寧波市2025學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)滿足，則（）A.0 B.1 C.2 D.42.已知雙曲線方程為，則該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.3.若構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.4.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.相切 D.無(wú)法確定5.已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.6.如圖，已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若，則平面與平面的夾角為（）A. B. C. D.7.已知橢圓左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上且位于第一象限，且，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，記的內(nèi)切圓為，的內(nèi)切圓為．若圓與外切，求橢圓的離心率為（）A. B. C. D.8.已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式為．若對(duì)任意的；、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，直線，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.若，則C.若，則D.若，則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為10.設(shè)曲線，則（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為2C.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是D.曲線的內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）11.在直三棱柱中，，是底邊上一點(diǎn)，且，則（）A.直三棱柱外接球的表面積為B.當(dāng)時(shí)，平面平面C.直線與所成角的余弦的最大值為D.點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公比___________．13.已知拋物線，直線過(guò)點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若，則直線的斜率為___________．14.已知函數(shù)在上既有最大值，又有最小值，則實(shí)數(shù)取值范圍為___________．四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的極值．16.已知數(shù)列前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17.如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)三棱臺(tái)的體積為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．18.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為橢圓上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，在第一象限，直線的斜率為，直線的斜率為.（i）證明為定值；（ii）過(guò)作垂直于軸的直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求的取值范圍.19.已知函數(shù)．（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的零點(diǎn)和一個(gè)極值點(diǎn)．記．（i）證明：；（ii）判斷是否可能為等腰三角形，并說(shuō)明理由．寧波市2025學(xué)年第一學(xué)期期末九校聯(lián)考高二數(shù)學(xué)試題第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知函數(shù)滿足，則（）A.0 B.1 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義及極限的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】已知滿足，則，即.故選：B2.已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的漸近線方程是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先化方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，利用漸近線求法直接計(jì)算即可.【詳解】由得，所以，所以；所以該雙曲線的漸近線方程為；故選：A3.若構(gòu)成空間一個(gè)基底，則下列向量不共面的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量共面的定義逐項(xiàng)判斷即可求解.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，有，所以共面；對(duì)于B選項(xiàng)，有，所以共面；對(duì)于C選項(xiàng)，，所以共面.對(duì)于D選項(xiàng)，假設(shè)共面，則有，即，由此有共面，與已知條件矛盾，所以不共面；故選：D4.直線與圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相交 C.相切 D.無(wú)法確定【答案】B【解析】【分析】計(jì)算圓心到直線的距離并與半徑比較.【詳解】圓，則圓心，半徑，則圓心到直線的距離為，故直線與圓的位置關(guān)系是相交.故選：B5.已知數(shù)列滿足，且是遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)遞增數(shù)列的定義建立不等式組，解之可得選項(xiàng).詳解】已知，時(shí)，，是斜率為的一次函數(shù)，單調(diào)遞增，，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，對(duì)正整數(shù)，遞增，即相鄰的項(xiàng)滿足：，代入得：，解得：，故要使時(shí)數(shù)列遞增，需，同時(shí)分段點(diǎn)處需滿足，即，綜上取值范圍是.故選：C6.如圖，已知二面角的棱上有兩點(diǎn)，線段與分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)，并且都垂直于棱．若，則平面與平面的夾角為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意可知，結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算可得，即可得面面夾角.【詳解】由題意可知：，，因?yàn)?，則，即，解得，且，則，所以平面與平面的夾角為.故選：C.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上且位于第一象限，且，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，記的內(nèi)切圓為，的內(nèi)切圓為．若圓與外切，求橢圓的離心率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用直角三角形的內(nèi)切圓的幾何性質(zhì)，可得到兩內(nèi)切圓全等，從而可得為的中點(diǎn)，即可得的坐標(biāo)，再通過(guò)斜率乘積為，可得到齊次方程來(lái)求離心率.【詳解】由于圓與外切，且都與相切，所以切點(diǎn)在兩圓連心線上，設(shè)兩圓,與分別相切于點(diǎn)，因?yàn)?，所以可得四邊形與四邊形都是正方形，且它們的邊長(zhǎng)相等，即四邊形與四邊形是全等四邊形，則兩內(nèi)切圓,的半徑相等，從而可得到，所以為的中點(diǎn)，即的橫坐標(biāo)為，設(shè)的縱坐標(biāo)為，則有，由于，可得，即，化簡(jiǎn)得：，解得或（舍去），因?yàn)?，所以可解得，故選：A8.已知數(shù)列、、的通項(xiàng)公式為．若對(duì)任意的；、、的值均能構(gòu)成三角形，則滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù)是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系列出不等式，結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求解不等式，確定滿足條件的正整數(shù)的個(gè)數(shù).【詳解】因，，則介于和之間，即，因?yàn)?、、的值均能?gòu)成三角形，所以需滿足，即，當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，滿足；當(dāng)時(shí)，，所以，不滿足；當(dāng)時(shí)，增長(zhǎng)速度比快，所以不滿足，綜上，滿足條件的正整數(shù)為，共個(gè)，故選：B二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知直線，直線，則（）A.直線過(guò)定點(diǎn)B.若，則C.若，則D.若，則直線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)、兩條直線平行與垂直以及三角形面積公式逐一分析即可.【詳解】可將直線化為，令，解得，故直線過(guò)定點(diǎn)，故A正確.若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線，直線，符合題意；當(dāng)時(shí)，直線，直線，符合題意；故B正確，若，則，解得，當(dāng)時(shí)，直線，直線，符合題意；故C正確,令直線中，則，令，坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10.設(shè)曲線，則（）A.曲線關(guān)于軸對(duì)稱B.曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為2C.曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是D.曲線的內(nèi)部有9個(gè)整點(diǎn)（橫縱坐標(biāo)均為整數(shù)）【答案】ACD【解析】【分析】討論與的大小關(guān)系，化簡(jiǎn)即可得到曲線關(guān)于軸對(duì)稱，曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍，由縱坐標(biāo)的取值范圍得到曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最大值，列舉可得曲線的內(nèi)部的整點(diǎn).【詳解】，當(dāng)時(shí)，，平方整理得，，當(dāng)時(shí)，，平方整理得，，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，A正確；則曲線上點(diǎn)的縱坐標(biāo)的取值范圍是，C正確，，當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則曲線上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為3，B錯(cuò)誤；由C知，曲線的內(nèi)部的整點(diǎn)縱坐標(biāo)可能為，當(dāng)時(shí)，令，得，當(dāng)時(shí)，令得，當(dāng)時(shí)，令得，結(jié)合圖像可得曲線內(nèi)部的整點(diǎn)為：共9個(gè)，D正確；故選：ACD.11.在直三棱柱中，，是底邊上一點(diǎn)，且，則（）A.直三棱柱外接球的表面積為B.當(dāng)時(shí)，平面平面C.直線與所成角的余弦的最大值為D.點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為【答案】ABD【解析】【分析】把直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的體對(duì)角線即外接球的直徑，后計(jì)算外接球的表面積判斷A選項(xiàng)；以為原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)判斷法向量是否垂直判斷B選項(xiàng)；構(gòu)建關(guān)于的函數(shù)，分析其最大值判斷C選項(xiàng)；取的中點(diǎn)，記為，取的中點(diǎn)，記為，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是線段.因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以的最小值，即為線段上的點(diǎn)到線段的距離的最小值，結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)可求得此距離，判斷D.【詳解】直三棱柱的底面中，，所以可將直三棱柱補(bǔ)為如圖所示長(zhǎng)方體，則其外接球直徑為長(zhǎng)方體體對(duì)角線.因?yàn)?，所?因?yàn)樗?，所?所以直三棱柱外接球直徑，半徑，表面積：，A選項(xiàng)正確；以為原點(diǎn)，方向?yàn)檩S建立空間坐標(biāo)系，，，，，，則，，.當(dāng)時(shí)，.，，.設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令則,,即，設(shè)平面的一個(gè)法向量，由，令，則1，，即因?yàn)?，故平面平面，B選項(xiàng)正確.設(shè),設(shè)直線與所成的角為，則,設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，?dāng)時(shí)，，即在，取得最大值，最大值為，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，如圖所示，取的中點(diǎn)，記為，取的中點(diǎn)，記為，因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)的軌跡是線段.因?yàn)辄c(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，所以的最小值，即為線段上的點(diǎn)到線段的距離的最小值.過(guò)作的平行線，交長(zhǎng)方體的棱于點(diǎn)，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，分別為所在棱的中點(diǎn).因?yàn)槠矫?，所以，所以與間的距離為.因?yàn)榫谄矫娴耐瑐?cè)，所以點(diǎn)到的距離（即與間的距離）即為所求最小值.所以的最小值為.所以D正確.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若，則公比___________．【答案】2【解析】【分析】直接根據(jù)等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì),即前n項(xiàng)和的片段和性質(zhì)可得.【詳解】因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且，所以，即，解得.故答案為：213.已知拋物線，直線過(guò)點(diǎn)，且與交于兩點(diǎn)，其中點(diǎn)在第一象限，若，則直線的斜率為___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，由向量關(guān)系可得出，代入韋達(dá)定理求出的值，即可得出直線的斜率.【詳解】由于過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線相交于、兩點(diǎn)，故直線斜率不為，設(shè)直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立，可得，，由韋達(dá)定理可得，，因?yàn)椋?，可得，則，解得，，解得，所以直線的方程為，即，所以直線的斜率為.故答案為：.14.已知函數(shù)在上既有最大值，又有最小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________．【答案】【解析】【分析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間既有最大值又有最小值，建立不等式，求解.【詳解】，令，即，解得或，要使函數(shù)在上既有最大值，又有最小值，則必須滿足兩個(gè)極值點(diǎn)都在內(nèi)，且極值點(diǎn)處的函數(shù)值必須為區(qū)間內(nèi)的最大值和最小值；若，此時(shí)，則需要，解得；所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，，，，則需滿足，即，解得，所以；若，此時(shí)，則需要，解得；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；所以，，，，則需滿足，即，無(wú)解；若，則恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)最大值和最小值，綜上所述：的取值范圍為.故答案為：四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，然后利用點(diǎn)斜式直線方程求解即可；（2）按照，，分類討論研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，又，所以切線斜率，故切線方程為，即；【小問2詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，無(wú)極值．當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，所以的極小值為，無(wú)極大值．16.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足，且．（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)的關(guān)系得到數(shù)列的遞推關(guān)系，再根據(jù)求出的通項(xiàng)公式；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，整理得，即，又，所以，所以，從而．（累乘法也可）【小問2詳解】因?yàn)?，所以?7.如圖，在三棱臺(tái)中，平面平面，為的中點(diǎn)，．（1）證明：；（2）當(dāng)三棱臺(tái)的體積為時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，進(jìn)而得，進(jìn)而根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，即可根據(jù)線面垂直的判定求解，（2）根據(jù)體積公式可求解長(zhǎng)度，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，求解平面法向量，利用向量的夾角即可得解.【小問1詳解】證明：取中點(diǎn)，連接．由得，．因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．又因?yàn)槠矫?，所以．又，所以四邊形是菱形，從而．又，所以平面．又平面，所以．【小?詳解】取的中點(diǎn)，連接，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面．所以三棱臺(tái)的高．設(shè)，則，，從而，解得．以為原點(diǎn)，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)平面的法向量，則即令，則，設(shè)直線與平面所成角為，則．故直線與平面所成角的正弦值為．18.已知橢圓過(guò)點(diǎn)，且離心率為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）為橢圓上頂點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交橢圓于兩點(diǎn)，在第一象限，直線的斜率為，直線的斜率為.（i）證明為定值；（ii）過(guò)作垂直于軸的直線與交于點(diǎn)，為的中點(diǎn)，延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（i）證明見解析，（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓的離心率公式和橢圓中的關(guān)系列出方程即可求解；（2）（i）聯(lián)立直線方程與橢圓的方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系和斜率公式即可求解；（ii）利用直線與的方程求出直線的方程，然后與直線的方程聯(lián)立，可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，最后將轉(zhuǎn)化為，結(jié)合的范圍即可求解.【小問1詳解】因?yàn)闄E圓