廣東揭陽(yáng)市惠來(lái)縣第一中學(xué)2026屆數(shù)學(xué)高二上期末監(jiān)測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．“”是“方程表示橢圓”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件2．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，M是的中點(diǎn)，則點(diǎn)到平面MBD的距離是（）A. B.C. D.3．某商場(chǎng)有四類(lèi)食品，其中糧食類(lèi)、植物油類(lèi)、動(dòng)物性食品類(lèi)以及果蔬類(lèi)分別有40種、10種、30種、20種，現(xiàn)從中抽取一個(gè)容量為20的樣本進(jìn)行食品安全檢測(cè).若采用分層抽樣的方法抽取樣本，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和是（）A.4 B.5C.6 D.74．若雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為，則雙曲線(xiàn)的離心率是（）A. B.C. D.5．已知p、q是兩個(gè)命題，若“（￢p）∨q”是假命題，則（）A.p、q都是假命題 B.p、q都是真命題C.p是假命題q是真命題 D.p是真命題q是假命題6．雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.7．已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，直線(xiàn)與C相交于M，N兩點(diǎn)（其中M在第一象限），若M，，N，四點(diǎn)共圓，且直線(xiàn)傾斜角不小于，則橢圓C的離心率e的取值范圍是（）A. B.C. D.8．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，若c＝1，B＝45°，cosA＝，則b等于（）A. B.C. D.9．已知的周長(zhǎng)為，頂點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為、，則點(diǎn)的軌跡方程為（）A. B.C. D.10．已知橢圓方程為，點(diǎn)在橢圓上，右焦點(diǎn)為F，過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，若，則橢圓的方程為（）A. B.C. D.11．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)滿(mǎn)足，則（）A. B.C.3 D.412．變量，之間的一組相關(guān)數(shù)據(jù)如表所示：若，之間的線(xiàn)性回歸方程為，則的值為（）45678.27.86.65.4A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知球的半徑為3，則該球的體積為_(kāi)________.14．若動(dòng)直線(xiàn)分別與函數(shù)和的圖像交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_____15．已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，以下說(shuō)法正確的是______①過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長(zhǎng)為8②橢圓C上存在點(diǎn)P，使得③橢圓C的離心率為④P為橢圓上一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則線(xiàn)段PQ的最大長(zhǎng)度為316．雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，圓O與雙曲線(xiàn)C的漸近線(xiàn)在第一、四象限分別交于P，Q兩點(diǎn)滿(mǎn)足（其中O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則的面積是_________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)在C上（1）求p的值及F的坐標(biāo)；（2）過(guò)F且斜率為的直線(xiàn)l與C交于A，B兩點(diǎn)（A在第一象限），求18．（12分）已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為軸，焦點(diǎn)為，拋物線(xiàn)上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且（1）求拋物線(xiàn)的方程；（2）過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，設(shè)，判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說(shuō)明理由.19．（12分）已知三棱柱中，，，平面ABC，，E為AB中點(diǎn)，D為上一點(diǎn)（1）求證：；（2）當(dāng)D為中點(diǎn)時(shí)，求平面ADC與平面所成角的正弦值20．（12分）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登上望烽火，黃昏飲馬傍交河，”詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的“將軍飲馬”問(wèn)題，這是一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使得總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，河岸線(xiàn)所在直線(xiàn)方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即為回到軍營(yíng).軍營(yíng)所在區(qū)域可表示為.（1）求“將軍飲馬”的最短總路程；（2）因軍情緊急，將軍來(lái)不及飲馬，直接從A點(diǎn)沿傾斜角為45°的直線(xiàn)路徑火速回營(yíng)，已知回營(yíng)路徑與軍營(yíng)邊界的交點(diǎn)為M，N，軍營(yíng)中心與M，N連線(xiàn)的斜率分別為，，試求的值.21．（12分）已知函數(shù)，且在處取得極值.（1）求的值；（2）當(dāng)，求的最小值.22．（10分）一個(gè)長(zhǎng)方體的平面展開(kāi)圖及該長(zhǎng)方體的直觀圖的示意圖如圖所示（1）請(qǐng)將字母F，G，H標(biāo)記在長(zhǎng)方體相應(yīng)的頂點(diǎn)處（不需說(shuō)明理由）：（2）若且有下面兩個(gè)條件：①；②，請(qǐng)選擇其中一個(gè)條件，使得DF⊥平面，并證明你的結(jié)論

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)方程表示橢圓，且2，再判斷必要不充分條件即可.【詳解】解：方程表示橢圓滿(mǎn)足，解得，且2所以“”是“方程表示橢圓”的必要不充分條件.故選：B2、A【解析】等體積法求解點(diǎn)到平面的距離.【詳解】連接，，則，，由勾股定理得：，，取BD中點(diǎn)E，連接ME，由三線(xiàn)合一得：ME⊥BD，則，故，設(shè)到平面MBD的距離是，則，解得：，故點(diǎn)到平面MBD的距離是.故選：A3、C【解析】按照分層抽樣的定義進(jìn)行抽取.【詳解】按照分層抽樣的定義有，糧食類(lèi)：植物油類(lèi)：動(dòng)物性食品類(lèi)：果蔬類(lèi)=4:1:3:2，抽20個(gè)出來(lái)，則糧食類(lèi)8個(gè)，植物油類(lèi)2個(gè)，動(dòng)物性食品類(lèi)6個(gè)，果蔬類(lèi)4個(gè)，則抽取的植物油類(lèi)與果蔬類(lèi)食品種數(shù)之和是6個(gè).故選：C.4、A【解析】根據(jù)（為弦長(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），求解出的關(guān)系式，結(jié)合求解出離心率的值.【詳解】取的一條漸近線(xiàn)，因?yàn)椋橄议L(zhǎng)，為圓半徑，為圓心到直線(xiàn)的距離），其中，所以，所以，所以，所以，所以，故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是利用幾何法表示出圓的半徑、圓心到直線(xiàn)的距離、半弦長(zhǎng)之間的關(guān)系.5、D【解析】由已知可得￢p，q都是假命題，從而可分析判斷各選項(xiàng)【詳解】∵“（￢p）∨q”是假命題，∴￢p，q都是假命題，∴p真，q假，故選：D.6、A【解析】先將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，再根據(jù)雙曲線(xiàn)漸近線(xiàn)方程求解即可.【詳解】解：將雙曲線(xiàn)的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得，所以，所以其漸近線(xiàn)方程為：，即.故選：A.7、B【解析】設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性和圓的性質(zhì)得以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，則有以，再根據(jù)直線(xiàn)傾斜角不小于得，由橢圓的定義得，由此可求得橢圓離心率的范圍.【詳解】解：設(shè)橢圓的半焦距為c，由橢圓的中心對(duì)稱(chēng)性和M，，N，四點(diǎn)共圓得，四邊形必為一個(gè)矩形，即以為直徑的圓與橢圓C有公共點(diǎn)，所以，所以，所以，因?yàn)橹本€(xiàn)傾斜角不小于，所以直線(xiàn)傾斜角不小于，所以，化簡(jiǎn)得，，因?yàn)椋?，所以，，又，因?yàn)椋?，所以，所以，所?故選：B.8、C【解析】先由cosA的值求出，進(jìn)而求出，用正弦定理求出b的值.【詳解】因?yàn)閏osA＝，所以，所以由正弦定理：，得：.故選：C9、D【解析】分析可知點(diǎn)的軌跡是除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，求出、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出頂點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】由已知可得，，且、、三點(diǎn)不共線(xiàn)，故點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，且除去長(zhǎng)軸端點(diǎn)的橢圓，由已知可得，得，，則，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.10、A【解析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得，則橢圓方程可求.【詳解】由點(diǎn)在橢圓上得，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性可得，則，故橢圓方程為.故選：A.11、C【解析】先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由，可求出的關(guān)系式，然后求【詳解】由，得，因?yàn)?，所以，所以，故選：C12、C【解析】本題先求樣本點(diǎn)中心，再利用線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心直接求解即可.【詳解】解：，，所以樣本點(diǎn)中心：，線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，則解得：，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查線(xiàn)性回歸方程過(guò)樣本點(diǎn)中心，是簡(jiǎn)單題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】根據(jù)球的體積公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)榍虻陌霃剑郧虻捏w積；故答案為：14、【解析】利用導(dǎo)數(shù)求出與平行的曲線(xiàn)的切線(xiàn)，再利用兩點(diǎn)間距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】設(shè)曲線(xiàn)的切點(diǎn)為，由，所以曲線(xiàn)的切線(xiàn)的斜率為，直線(xiàn)的斜率為，當(dāng)切線(xiàn)與平行時(shí)，即，即切點(diǎn)為，當(dāng)直線(xiàn)過(guò)切點(diǎn)時(shí)，有最小值，即，此時(shí)，解方程組：，，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用曲線(xiàn)的切線(xiàn)性質(zhì)進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.15、①②④【解析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)結(jié)合的周長(zhǎng)計(jì)算可判斷①；根據(jù)，可通過(guò)以為直徑作圓，是否與橢圓相交判斷②；求出橢圓的離心率可判斷③；計(jì)算橢圓上的點(diǎn)到圓心的距離的最大值，即可判斷④.【詳解】對(duì)于①，由題意知：的周長(zhǎng)等于，故①正確；對(duì)于②，，故以為直徑作圓，與橢圓相交，交點(diǎn)即設(shè)為P，故橢圓C上存在點(diǎn)P，使得，故②正確；對(duì)于③，，故③錯(cuò)誤；對(duì)于④，設(shè)P為橢圓上一點(diǎn)，坐標(biāo)為，則，故，因?yàn)?，所以的最大值?，故線(xiàn)段PQ的最大長(zhǎng)度為2+1=3，故④正確，故答案為：①②④.16、【解析】根據(jù)雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上可求出的值，設(shè)線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，進(jìn)而根據(jù)求出的坐標(biāo)，代入圓中，求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)殡p曲線(xiàn)的焦點(diǎn)在圓上，所以，設(shè)線(xiàn)段與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為，結(jié)合雙曲線(xiàn)與圓的對(duì)稱(chēng)性可知為線(xiàn)段的中點(diǎn)，又因?yàn)?，即，且，則，又因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為，所以，又因?yàn)樵趫A上，所以，又因?yàn)?，則，所以，從而，故,故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）4【解析】（1）將M坐標(biāo)代入方程即可；（2）聯(lián)立直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)方程得到A、B的橫坐標(biāo)，再利用焦半徑公式求出即可.【小問(wèn)1詳解】將代入，得，解得，所以【小問(wèn)2詳解】由（1）得拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)l的方程為，聯(lián)立消y得，解得或，因?yàn)锳在第一象限，所以，所以，，所以18、（1）（2）是，0【解析】（1）根據(jù)題意，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：，則，，進(jìn)而根據(jù)得，進(jìn)而得答案；（2）直線(xiàn)的方程為，進(jìn)而聯(lián)立方程，結(jié)合韋達(dá)定理與向量數(shù)量積運(yùn)算化簡(jiǎn)整理即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：由題意，設(shè)拋物線(xiàn)的方程為：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，因?yàn)?，所以，即，解?所以?huà)佄锞€(xiàn)的方程為：【小問(wèn)2詳解】解：設(shè)直線(xiàn)的方程為，則聯(lián)立方程得，所以，，因?yàn)?，所?所以為定值.19、（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】（1）利用線(xiàn)面垂直的性質(zhì)定理及線(xiàn)面垂直的判定定理即證；（2）利用坐標(biāo)法即求.【小問(wèn)1詳解】∵，E為AB中點(diǎn)，∴，∵平面ABC，平面ABC，∴，又，，∴平面，平面，∴；【小問(wèn)2詳解】以C點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，CA，CB，分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則平面的法向量為，設(shè)平面ADC法向量為，則，∴，即，令，則∴平面ADC與平面所成角的余弦值為，所以平面ADC與平面所成角的正弦值.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意作出圖形，然后求出關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，進(jìn)而根據(jù)圓的性質(zhì)求出到圓上的點(diǎn)的最短距離即可；（2）將直線(xiàn)方程代入圓的方程并化簡(jiǎn)，進(jìn)而結(jié)合韋達(dá)定理求得答案.【小問(wèn)1詳解】若軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)?，圓：的圓心為原點(diǎn)，半徑為，作圖如下：設(shè)將軍飲馬點(diǎn)為，到達(dá)營(yíng)區(qū)點(diǎn)為，設(shè)為A關(guān)于直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，因?yàn)?，所以線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則，又，聯(lián)立解得：，即，所以總路程，要使得總路程最短，只需要最短，即點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的最短距離，即為.【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)A傾斜角為45°的直線(xiàn)方程為：，設(shè)兩個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立，消去y得.由韋達(dá)定理，，.21、（1）；（2）.【解析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，則極值點(diǎn)為導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，進(jìn)而建立方程組解出a,b，然后討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間進(jìn)行驗(yàn)證，最后確定答案；（2）根據(jù)（1）得到函數(shù)在上的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出最小值.【小問(wèn)1詳解】，因?yàn)樵谔幦〉脴O值，所以，則，所以時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，時(shí)，，單調(diào)遞減，故為函數(shù)的極值點(diǎn).于是.【小問(wèn)2詳解】結(jié)合（1）