清遠(yuǎn)一中2025-2026學(xué)年度高三10月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題1.設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為O，焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l.P是拋物線上異于O的一點(diǎn)，過P作PQ⊥l于Q，則線段FQ的垂直平分線()A.經(jīng)過點(diǎn)O B.經(jīng)過點(diǎn)PC.平行于直線OP D.垂直于直線OP【答案】B【解析】如圖所示，P為拋物線上異于O的一點(diǎn)，則PF＝PQ，∴QF的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)P.2.設(shè)集合，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題設(shè)有，故選B.3.某演講比賽8位參賽選手的最終得分分別為92，88，95，93，90，97，94，96，其中位數(shù)為(

)A.91.5 B.93 C.93.5 D.94【答案】C【解析】把數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列可得：88，90，92，93，94，95，96，97，中位數(shù)是93+942故選：C.4.清代的蘇州府被稱為天下糧倉，大批量的糧食要從蘇州府運(yùn)送到全國各地．為了核準(zhǔn)糧食的數(shù)量，蘇州府制作了“小嘴大肚”的官斛用以計(jì)算糧食的多少，五斗為一斛，而一只官斛的容量恰好為一斛，其形狀近似于正四棱臺(tái)，上口為正方形，內(nèi)邊長為25cm，下底也為正方形，內(nèi)邊長為50cm，斛內(nèi)高36cm，那么一斗米的體積大約為立方厘米?（）A.10500 B.12500 C.31500 D.52500【答案】A【解析】因?yàn)橐恢还脔娜萘壳『脼橐货?，其形狀近似于正四棱臺(tái)，所以一斛米的體積為，因?yàn)槲宥窞橐货?，所以一斗米的體積為，故選：A.5.已知函數(shù)若存在實(shí)數(shù)x1，x2滿足，且，則的最大值為（）A.e-1 B.12 C. D.1【答案】A【解析】當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，令，則，，設(shè)，，，即在上單調(diào)遞增，，所以的最大值為e-1.故選：A.6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題干得，所以，故選：B.7.已知函數(shù)fx=Acos2x+φ(A>0,φ<π)A.gx=sin4x B.gx=sinx【答案】A【解析】由fx是奇函數(shù)，則φ=kπ+π2，k∈當(dāng)φ=π2，fx當(dāng)φ=?π2，fx=Acos所以fx將fx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2倍，縱坐標(biāo)不變，故故選：A.8.已知圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，若點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則PA?A.?94 B.?32 C.?2【答案】A【解析】圓錐MO的底面半徑為3，高為1，其中O為底面圓心，AB是底面圓的一條直徑，則有OA=?OB，點(diǎn)P在圓錐MO的側(cè)面上運(yùn)動(dòng)，則PA?OP最小時(shí)，PA?PB有最小值，OP的最小值為Rt△MOA中，OA=3，OM=1，則AM=2，O點(diǎn)到MA的距離則OP的最小值為32，PA?PB故選：A.二、多選題9.已知正方體的棱長為是空間中的一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）A.若點(diǎn)在正方形內(nèi)部，異面直線與所成角為，則的范圍為B.平面平面C.若，則的最小值為D.若，則平面截正方體所得截面面積的最大值為【答案】BCD【解析】對(duì)于，如圖：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，則則，因?yàn)樗?，故，則的取值范圍為，故A不正確；對(duì)于B，在正方體中，平面平面，顯然成立.故B正確；對(duì)于C：正方體的棱長為2，為空間中的一動(dòng)點(diǎn)，在上取點(diǎn)，使，在上取點(diǎn)，使,如圖：由得，即，故為線段上一點(diǎn).將平面沿展開至與平面共面，如下圖：易知：，則.在平面圖中，當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，取得最小值，為，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)椋?，又，可知是線段上一點(diǎn)，如圖：連接并與交于點(diǎn).當(dāng)與重合時(shí)，平面與平面重合，此時(shí)截面面積為4.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，平面截正方體所得截面為三角形，且當(dāng)與重合時(shí)，截面為，此時(shí)截面面積最大，由三邊長均為，故此時(shí)截面面積最大值為.當(dāng)在線段（不含點(diǎn)）上時(shí)，如圖：延長與交于點(diǎn)，作平行于并與交于點(diǎn)，則截面為等腰梯形，設(shè)，則，梯形的高，面積為.由圖可知：梯形的面積一定小于矩形的面積，且矩形面積為，所以.當(dāng)與重合時(shí)，截面為矩形，面積為.故平面截正方體所得截面面積最大值為，故D正確.故選：BCD.10.平面上到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡稱為卡西尼卵形線.已知曲線是到兩定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)2的點(diǎn)的軌跡，設(shè)是曲線上的點(diǎn)，給出下列結(jié)論，其中正確的是（）A.曲線關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱 B.C. D.周長的最小值為【答案】AC【解析】由題意，，則，即，即，將代入有成立，所以曲線C關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱，A正確；由，得，設(shè)，則，所以，則當(dāng)時(shí)，有最大值，所以，所以B錯(cuò)誤；由B可知，當(dāng)時(shí)，有最大值為，所以，所以C正確；由，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，周長的最小值為，而此時(shí)，不能構(gòu)成三角形，即最小值不是，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11.已知直線l:m+2x?m?2A.l過定點(diǎn)1,1B.圓C與y軸相切C.若l與圓C有交點(diǎn)，則m的最大值為0D.若l平分圓C，則m=?【答案】ABD【解析】對(duì)A，整理直線l的方程，得mx?y+2x+y?4=0，令當(dāng)x=y時(shí)，直線方程與m的取值無關(guān)，又x+y=2，解得x=y=1，即l必過定點(diǎn)1,1，故A正確；對(duì)B，整理圓C的方程，得(x+2)2+(y?3)2=4又r=2，故得圓C與y軸相切，故B正確；對(duì)C，若l與圓C有交點(diǎn)，設(shè)圓心C到直線l的距離為d，可得d=5m+2(m+2)2+(m?2)對(duì)D，若l平分圓C，則l必過圓心，易知圓心為?2,3將?2,3代入直線l的方程，得?5m+2?4=0，解得m=?25故選：ABD.三、填空題12.已知點(diǎn)均在半徑為2的球面上，是邊長為3的等邊三角形，平面，則________．【答案】2【解析】如圖，將三棱錐轉(zhuǎn)化為正三棱柱，設(shè)的外接圓圓心為，半徑為，則，可得，設(shè)三棱錐的外接球球心為，連接，則，因?yàn)?，即，解?故答案為：2.13.設(shè)雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1的直線l交雙曲線左支于A，B兩點(diǎn)，則|BF2|＋|AF2|的最小值為__________．【答案】10【解析】由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得a＝2,由雙曲線的定義可得|AF2|－|AF1|＝4,|BF2|－|BF1|＝4,所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8.因?yàn)閨AF1|＋|BF1|＝|AB|,當(dāng)直線l過點(diǎn)F1,且垂直于x軸時(shí),|AB|最小,所以(|AF2|＋|BF2|)min＝(|AF1|+|BF1|)min＝|AB|min＋8＝，故答案為：10.14.在三棱錐A－BCD中，若AD⊥平面BCD，AB⊥BC，AD＝BD＝2，CD＝4，點(diǎn)A，B，C，D在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為________.【答案】20π【解析】根據(jù)題意得，BC⊥平面ABD，則BC⊥BD，即AD，BC，BD三條線兩兩垂直，所以可將三棱錐A－BCD放置于長方體內(nèi)，如圖所示，該三棱錐的外接球即為長方體的外接球，球心為長方體體對(duì)角線的中點(diǎn)，即外接球的半徑為長方體體對(duì)角線長的一半，此時(shí)AC為長方體的體對(duì)角線，即為外接球的直徑，所以該球的表面積S＝4πR2＝π·AC2＝π·(22＋42)＝20π.四、解答題15.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，且為等差數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求的前項(xiàng)和.【答案】解：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，因?yàn)?，所以，即，所以，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，滿足上式，所以.（2）由（1）知?jiǎng)t，所以數(shù)列的前項(xiàng)和為.16.高三某班為緩解學(xué)生高考?jí)毫?，班委?huì)決定在周班會(huì)課上進(jìn)行“聽音樂，猜歌名”的趣味游戲比賽，現(xiàn)將全班學(xué)生分為9組，每組5人，剩余的學(xué)生做裁判．比賽規(guī)則如下：比賽共分為兩輪，第一輪比賽中9個(gè)小組分三場進(jìn)行比賽，每場比賽有3個(gè)小組參加，在規(guī)定的時(shí)間內(nèi)猜對(duì)歌名最多的小組獲勝，獲勝的三個(gè)小組進(jìn)入第二輪比賽；第二輪進(jìn)行一場比賽，選出獲勝隊(duì)伍．已知甲、乙、丙3個(gè)小組的學(xué)生能成功猜對(duì)歌名的概率分別為．（1）現(xiàn)從甲組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，記5首歌曲中猜對(duì)的歌曲數(shù)為，求隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；（2）若從甲、乙、丙3個(gè)小組中任選一名學(xué)生參加猜歌游戲，求該學(xué)生猜對(duì)歌曲的概率；（3）若第二輪比賽中丁、戊兩組并列第一，則設(shè)置以下游戲決定最終獲勝的小組，游戲規(guī)則如下：從丁、戊小組中任選一名代表，從裝有3個(gè)白球和2個(gè)紅球的不透明的盒子中有放回地隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出白球記分，摸出紅球記分，以0分開始計(jì)分，恰好獲得分或分則結(jié)束摸球．若該代表獲得分，則該代表所在小組獲得勝利，否則另外一組獲得勝利．若該代表來自戊組，試估計(jì)戊組獲勝的概率．【答案】解：（1）已知從甲組中任選一名學(xué)生進(jìn)行歌曲試猜，猜對(duì)歌曲的概率為45，共猜5隨機(jī)變量X表示猜對(duì)的歌曲數(shù)，則X～B(5,4則E(X)=5×4（2）記事件A1，A2，且P(A記事件B表示該學(xué)生能猜對(duì)歌曲，已知P(B|A1)=45則P(B)=1所以，該學(xué)生能猜對(duì)的概率為143180（3）由題意，從盒子中有放回地摸球，摸出白球記1分，概率為35摸出紅球記2分，概率為25記得分為n的概率為Pn，P1=當(dāng)n≥3時(shí)，Pn=3又P2所以數(shù)列{Pn+1?Pn可得Pn+1所以P=3所以戊組獲勝的概率為5717.已知實(shí)數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.求：(1)的最大值和最小值；(2)y－x的最小值；(3)x2＋y2的最大值和最小值．【答案】解(1)如圖，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以點(diǎn)(2,0)為圓心，為半徑的圓．設(shè)＝k，即y＝kx，則圓心(2,0)到直線y＝kx的距離為半徑時(shí)直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．由＝，解得k2＝3，∴kmax＝，kmin＝－.∴max＝，min＝－.(2)設(shè)y－x＝b，則y＝x＋b，當(dāng)且僅當(dāng)直線y＝x＋b與圓相切于第四象限時(shí)，截距b取最小值，由點(diǎn)到直線的距離公式，得＝，即b＝－2±，故(y－x)min＝－2－.(3)x2＋y2是圓上點(diǎn)與原點(diǎn)的距離的平方，設(shè)圓與x軸相交于點(diǎn)B和C′(點(diǎn)B在點(diǎn)C′左側(cè))，則(x2＋y2)max＝|OC′|2＝(2＋)2＝7＋4，(x2＋y2)min＝|OB|2＝(2－)2＝7－4.18.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，，，為中點(diǎn)，．（1）設(shè)平面平面，求證：；（2）從條件①，條件②，條件③中選擇兩個(gè)作為已知，使四棱錐存在且唯一確定．（?。┣笃矫媾c平面所成角的余弦值；（ⅱ）平面交直線于點(diǎn)，求線段的長度．條件①：平面平面；條件②：；條件③：四棱錐的體積為．【答案】（1）證明：在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，則，而平面平面，于是平面，又平面，且平面平面，所以.（2）解：選條件①③，平面平面，四棱錐的體積為，連接和交于點(diǎn)，連接，顯然是中點(diǎn)，由，得，而平面平面，平面，底面，，，解得，選條件②③，，四棱錐的體積為，連接和交于點(diǎn)，連接，顯然是中點(diǎn)，由，得，又是中點(diǎn)，由，得，而平面，則底面，，，解得，若選條件①②，平面平面，，此2條件均可證明底面，點(diǎn)的位置不確定，即四棱錐存在，但不唯一，因此條件①②不可選.（i）以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，平面的法向量為，因此，所求平面與平面所成角的余弦值為.（ii）平面交線段于點(diǎn)，由（i）知，，設(shè)，則，由，得