/專題07函數(shù)與導數(shù)核心考點深度剖析與壓軸題解答策略目錄01析·考情精解 202構·知能框架 303破·題型攻堅 3考點一導數(shù)綜合 3真題動向必備知識知識1利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題知識2利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題知識3隱零點問題知識4極值點偏移問題命題預測考向1恒成立問題與存在性問題考向2不等式的證明考向3數(shù)列與不等式的綜合考向4雙變量問題考向5零點問題考向6同構問題考向7新定義問題考向8極值點偏移問題考向09洛必達法則考向10導數(shù)與三角函數(shù)的結合命題軌跡透視近三年全國卷導數(shù)壓軸題定位為區(qū)分性試題，平均得分并不高，核心聚焦零點個數(shù)判斷、不等式證明、含參恒成立與存在性問題。命題突出跨模塊融合，常與三角函數(shù)、數(shù)列等結合，設問分層且邏輯連貫，避免孤立考查單一知識點。解題需綜合運用分類討論、構造函數(shù)、等價轉化等思維方法，同時兼顧運算規(guī)范與邏輯嚴謹性，易錯點集中在分類不全面、條件轉化不徹底。試題既強調導數(shù)工具性本質，又注重邏輯推理、數(shù)學運算等核心素養(yǎng)的綜合檢驗，凸顯“多考思維、少考套路”的命題導向?？键c頻次總結考點2025年2024年2023年不等式I卷T19，17分II卷T22（1），5分極值、最值一卷T19（1），4分II卷T16，15分II卷T22（2），7分乙卷（理）T21，12分恒成立與有解一卷T19（2,3），13分I卷T18，17分甲卷（理）T21，12分甲卷（文）T20，12分甲卷（理）T21，12分甲卷（文）T20，12分零點問題二卷T18,17分2026命題預測2026年全國卷導數(shù)壓軸題將延續(xù)穩(wěn)定梯度結構，以解答題（15-17分）為主，分2-3問設計?；A問聚焦單調性、切線方程等常規(guī)考點，壓軸問仍以零點論證、不等式恒成立為核心，極值點偏移題型大概率持續(xù)作為區(qū)分點，突出“雙變量歸一”能力考查。將強化高階方法應用，如端點效應、洛必達法則的靈活運用，或融入拉格朗日中值定理的幾何轉化思維?？赡芘c三角函數(shù)、數(shù)列跨模塊融合，運算量與思維量雙高，保持“前松后緊”難度分布?？键c一導數(shù)綜合1．（2024·新課標Ⅱ卷·高考真題，16，15分）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若有極小值，且極小值小于0，求a的取值范圍．2．（2024·全國甲卷·高考真題，20，12分）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)當時，證明：當時，恒成立．3．（2023·全國乙卷·高考真題，21，12分）已知函數(shù)．(1)當時，求曲線在點處的切線方程．(2)若函數(shù)在單調遞增，求的取值范圍．4．（2024·全國甲卷·高考真題，21，12分）已知函數(shù)．(1)當時，求的極值；(2)當時，，求的取值范圍．5．（2023·全國甲卷·高考真題，21，12分）已知函數(shù)(1)當時，討論的單調性；(2)若恒成立，求a的取值范圍．6．（2025·全國二卷·高考真題，18，17分）已知函數(shù)，其中．(1)證明：在區(qū)間存在唯一的極值點和唯一的零點；(2)設分別為在區(qū)間的極值點和零點.（i）設函數(shù).證明：在區(qū)間單調遞減；（ii）比較與的大小，并證明你的結論．7．（2025·全國一卷·高考真題，19，17分）（1）求函數(shù)在區(qū)間的最大值；（2）給定和，證明：存在使得；（3）設，若存在使得對恒成立，求b的最小值．8．（2024·新課標Ⅰ卷·高考真題）已知函數(shù)(1)若，且，求的最小值；(2)證明：曲線是中心對稱圖形；(3)若當且僅當，求的取值范圍．9．（2023·全國甲卷·高考真題）已知函數(shù)．(1)當時，討論的單調性；(2)若，求的取值范圍．知識1利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題1．分離參數(shù)法：參數(shù)系數(shù)正負可判斷時，分離參數(shù)得“參數(shù)≤變量表達式最大值”或“參數(shù)≥變量表達式最小值”，通過求變量表達式最值求解。2．直接討論法：函數(shù)結構簡單時，求導得極值點，通過因式分解、求根公式等討論；無法求極值時，用零點存在性定理確定零點范圍，再分析單調性。3．放縮法：針對超越函數(shù)組合（指數(shù)與對數(shù)、三角與指數(shù)等），通過函數(shù)有界性、一階導數(shù)、二階導數(shù)放縮，簡化函數(shù)結構。知識2利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題1．確定零點的常用方法：①圖象法：畫函數(shù)草圖，標注極（最）值，結合極限思想數(shù)形結合分析。②零點存在定理+導數(shù)：先判定區(qū)間內有零點，再通過導數(shù)研究單調性、極值、端點值符號，判斷零點個數(shù)。2．求參數(shù)范圍的方法：①分離參數(shù)：轉化為變量表達式的值域或直線與函數(shù)圖象交點個數(shù)問題。②零點存在定理：構建不等式求解。③圖象位置關系：轉化為兩個熟悉函數(shù)圖象的位置關系，構建不等式。知識3隱零點問題1．定義：含指對函數(shù)的方程無精確解，僅能確定零點存在性并估計范圍。2．基本步驟：①用零點存在性定理判定導函數(shù)零點存在，列零點方程，結合單調性確定零點范圍。②以零點為分界，分析導函數(shù)正負，得到原函數(shù)最值表達式。③變形零點方程，整體代入最值式，消除指對項或參數(shù)項化簡。3．隱零點的同構：實際上,很多隱零點問題產生的原因就是含有指對項,而這類問題由往往具有同構特征,它的隱零點代換則需要同構才能做出,否則,我們可能很難找到隱零點合適的代換化簡方向．所以在解決形如,這些常見的代換都是隱零點中常見的操作．知識4極值點偏移問題1．定義函數(shù)滿足對于定義域內任意自變量都有，則函數(shù)關于直線對稱．可以理解為函數(shù)在對稱軸兩側，函數(shù)值變化快慢相同，且若為單峰函數(shù)，則必為的極值點，如的極值點為，的兩根為，且有，即極值點在兩根的正中間，也就是極值點沒有偏移，若，則極值點偏移．若單峰函數(shù)的極值點為，且函數(shù)滿足定義域左側的任意自變量都有或，則函數(shù)極值點左右側變化快慢不同，如下圖所示．故單峰函數(shù)定義域內任意不同的實數(shù)，，滿足，則與極值點必有確定的大小關系：若，則稱為極值點左偏如上左圖；若，則稱為極值點右偏如上右圖．2．極值點偏移問題的一般形式（1）若函數(shù)存在兩個零點且，求證：（其中為的極值點）；（2）若函數(shù)中存在且滿足，求證：（其中為的極值點）；（3）若函數(shù)存在兩個零點且，令，求證：；（4）若函數(shù)中存在且滿足，令，求證：．考向1恒成立問題與存在性問題1．（2024·廣東揭陽·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若，求曲線在處的切線方程；(2)討論的單調性；(3)若，恒成立，求的取值范圍．2．（2024·四川南充·一模）已知函數(shù).(1)若，求的最大值；(2)證明存在唯一的極大值點，且；(3)若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍.3．（2025·廣東汕頭·二模）已知在處有極小值.(1)求的值；(2)設，若在上恒成立，求的取值范圍（，是自然對數(shù)的底數(shù)）.4．（2025·山西陽泉·一模）已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的切線方程；(2)若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．5．（2024·寧夏中衛(wèi)·三模）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)記曲線的對稱中心為，若存在，使得，求的取值范圍.6．（2025·遼寧沈陽·二模）已知函數(shù).(1)求的單調區(qū)間；(2)若對于任意，總存在，使得，求的取值范圍.考向2不等式的證明7．（2024·河北張家口·一模）（1）已知函數(shù)，求在上的單調區(qū)間；（2）若，證明：．8．（2025·江蘇宿遷·二模）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)若在區(qū)間沒有極值點，求的取值范圍；(3)證明：當時，.9．（2025·江蘇連云港·三模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程.(2)證明：在上單調遞增.(3)若，證明：.10．（2025·福建南平·一模）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)若有兩個正零點，求的取值范圍；(3)設有兩個零點分別為，求證：.11．（2025·江蘇無錫·三模）已知函數(shù)，.(1)證明：當時，恒成立.(2)證明：當時，在上單調遞增.(3)證明：且.（參考數(shù)據：?。┛枷?數(shù)列與不等式的綜合12．（2024·廣西欽州·模擬預測）已知函數(shù)．(1)判斷函數(shù)的單調性；(2)若恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(3)求證：，．13．（2025·四川廣安·模擬預測）已知函數(shù).(1)若x軸是曲線的一條切線，求實數(shù)a的值；(2)若在上恒成立，求a的最小值；(3)證明：（且）.14．（2025·安徽淮南·二模）已知函數(shù)，且.(1)求;(2)已知為函數(shù)的導函數(shù)，證明：對任意的，均有；(3)證明：對任意的，均有.15．（2025·云南昆明·模擬預測）已知函數(shù)，其中為自然對數(shù)的底數(shù)，(1)當時，求函數(shù)在點處的切線方程;(2)證明:恒成立；(3)證明:16．（2024·四川巴中·模擬預測）已知函數(shù)，其中．(1)討論的單調性；(2)當時，求證：；(3)求證：對任意的且，都有（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）．考向4雙變量問題17．（2025·湖南衡陽·三模）已知函數(shù)．(1)討論的單調性；(2)已知存在兩個極值點，若，且，求的最小值．18．（2025·湖南株洲·一模）已知，其中.(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)求的最值；(3)若對任意，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.19．（2024·河南鄭州·二模）已知，，其中是自然對數(shù)的底數(shù)．(1)討論的單調性；(2)設，．存在，，使得成立，試求實數(shù)的取值范圍．20．（2025·湖北黃岡·一模）已知函數(shù).(1)若，求曲線在點處的切線方程；(2)當時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若存在，使得.證明：.21．（2025·江蘇淮安·模擬預測）已知函數(shù).(1)討論的單調性；(2)當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；(3)設m，n是兩個不相等的正數(shù)，且，證明：.22．（2024·湖南婁底·二模）已知函數(shù)，.(1)當時，求函數(shù)的單調區(qū)間與極值；(2)若函數(shù)有2個不同的零點，，滿足，求a的取值范圍.考向5零點問題23．（2025·河北承德·二模）已知.(1)若，求函數(shù)的單調區(qū)間.(2)若在上存在零點，求實數(shù)的最大值.24．（2025·遼寧鞍山·模擬預測）給定函數(shù)(1)判斷函數(shù)的單調性，并求的極值.(2)若有兩個解，求的取值范圍.25．（2025·山東濱州·一模）已知函數(shù)在處有極值.(1)求的值；(2)若函數(shù)恰有3個零點，求實數(shù)的取值范圍.26．（2025·湖北荊州·一模）已知函數(shù)，(1)當時，若直線過原點且與曲線相切，求的方程.(2)若關于的方程恰有兩個不同的正實數(shù)根，求的取值范圍.27．（2024·四川綿陽·二模）已知函數(shù).(1)若，求的極值；(2)若對任意的恒成立，求的取值范圍；(3)若存在零點，求的取值范圍.28．（2025·甘肅慶陽·一模）已知函數(shù).(1)直線是在處的切線，求直線在軸上的截距；(2)求函數(shù)的值域；(3)當時，求方程的實根個數(shù).考向6同構問題29．（2025·甘肅天水·三模）已知函數(shù)(1)當時，求曲線在點處的切線方程；(2)若，不等式恒成立，求的取值范圍.30．（2024·江蘇南京·二模）設函數(shù).(1)討論的單調性；(2)當時，證明：.31．（2024·廣東湛江·一模）已知函數(shù)．(1)討論的單調性和最值；(2)若關于x的方程有兩個不等的實數(shù)根，，求證：．32．（2024·浙江湖州·模擬預測）已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調性；（2）當時，求證：在上恒成立；（3）求證：當時，．考向7新定義問題33．（2025·江蘇揚州·模擬預測）設函數(shù)定義在區(qū)間上，若對任意的、，有，則稱為上的下凸函數(shù)，當且僅當時等號成立．若函數(shù)在區(qū)間上存在二階可導函數(shù)，則為區(qū)間上的下凸函數(shù)的充要條件是．(1)若函數(shù)是上的下凸函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(2)當，時，證明：；(3)在中，求的最大值．34．（2025·陜西漢中·二模）在數(shù)學中，泰勒公式是一個用函數(shù)在某點的信息描述其附近取值的公式，這個公式來自于微積分中的泰勒定理，在已知函數(shù)在某一點的各階導數(shù)值的情況下，泰勒公式可以用這些導數(shù)值作為系數(shù)構建一個多項式來近似函數(shù)在這一點的鄰域中的值，這個多項式稱為泰勒多項式.若函數(shù)在包含的某個開區(qū)間中具有階導數(shù)，設表示的階導數(shù)，則對任意，有，其中，是位于與之間的某個值，它稱為階泰勒余項，叫作在處的階泰勒多項式.已知函數(shù).(1)求在處的3階泰勒多項式.(2)證明：當時，.(3)當時，是否存在實數(shù)，使得不等式成立？若存在，求的最小值；若不存在，請說明理由.35．（2025·廣西百色·二模）兩個正整數(shù)m，n，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：，且滿足：，已知函數(shù)．(1)求函數(shù)在處的階帕德近似；(2)在（1）的條件下：求證：；(3)已知在處的階帕德近似為，依據帕德近似公式；若在處的階帕德近似為，設，試比較p，q，r的大?。?6．（2025·山東濰坊·一模）已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域都為．若對任意，有，則稱為“卓越函數(shù)”．(1)判斷是否為“卓越函數(shù)”？(2)已知為“卓越函數(shù)”，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知為“卓越函數(shù)”，且存在唯一正實數(shù)，使得，求實數(shù)的取值范圍．37．（2025·山東青島·二模）若曲線的切線與曲線共有個公共點（其中），則稱為曲線的“切線”．(1)若曲線在點處的切線為切線，另一個公共點的坐標為，求的值；(2)求曲線所有切線的方程；(3)設，是否存在，使得曲線在點處的切線為切線？若存在，探究滿足條件的的個數(shù)，若不存在，說明理由．38．（2025·河南三門峽·一模）拐點，又稱反曲點，指改變曲線向上或向下的點（即曲線的凹凸分界點）．設是函數(shù)的導函數(shù)，是函數(shù)的導函數(shù)．若方程有實數(shù)解，并且在點左右兩側二階導數(shù)符號相反，則稱為函數(shù)的“拐點”．經研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)都有“拐點”，且該“拐點”也是函數(shù)的圖象的對稱中心．已知三次函數(shù)(1)過點作曲線的切線，求切線方程：(2)若對于任意實數(shù)，都有恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)已知函數(shù)，其中．求的拐點．考向8極值點偏移問題39．（2024·江西撫州·二模）已知函數(shù).當時，若函數(shù)有兩個不同的零點，.(1)求m的取值范圍；(2)證明：.40．（2025·山東煙臺·一模）已知函數(shù)有兩個零點，.(1)求a的取值范圍；(2)證明：.41．（2025·遼寧遼陽·二模）已知函數(shù)．(1)求的單調區(qū)間；(2)若有兩個正零點，且．（i）求的取值范圍；（ii）求證：．42．（2024·湖南長沙·三模）已知函數(shù)．(1)當時，①求的最小值；②設，求證:；(2)設，，是的兩個極值點，求證：．43．（2025·云南麗江·模擬預測）已知函數(shù)，．(1)若，求的極值；(2)若有兩個極值點，，當時，證明：．44．（2025·四川內江·三模）已知函數(shù)，.(1)求曲線在處的切線方程；(2)若，求的取值范圍；(3)若有兩個實數(shù)解，，證明：.45．（2025·吉林遼源·二模）已知函數(shù).(1)當時，求在區(qū)間上的最值；(2)若有兩個不同的零點，證明：.考向09洛必達法則46．（2024·四川達州·模擬預測）已知函數(shù).（1）若函數(shù)在點處的切線經過點，求實數(shù)的值；（2）若關于的方程有唯一的實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍.47．（2025·河北邯鄲·三模）極限，是微積分學中一個重要概念.有些簡單函數(shù)的求極限是可以直接寫出的，例如，.如果當（或）時，兩個函數(shù)與都趨于零或都趨于無窮大，那么我們通常把極限叫作未定式，并分別簡記為或.當（或），極限為未定式且、、存在時，有：.這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定