以是常數(shù)列，所以，所以；（2）因為，所以,所以，因為都大于零，所以可逐步推出,所以,所以是單調(diào)遞增數(shù)列，所以，所以,,即，以上個式子累加計算得，所以，所以,,所以，所以.44．（25-26高三上·廣東惠州·期中）已知正項數(shù)列滿足且，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設，數(shù)列的前項和為，求（表示不超過的最大整數(shù)）.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)常數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可；（2）利用放縮法，結(jié)合等比數(shù)列前項和公式、題中定義進行求解即可.【詳解】（1）由，得，可知數(shù)列是常數(shù)列，所以，所以，所以；（2）由（1）可得，則，顯然，由于，故，且，故，.45．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列中，，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列；(2)求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用余弦的和差角公式得，從而有，再由，即可求解；（2）利用三角函數(shù)的性質(zhì)，得，即可求解.【詳解】（1）因為，又，則，而，則，因此，所以數(shù)列為常數(shù)列．（2）由（1）知，由，得數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，令，則，所以數(shù)列的前2025項和．46．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足.(1)求的通項公式；(2)若為的前項和，求時的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）由題意通過構造可得，從而可求解.（2）結(jié)合（1）可得，從而可得，再分情況討論為奇偶時，再結(jié)合分組并項，從而可求解.【詳解】（1）因為，所以，因為，所以，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，故.（2）由（1）可得，所以，當為偶數(shù)時：；當為奇數(shù)且時：.當時，，滿足該前項和公式，所以當為奇數(shù)時，恒成立，故時為偶數(shù)，所以有，即，當時，，當時，，故的最小值為4.47．（2025·湖南·三模）已知數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，且.(1)求的通項公式；(2)求的通項公式；(3)將中的項按從小到大的順序插入中，且在任意的之間插入項，從而構成一個新數(shù)列，設的前項和為，求.【答案】(1)(2)(3)12182【分析】（1）構造數(shù)列為等比數(shù)列，通過等比數(shù)列通項公式即可求的通項公式；（2）易知是常數(shù)列，即可求的通項公式；（3）根據(jù)新數(shù)列的形成規(guī)則，判斷其前100項中數(shù)列，分別有多少項，再分組求和可求.【詳解】（1）由可得，又，所以是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以，即.（2）方法一：由已知得，所以，所以，又，等式兩邊同時相乘，可得，得，該式對也成立.故.方法二：由可知是常數(shù)列，所以，即.（3）設在的前100項中，來自的有項.若第100項來自，則應有，整理可得，該方程沒有正整數(shù)解，不滿足題意.若第100項來自，則應有，整理可得.易知在時單調(diào)遞增，當時，，不滿足題意，當時，，滿足題意，故，所以的前100項中有10項來自，有90項來自，所以.48．（23-24高三上·河北廊坊·期中）在數(shù)列中，．(1)證明：數(shù)列為常數(shù)列．(2)若，求數(shù)列的前項和．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）化簡得，即可證明；（2）應用錯位相減法即可求解.【詳解】（1）令，得，則．因為①，所以②．①-②得，即．因為，所以數(shù)列為常數(shù)列．（2）由（1）可得，所以是公差為1的等差數(shù)列，所以．因為，所以③，④．③-④得，所以．【題型12】直接證明等差數(shù)列或等比數(shù)列49．（25-26高三上·江蘇南京·月考）數(shù)列中，，，.(1)證明：是等差數(shù)列；(2)設，求.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明即可證得結(jié)論成立；（2）求出數(shù)列的通項公式，利用裂項相消法可求得的表達式.【詳解】（1）對任意的，，等式兩邊同時除以得，即，又，所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知，所以，因為，則，對任意的，，所以.50．（24-25高三下·廣東·開學考試）在數(shù)列中，，.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列.(2)求的通項公式.(3)若，求數(shù)列的前項和.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義即可證明.（2）由（1）的結(jié)論與等差數(shù)列通項公式即可得到結(jié)果.（3）利用分組求和與等差等比前n項和公式即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因為，所以，所以.因為，所以，所以數(shù)列是首項和公差均為1的等差數(shù)列.（2）解：由（1）可得，則，故.（3）解：由（2）可得，則51．（2025·河南·一模）數(shù)列滿足，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)設數(shù)列的前項和為，求使成立的最小正整數(shù)的值【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)已知得，再應用作差法及等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)（1）得，應用裂項相消法求，根據(jù)不等式能成立求參數(shù)值.【詳解】（1）設數(shù)列，則，由，得，所以，即數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列；（2）由（1）得，所以，因此，解得，所以滿足題意的最小正整數(shù).52．（2025·貴州·三模）在數(shù)列中，，，且.(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項和為，證明：；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）由已知等式得出，兩邊同時平方，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關系結(jié)合等差數(shù)列的定義可證得結(jié)論成立；（2）由（1）可求得，，利用裂項求和法求出，然后利用裂項求和法結(jié)合不等式的基本性質(zhì)可證得所證不等式成立；（3）利用分析法可知，要證所證不等式成立，即證，構造函數(shù)，利用導數(shù)分析該函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可證得結(jié)論成立.【詳解】（1）已知，即及，，化簡得，又所以數(shù)列是首項為公差為的等差數(shù)列.（2）由（1）可知，所以，.又，所以，，.所以于是，，因為，所以，即.（3）定義，原不等式即下面證明，即，即證（*），設，則，于是在區(qū)間上是增函數(shù).因為，有，不等式（*）成立.故原不等式成立.53．（2025·云南昆明·模擬預測）設為數(shù)列的前n項和，當時，，已知，，．(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式；(3)求．【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）將變?yōu)椋瑒t，整理得，利用等比數(shù)列的概念證明即可.（2）根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得，變形為，然后根據(jù)等差數(shù)列的定義及通項公式求解即可.（3）利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）當時，，即，則，而，則，于是時，，整理得，又，所以數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列．（2）由（1）知，數(shù)列是首項和公比都是2的等比數(shù)列，則，因此，所以數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，，所以數(shù)列的通項公式．（3）由（2）知，，，兩式相減得，，則．54．（24-25高二下·河北邢臺·開學考試）設數(shù)列的前項和為.(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)求數(shù)列的通項公式，并求數(shù)列的最大項.【答案】(1)證明見解析(2)，最大項為【分析】（1）由可得，配湊后可證為等比數(shù)列；（2）根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可求數(shù)列的最大項；【詳解】（1）①，②，②-①，，故，而在①中令，又，，，是首項為1，公比為的等比數(shù)列.（2）由（1）得，，則，所以數(shù)列是以首項為，公差為1的等差數(shù)列.所以，解得由，解得，單調(diào)遞增；當，單調(diào)遞減；所以，所以數(shù)列的最大項為模塊說明：模塊說明：答題強化訓練，實現(xiàn)能力躍遷。模塊題量適中，全部選用最新高質(zhì)量模擬題，側(cè)重對方法模型的直接應用與鞏固。題量15題1．（2025高三·全國·專題練習）已知在數(shù)列中，，，求通項．【答案】【分析】由題意可得，令，可得為等差數(shù)列，可求的通項公式.【詳解】由，可得，所以，即．設，則且，為等差數(shù)列，又，所以，所以．2．（24-25高二下·廣東廣州·期末）已知數(shù)列的首項為，且滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若，求滿足條件的最大整數(shù)．【答案】(1)(2)8【分析】（1）利用累加法可求得數(shù)列的通項公式；（2）根據(jù)，可求得，進而解不等式可求解.【詳解】（1）當時，，將以上等式兩邊分別累加，可得，，當時，也符合上式．．（2），，，，，的最大值為8.3．（2025高三·全國·專題練習）已知數(shù)列滿足．(1)求的通項公式；(2)若，記的前項和為，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1），，利用累加法可求出的通項公式（2）由（1）可知，結(jié)合，得，進而求．設函數(shù)，利用函數(shù)導數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性得，令，得，結(jié)合放縮證明．【詳解】（1）因為，所以將各式相加可得．（2）由（1）可知，因為，所以，所以．設函數(shù)，則，即在上單調(diào)遞減，故，則．令，則，所以，故．4．（2025·云南昆明·一模）已知數(shù)列滿足，．(1)若，，成等差數(shù)列，求k；(2)求．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)，成等差數(shù)列得，求出即可；（2）由累加法結(jié)合裂項相消法可得答案.【詳解】（1）已知數(shù)列滿足，．因為，，成等差數(shù)列，所以，所以，整理得，解得，或（負值舍去），所以；（2）因為，又，所以時，，時,也滿足上式，所以．5．（2025·廣東廣州·模擬預測）已知數(shù)列中，，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)給定正整數(shù)m，設函數(shù)，求．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)給定遞推公式，變形并構造常數(shù)列求出通項公式.（2）由（1）求出及導數(shù)，再利用裂項相消法求出目標值.【詳解】（1）在數(shù)列中，由，得，即，則數(shù)列是常數(shù)列，而，因此，解得，所以數(shù)列的通項公式是.（2）由（1）得，，函數(shù)，求導得則，而，所以.6．（25-26高三上·四川綿陽·月考）已知數(shù)列滿足．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)在平面直角坐標系中，已知點，定義點，（其中），記，．證明：（ⅰ）；（ⅱ）．【答案】(1)(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）證明見解析【分析】（1）根據(jù)前項和與通項公式的關系進行求解即可；（2）（ⅰ）根據(jù)兩角差的正切公式，結(jié)合正切函數(shù)的性質(zhì)進行運算證明即可；（ⅱ）根據(jù)上一問的結(jié)論，結(jié)合特殊角的正切值進行求解即可.【詳解】（1）當時，，解得，當時，，化簡得：，經(jīng)檢驗得，時也滿足，故．（2）（?。┳C明：由題意可知：，則，，因為，且，，所以，即所以，．（ⅱ）證明：由（?。﹩柕淖C明可知：．因為，則，所以．7．（24-25高三上·廣東惠州·月考）已知數(shù)列的前項和為，且，.(1)求的通項公式；(2)若，記數(shù)列的前項和，求并證明：.【答案】(1)(2)；證明見解析【分析】（1）利用與的關系式，分類討論與兩種情況，分析得是常數(shù)列，從而得解；（2）由裂項相消法求出，再結(jié)合數(shù)列的增減性即可得證；【詳解】（1）因為，，當時，，故，當時，，兩式作差可得，整理可得，則，又，所以是各項為的常數(shù)列，則，故.（2）由（1）可得，所以，類比復合函數(shù)的單調(diào)性可知