初中2025北京朝陽初二（下）期末數(shù)學（考試時間90分鐘滿分100分）學校______班級______姓名______考號______考生須知1．本試卷共6頁，共三道大題，26道小題．2．在試卷和答題卡上認真填寫學校、班級、姓名、考號．3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效．4．在答題卡上，選擇題、作圖題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答．5．考試結(jié)束，請將本試卷、答題卡和草稿紙一并交回．一、選擇題（共24分，每題3分）第1－8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）A. B. C. D.2.以下列各組數(shù)為邊長，可以組成直角三角形的是（）A.4，4，5 B.5，6，7 C.8，8，8 D.3，4，53.如圖，在菱形中，，分別是，的中點，如果，那么的長為（）A. B. C. D.4.如圖，在矩形中，對角線相交于點，則的長為（）A. B.2 C. D.85.如圖，在中，是邊的中點，若，則的長為（）A.5 B.6 C. D.136.如表是八年級某班學生平均周閱讀時間（單位：h）的分布表：時間34567頻數(shù)16812951則該班學生平均周閱讀時間的眾數(shù)是（）A.4 B.6 C.7 D.97.在同一平面直角坐標系中，直線與相交于點，則關(guān)于x，y的方程組的解為（）A. B. C. D.8.如圖，將平行四邊形沿對角線翻折，得到四邊形，，交于點M，交于點．有如下四個結(jié)論：①；②；③四邊形為菱形；④互相垂直且相等．上述結(jié)論中，所有正確結(jié)論的序號為（）A.①② B.②③ C.①②③ D.①③④二、填空題（共24分，每題3分）9.若在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則實數(shù)的取值范圍是______．10.計算：=_____．11.寫出一個圖象經(jīng)過第一、三象限的函數(shù)，其表達式為______．12.如圖，數(shù)軸上點表示的數(shù)為3，，，以原點為圓心，為半徑作弧，與數(shù)軸交于一點，則點表示的數(shù)為______．13.如圖，對角線的交點為坐標原點，若點坐標為，則線段的長為______．14.某校為增強學生體質(zhì)，以“陽光運動，健康成長”為主題開展體育訓練，并對學生進行專項測試．以下是某次八年級（1）班甲、乙兩組男生引體向上測試的成績：甲組乙組|如果甲、乙兩組成績的方差分別為，則______（填“>”“<”或“=”）15.如圖，在中，，點D，E分別在邊，上，連接，將沿折疊，點的對應(yīng)點為，點剛好落在邊上．圖中與線段相等的線段是______；若，，則的長為______．16.同一條公路連接A，B，C三地，地在A，C兩地之間．甲、乙兩車分別從地、地同時出發(fā)前往C地．甲車速度始終保持不變，乙車中途休息一段時間，繼續(xù)行駛，乙車休息前、后的速度不變（乙車加、減速時間忽略不計）．甲、乙兩車之間的距離與時間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．兩地相距______km；甲車行駛______h，甲、乙兩車相距．三、解答題（共52分，第17－24題，每題5分，第題，每題6分）17.計算：．18.如圖，已知中，點E，F(xiàn)分別在上，且．求證：．19.已知，，求代數(shù)式的值．20.在四邊形中，，點在邊上，，過點作，交的延長線于點．（1）求證：四邊形為菱形；（2）連接交于點，若，求的長．21.在平面直角坐標系中，已知直線經(jīng)過點和．（1）求直線的表達式及該直線與軸交點的坐標；（2）若當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，且大于0，直接寫出的取值范圍．22.2025年3月31日是第30個全國中小學生安全教育日，為提高學生安全防范意識和自我防護能力，某學校舉行了校園安全知識競賽活動，該校七、八年級各有200人，都參加了此次競賽活動．現(xiàn)從七、八年級中各隨機抽取15名學生的競賽成績（百分制）進行整理、描述和分析（成績分成四組：），并給出下面部分信息：a．七年級抽取的學生競賽成績頻數(shù)分布直方圖：b．七年級抽取的學生競賽成績在組的成績?yōu)椋篶．八年級抽取的學生競賽成績?yōu)椋篸．七、八年級抽取的學生競賽成績的平均數(shù)、中位數(shù)為：年級平均數(shù)中位數(shù)七87p八8786根據(jù)以上信息，解答下列問題：（1）寫出表中的值；（2）如果去掉八年級抽取的學生競賽成績中的一個最高分和一個最低分，記剩下13個成績的平均數(shù)為，則______87；（填“”“”或“”）（3）請你估計該校七、八年級學生此次競賽活動成績達到90分及以上的總?cè)藬?shù)．23.學校科技創(chuàng)新小組有兩個加工同種實驗液體的裝置，分別為1號裝置、2號裝置．當1號裝置、2號裝置的加工時間都為時，分別記錄了1號裝置中加工的實驗液體的體積（單位：）和2號裝置中加工的實驗液體的體積（單位：），部分數(shù)據(jù)如下：0234567891002.44.86.07.28.49.610.812.000.20.61.12.03.24.76.68.911.6（1）寫出表中的值；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）（2）通過分析數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)可以用函數(shù)刻畫與與之間的關(guān)系，在給出的平面直角坐標系中，畫出這兩個函數(shù)的圖象；（3）根據(jù)以上數(shù)據(jù)與函數(shù)圖象，解決問題：若兩個裝置同時開始加工，當1號裝置與2號裝置加工的實驗液體的體積相差最大時，1號裝置停止加工．①此時的加工時間為______h；（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）②2號裝置再加工______h，與1號裝置加工的實驗液體的體積相等．（結(jié)果保留小數(shù)點后一位）24.在平面直角坐標系中，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點，兩個函數(shù)圖象在點上方的部分及點組成圖形．（1）當時，求點的坐標；（2）已知和是圖形上的兩點．若對于，都有，求的取值范圍．25.如圖，在中，，點在邊上（不與點B，C重合），四邊形為正方形．（1）直接寫出與之間的數(shù)量關(guān)系；（2）過點作，垂足為，求證：；（3）在（2）的條件下，連接，用等式表示線段與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．26.在平面直角坐標系xOy中，矩形ABCD的頂點分別為，，，線段在矩形的外面．給出如下定義：將線段關(guān)于直線對稱，得到線段，若線段不在矩形的外面，則稱線段為矩形關(guān)于直線的對稱線段，線段與線段中點間的距離為線段到矩形的對稱距離．（1）如圖，已知點，，，在線段，中，是矩形關(guān)于軸的對稱線段的是______，該線段到矩形的對稱距離為______；（2）過點作軸的垂線．①已知點，，若存在，使線段MN是矩形關(guān)于直線的對稱線段，則的取值范圍是______；②已知點，，若存在，使線段是矩形關(guān)于直線的對稱線段，則線段到矩形的對稱距離的取值范圍是______．參考答案一、選擇題（共24分，每題3分）第1－8題均有四個選項，符合題意的選項只有一個．1.【答案】A【分析】本題考查了最簡二次根式的知識，解答本題的關(guān)鍵在于掌握最簡二次根式的概念．根據(jù)最簡二次根式的定義，需滿足：①被開方數(shù)不含能開方的因數(shù)；②被開方數(shù)不含分母．【詳解】選項A：，被開方數(shù)3是質(zhì)數(shù)，無平方因子，且不含分母，符合最簡二次根式條件；選項B：，被開方數(shù)為分數(shù)，且分母10含非平方因子，需分母有理化，故不是最簡；選項C：，分母含根號，需化簡為，故不是最簡；選項D：，被開方數(shù)8含平方因子4，可進一步化簡，故不是最簡．故選：A．2.【答案】D【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，根據(jù)勾股定理的逆定理，若三角形三邊長滿足（其中為最長邊），則該三角形為直角三角形．逐一驗證各選項即可．【詳解】解：A、最長邊為5，驗證，而，，不滿足勾股定理，不能組成直角三角形；B、最長邊為7，驗證，而，，不滿足勾股定理，不能組成直角三角形；C、三邊相等，為等邊三角形，各角均為，非直角三角形；D、最長邊為5，驗證，而，，滿足勾股定理，能組成直角三角形，故選：D．3.【答案】C【分析】本題考查了中位線，菱形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證明是的中位線．證明是的中位線，得到，再根據(jù)菱形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，分別是，的中點，∴是的中位線，∵，∴，∵四邊形是菱形，∴，故選：C．4.【答案】B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)．根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得，可證明是等邊三角形，即可求解．【詳解】∵四邊形是矩形，，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故選：B5.【答案】C【分析】本題考查了勾股定理，斜邊上的中線，根據(jù)勾股定理可以求出的長，然后根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可求出的長．【詳解】解：，，，D是邊的中點，，故選：C．6.【答案】A【分析】此題考查了眾數(shù)的定義，正確理解眾數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)眾數(shù)的定義，即一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)，直接觀察頻數(shù)分布表中頻數(shù)最大的對應(yīng)時間即可．【詳解】由表格可知，周閱讀時間及其對應(yīng)頻數(shù)分別為：（1次）、（6次）、（8次）、（12次）、（9次）、（5次）、（1次）．其中頻數(shù)最大的是12次，對應(yīng)的時間為．因此，該班學生平均周閱讀時間的眾數(shù)是．故選：A．7.【答案】B【分析】本題考查了方程組的解，兩條直線的交點坐標即為對應(yīng)方程組的解，已知交點，將代入直線方程即可求出的值，從而確定方程組的解．【詳解】解：直線與相交于點，該點的坐標同時滿足兩個直線方程，將代入，得：，因此，交點坐標為，方程組的解即為兩條直線的交點坐標，故解為，故選：B．8.【答案】C【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)以及菱形的判定等知識，通過證明三角形全等得出邊和角的關(guān)系，進而判斷各個結(jié)論是否正確．【詳解】解：①∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，由折疊可知，，∴，在和中，，∴，∴，故①正確；②由折疊得，，∴，∴，故②正確；③由①可知，，同理可得∵，∴，∴，又，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形為菱形，故③正確；④連接、、，、分別與交于點，如圖，由折疊得，，∴，，∵四邊形是平行四邊形，∴，又，∴，由折疊得，，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，又，∴四邊形是矩形，∴，即，但無法判斷的相等關(guān)系，故④錯誤，綜上，正確的結(jié)論是①②③，故選：C．二、填空題（共24分，每題3分）9.【答案】【分析】本題考查二次根式有意義的條件，根據(jù)二次根式的被開方數(shù)為非負數(shù)求解即可．【詳解】解：要使在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則，即．故答案為：10.【答案】【分析】此題利用二次根式的除法法則進行計算即可求出答案．【詳解】解：故答案為．【點睛】此題考查了二次根式的除法，此題較簡單，解題時要利用二次根式的除法法則進行計算是本題的關(guān)鍵．11.【答案】（答案不唯一）【分析】本題考查了一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握該知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)，當時，圖象過第一，三象限，當時，圖象過第二，四象限，即可解答．【詳解】解：經(jīng)過第一、三象限的函數(shù)可以是，故答案為：（答案不唯一）12.【答案】【分析】本題考查勾股定理、在數(shù)軸上表示無理數(shù)、基本尺規(guī)作圖-作相等線段等知識，先由勾股定理求出，再由基本尺規(guī)作圖得到，從而得到答案．熟練掌握勾股定理求線段長是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，則由勾股定理可得，以原點為圓心，為半徑作弧，與數(shù)軸交于一點，，則點表示的數(shù)為，故答案為：．13.【答案】【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)．利用平行四邊形的性質(zhì)求出即可．【詳解】解：，，四邊形是平行四邊形，是對角線的交點，，故答案為：．14.【答案】【分析】本題主要考查方差，解題的關(guān)鍵是掌握平均數(shù)和方差的定義．根據(jù)方差的定義列式計算即可．【詳解】解：，．，．所以：．故答案為：．15.【答案】①.②.3【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理．設(shè)，則，利用勾股定理列式計算即可求解．【詳解】解：由折疊的性質(zhì)知，設(shè)，則，∵，，∴，即，解得，故答案為：；3．16.【答案】①.20②.【分析】（1）根據(jù)圖象的信息即可解答；（2）求出點E的坐標，分甲車在線段段、甲車在線段段、甲車在線段段三種情況解答即可求解．【詳解】解：由圖象得，當時，，兩地相距，故答案為：20；當時，乙車開始休息，當時，乙車重新出發(fā)，乙車中途休息，22,60從點過程中，只有甲車行駛，甲車的速度為，點甲行駛的時間為，，設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，把，代入得，，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為，把代入得，解得；設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，把，代入得，，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為，把代入得，解得；設(shè)線段所在直線的函數(shù)解析式為，把，代入得，，解得，線段所在直線的函數(shù)解析式為，把代入得，解得，綜上，甲車行駛小時或小時或小時，甲、乙兩車相距．【點睛】本題考查了函數(shù)的圖象，一次函數(shù)的實際應(yīng)用，求一次函數(shù)的解析式，讀懂函數(shù)圖象的信息是解題的關(guān)鍵．三、解答題（共52分，第17－24題，每題5分，第題，每題6分）17.【答案】【分析】本題主要考查了二次根式的混合運算，熟練掌握運算法則是解題關(guān)鍵．先計算二次根式的乘法、化簡二次根式、化簡絕對值，再計算二次根式的加減法即可得．【詳解】解：原式18.【答案】證明見解析【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，先由平行四邊形的性質(zhì)得到，進而可證明四邊形是平行四邊形，則．【詳解】證明：∵四邊形是平行四邊形，∴，即∵，∴四邊形是平行四邊形，∴．19.【答案】【分析】本題主要考查了因式分解的應(yīng)用、二次根式的混合運算等知識點．先求出、，然后再對原式因式分解，最后代入計算即可．【詳解】解：∵，，∴，，∴．20.【答案】（1）見解析（2）【分析】本題考查平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)、勾股定理，熟練掌握菱形的判定和性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．（1）先證明四邊形是平行四邊形，再根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形可得結(jié)論；（2）由菱形的性質(zhì)得到，然后利用勾股定理求得即可求解．【小問1詳解】證明：，，，四邊形是平行四邊形．，平行四邊形是菱形；【小問2詳解】解：四邊形是菱形，，．在中，，根據(jù)勾股定理，得，．21.【答案】（1），；（2）．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達式，一次函數(shù)的圖象與坐標軸的交點問題，解一元一次不等式組，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)直線經(jīng)過點和，利用待定系數(shù)法即可求得表達式，然后求得當時，的值，得到與軸的交點的坐標；（2）根據(jù)函數(shù)的值小于函數(shù)的值，且大于0，列出不等式組求得，結(jié)合，得到，解之即可．【小問1詳解】解：∵直線經(jīng)過點和，∴，解得，∴該直線的表達式為，∵當時，，∴該直線與軸交點的坐標為．【小問2詳解】解：根據(jù)題意可得，解得∵當時，對于的每一個值，函數(shù)的值小于函數(shù)的值，且大于0，∴，解得，∴的取值范圍為．22.【答案】（1）88（2）（3）160人【分析】（1）根據(jù)中位數(shù)的定義得出P為排序后第八名學生的成績；（2）根據(jù)去掉的兩個成績?yōu)?9和100，原來15個人的平均分為87分，求出剩余13個人的平均分即可得出答案；（3）用200人乘以抽取的七、八年級學生競賽成績中90分及以上的人數(shù)所占百分比，即可求解．【小問1詳解】解：∵一共抽取七年級學生15人，∴中位數(shù)是排序后的第8個數(shù)據(jù)，∵，∴第8個數(shù)據(jù)落在C組，∴；【小問2詳解】解：根據(jù)題意可知：去掉的最低分為69分，最高分為100分，∵抽取的15個人的平均分為87分，∴剩余的13個人的平均分為：；【小問3詳解】解：根據(jù)頻數(shù)分布直方圖可得，抽取的七年級學生競賽成績中，90分以上的有6個；根據(jù)抽取的八年級學生的競賽成績可得，90分以上的有6個；∴該校七、八年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數(shù)為：（人），答：該校七、八年級參加此次競賽活動成績達到90分及以上的學生人數(shù)為160人．【點睛】本題主要考查了頻數(shù)分布直方圖，中位數(shù)，眾數(shù)，頻率，以及用樣本估計總體，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識點，并靈活運用，正確從統(tǒng)計圖中獲取需要數(shù)據(jù)．23.【答案】（1）3.6；（2）見解析（3）①；②（答案不唯一）【分析】本題考查函數(shù)與圖象，從數(shù)據(jù)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，得到函數(shù)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．（1）觀察表格可發(fā)現(xiàn)，當x每增加時，的值增加，據(jù)此即可解答；（2）將表格數(shù)據(jù)描點，并連線即可解答；（3）①觀察函數(shù)圖象，得到體積相差最大時所對應(yīng)的自變量的值即可解答；②觀察函數(shù)圖象，得到1號裝置停止加工，2號裝置大約在什么時刻得到和1號裝置相同的體積，減去①中得到的時間即為2號裝置再加工需要的時間．【小問1詳解】解：觀察表格可發(fā)現(xiàn)，當x每增加時，的值增加，∴；【小問2詳解】解：將表格數(shù)據(jù)描點，并連線，得【小問3詳解】解：①觀察函數(shù)圖象可得，當時，實驗液體的體積相差最大．②當1號停止加工時，觀察函數(shù)圖象可得2號需要到8小時時，與1號裝置加工的實驗液體的體積相等，∴2號裝置再加工的時間為：（小時）．故答案為：①；②（答案不唯一）24.【答案】（1）；（2）或．【分析】本題考查了二元一次方程組求函數(shù)交點，一元一次不等式，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．（1）將代入兩個函數(shù)表達式，然后聯(lián)立，解方程組即可得到答案；（2）先聯(lián)立兩個函數(shù)，求得點坐標，然后判斷出點在上，將其代入，求得，然后分在函數(shù)的圖象與函數(shù)上兩種情況進行討論即可．【小問1詳解】解：當時，函數(shù)表達式分別為，.根據(jù)題意，得，解得，.【小問2詳解】解：聯(lián)立，解得，那么，由題意可知，時，在上，那么有：當時，代入，得到.當在上時，代入，.，，；當在上時，代入，．，，；綜上所述，的取值范圍是或．25.【答案】（1）；（2）見解析；（3），證明見解析．【分析】題目主要考查全等三角形的判定和性質(zhì)，特殊四邊形的判定和性質(zhì)，勾股定理解三角形等，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及對頂角相等即可得出結(jié)果；（2）作，交的延長線于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)得出，再由矩形的判定和性質(zhì)及全等三角形的判定和性質(zhì)證明即可；（3）作于點，根據(jù)正方形的性質(zhì)及勾股定理即可求解．【小問1詳解】解：；理由如下：∵，四邊形為正方形．∴，∵，∴；【小問2詳解】證明：如圖，作，交的延長線于點，四邊形為正方形，設(shè)交于點，，四邊形為矩形矩形為正方形；【小問