數(shù)學(xué)

基礎(chǔ)模塊（下冊）第二單元2.1多面體2.2旋轉(zhuǎn)體2.3簡單幾何體的三視圖2.1多面體如圖2-1所示，由若干個平面多邊形圍成的封閉的幾何體叫作多面體，圍成多面體的各個多邊形叫作多面體的面，兩個面之間的公共邊叫作多面體的棱，棱與棱的公共點叫作多面體的頂點，不在同一個平面上的兩個頂點之間的連線叫作多面體的對角線.在實際生活中，棱柱、棱錐是比較常見且比較簡單的多面體（圖2-1）.2.1多面體2.1多面體在日常生活中，有哪些物體是多面體？思考觀察圖2-2中的多面體圖形，可以看出三個多面體圖形具有以下的公共特征：（1）有兩個互相平行的面，且其余各個面都是四邊形.（2）每兩個相鄰四邊形的公共邊互相平行.2.1.1棱柱1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征我們把有兩個面互相平行，其余相鄰兩個面的交線都相互平行的多面體叫作棱柱.其中，互相平行的兩個面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的側(cè)面，兩側(cè)面的公共邊叫作棱柱的側(cè)棱，棱柱兩個底面之間的距離叫作棱柱的高.2.1多面體2.1.1棱柱1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征棱柱按底面是三角形、四邊形、五邊形……可分別叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….圖2-2（a）為三棱柱，圖2-2（b）為四棱柱，圖2-2（c）為五棱柱.棱柱用表示兩底面的對應(yīng)頂點的字母或用一條對角線端點的兩個字母來表示，圖2-2（b）所示的四棱柱可表示為“棱柱ABCD-A1B1C1D1”或“棱柱A1C1”.2.1多面體棱柱又可分為直棱柱和斜棱柱.側(cè)棱與底面垂直的棱柱叫作直棱柱，側(cè)棱與底面不垂直的棱柱叫作斜棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫作正棱柱.正棱柱的性質(zhì)如下：（1）兩個底面互相平行且是全等的正多邊形.（2）側(cè)面都是全等的矩形.（3）側(cè)棱互相平行且垂直于底面，各側(cè)棱都相等，側(cè)棱與高相等.2.1.1棱柱1、棱柱的結(jié)構(gòu)特征2.1多面體直棱柱的所有側(cè)面積之和叫作直棱柱的側(cè)面積，直棱柱的側(cè)面積和兩個底面的面積之和叫作直棱柱的表面積.圖2-3所示為直五棱柱的表面展開圖.2.1.1棱柱2、直棱柱的表面積和體積2.1多面體由圖2-3可以得出，直棱柱的側(cè)面積（S直棱柱側(cè)）和表面積（S直棱柱表）的計算公式分別為（2-1）（2-2）直棱柱的體積（V直棱柱）的計算公式為（2-3）式（2-1）~式（2-3）中的c為直棱柱底面的周長，h為直棱柱的高，S底為直棱柱的底面積.2.1.1棱柱2、直棱柱的表面積和體積2.1多面體例1如圖2-4所示，已知正三棱柱

的棱長AB=3cm，AA1=4cm.計算：（1）正三棱柱的表面積；（2）正三棱柱的體積.解:（1）作AM⊥BC，在正三角形ABC中,即因此則2.1多面體例1如圖2-4所示，已知正三棱柱

的棱長AB=3cm，AA1=4cm.計算：（1）正三棱柱的表面積；（2）正三棱柱的體積.解:（2）2.1多面體當(dāng)投射線和投射面成適當(dāng)?shù)慕嵌然蚋淖儓D形相對于投射面的位置時，一個空間圖形在投射面上的平行投影（平行圖形）可以形象地表示這個空間圖形，則稱這個平行投影（平行圖形）為空間圖形的直觀圖.斜二測法是畫直觀圖的一種有效的方法.下面以正六棱柱為例，介紹斜二測法的具體步驟.2.1.2直觀圖的畫法2.1多面體2.1.2直觀圖的畫法（1）已知正六邊形ABCDEF中的對稱軸為MN，取AD所在直線為x軸，MN所在直線為y軸，如圖2-6所示.（2）畫直觀圖時，把x軸、y軸畫成對應(yīng)的x'軸、y'軸并交于點O'，使∠x'O'y'=45°(或135°).平行于x軸的線段，在直觀圖中畫成平行于x'軸且長度不變；平行于y軸的線段，在直觀圖中畫成平行于y'軸，但長度為原來的一半，如圖2-7所示.2.1多面體2.1.2直觀圖的畫法（3）作z'軸，使∠x'O'z'=∠y'O'z'=90°.在正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'中平行于z'軸的線段，在直觀圖中保持長度不變，作出正六棱柱的棱，并依次連接點A',B',C',D',E',F',如圖2-8所示.（4）擦去坐標(biāo)軸，即得到正六棱柱ABCDEF-A'B'C'D'E'F'的觀圖，如圖2-9所示.2.1多面體例2用斜二測法畫出長為4cm、寬為2cm、高為2cm的長方體的直觀圖.解:（1）畫軸，如圖2-10所示.（2）畫底面，如圖2-11所示.（3）畫棱，如圖2-12所示.（4）擦去坐標(biāo)軸，即得到該長方體的直觀圖，如圖2-13所示.2.1多面體1、棱錐的結(jié)構(gòu)特征觀察圖2-14所示的幾何體.可以看出，這些幾何體都是由平面圖形圍成的，其中有一個面是多邊形，其余各個面都是三角形，且這些三角形有一個公共頂點.一般地，像上述那樣，有一個面是多邊形，其余各個面是有一個公共頂點的三角形所圍成的多面體叫作棱錐.棱錐中有公共頂點的各三角形叫作棱錐的側(cè)面，各個側(cè)面的公共頂點叫作棱錐的頂點，相鄰兩側(cè)面的公共邊叫作棱錐的側(cè)棱，棱錐中的多邊形叫作棱錐的底面，頂點到棱錐底面的距離叫作棱錐的高.2.1.3棱錐2.1多面體1、棱錐的結(jié)構(gòu)特征棱錐也可按照底面多邊形的形狀來分類，按底面是三角形、四邊形、五邊形……可分為三棱錐、四棱錐、五棱錐…….圖2-14（a）為三棱錐，圖2-14（b）為四棱錐，圖2-14（c）為五棱錐.如果一個棱錐的底面是正多邊形，且它的頂點在底面的射影是底面正多邊形的中心，則這個棱錐叫作正棱錐.棱錐也可以用表示頂點和底面各頂點的字母來表示，如圖2-14（a）所示的三棱錐可表示為“三棱錐P-ABC”.2.1.3棱錐2.1多面體2、正棱錐的表面積正棱錐的側(cè)面展開圖是一些全等的等腰三角形，圖2-15為正四棱錐的側(cè)面展開圖.這些等腰三角形底邊上的高都相等，叫作棱錐的斜高.正棱錐的側(cè)面積(S正棱錐側(cè))及表面積(S正棱錐表)的計算公式分別為其中，c為正棱錐底面正多邊形的周長，h′為斜高，S底為正棱錐的底面積.2.1.3棱錐2.1多面體3、正棱錐的體積實驗表明，對于同底等高的棱錐與棱柱，棱錐的體積是棱柱體積的三分之一，即其中，S底為棱錐的底面積，h為棱錐的高.正棱錐的性質(zhì)如下：（1）各條側(cè)棱相等，斜高相等，側(cè)面是全等的等腰三角形.（2）頂點到底面中心的連線垂直于底面，是正棱錐的高.（3）正棱錐的高、斜高和斜高在底面上的投影構(gòu)成一個直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的投影構(gòu)成一個直角三角形.2.1.3棱錐2.1多面體例3已知正三棱錐P-ABC（圖2-16）的側(cè)棱長為2且側(cè)面都是等邊三角形，求三棱錐P-ABC的側(cè)面積及體積.解:過點P作邊BC的垂直平分線PQ，根據(jù)題意可知，BC=PB=PC=2，則

.故三棱錐P-ABC的側(cè)面積為過點P作三棱錐P-ABC的高PM，PM⊥MQ，AQ=PQ=2MQ，則

故三棱錐P-ABC的體積為2.1多面體2.2旋轉(zhuǎn)體一條平面曲線繞著它所在平面內(nèi)的一條定直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面叫作旋轉(zhuǎn)面，由封閉的旋轉(zhuǎn)面圍成的幾何體叫作旋轉(zhuǎn)體，該定直線叫作旋轉(zhuǎn)體的軸.2.2旋轉(zhuǎn)體2.2旋轉(zhuǎn)體在日常生活中，有哪些物體是旋轉(zhuǎn)體？思考以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓柱，旋轉(zhuǎn)軸叫作圓柱的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的圓面叫作圓柱的底面.平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫作圓柱的側(cè)面，無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，這條平行于軸的邊都叫作圓柱的母線.如圖2-19所示，直線OO1是圓柱的軸，線段OO1是圓柱的高，AA1是圓柱的母線.2.2.1圓柱1、圓柱的結(jié)構(gòu)特征2.2旋轉(zhuǎn)體圓柱可以用表示它的軸的字母來表示，圖2-19所示的圓柱可表示為“圓柱OO1”.圓柱的上、下兩個底面是互相平行且半徑相等的圓，圓柱的母線互相平行且與圓柱的高相等.2.2.1圓柱1、圓柱的結(jié)構(gòu)特征2.2旋轉(zhuǎn)體圓柱的側(cè)面積（S圓柱側(cè)）、表面積（S圓柱表）和體積（V圓柱）的計算公式分別為(2-7)(2-8)(2-9)其中，r為圓柱的底面半徑，h為圓柱的高.2.2.1圓柱2.圓柱的表面積和體積2.2旋轉(zhuǎn)體例1已知圓柱的底面半徑為4，高為16，求該圓柱的側(cè)面積及體積.解:根據(jù)題意可知，圓柱的底面半徑r=4，高h(yuǎn)=16，故2.2旋轉(zhuǎn)體以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，由其余兩邊繞軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的面圍成的旋轉(zhuǎn)體叫作圓錐，如圖2-21所示.旋轉(zhuǎn)軸叫作圓錐的軸，垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫作圓錐的底面，不垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫作圓錐的側(cè)面，不垂直于軸的邊叫作圓錐的母線，圓錐的母線與軸的交點叫作圓錐的頂點，頂點到底面的距離叫作圓錐的高.2.2.2圓錐1、圓錐的結(jié)構(gòu)特征2.2旋轉(zhuǎn)體圖2-21圓錐可用表示軸的字母來表示，圖2-21所示的圓錐可表示為“圓錐SO”.圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的距離都相等，都等于圓錐的母線長.2.2.2圓錐1、圓錐的結(jié)構(gòu)特征2.2旋轉(zhuǎn)體圓錐的側(cè)面積（S圓錐側(cè)）、表面積（S圓錐表）和體積（V圓錐）的計算公式分別為(2-10)(2-11)(2-12)其中，r為圓錐的底面半徑，l為圓錐的母線長，h為圓柱的高.2.2.2圓錐2.圓錐的表面積和體積2.2旋轉(zhuǎn)體例2已知圓錐的底面半徑為3，母線長為5，求該圓錐的側(cè)面積及體積.解:根據(jù)題意可知，r=3，l=5，則高h(yuǎn)=52-32=4，故圓錐的側(cè)面積為圓錐的體積為2.2旋轉(zhuǎn)體如圖2-22所示，半圓面以半圓直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周所形成的旋轉(zhuǎn)體叫作球體，簡稱球.半圓的圓心叫作球心，半圓的半徑叫作球的半徑，半圓的直徑叫作球的直徑.球常用表示球心的字母來表示，圖2-22所示的球可表示為“球O”.2.2.3球1、圓柱的結(jié)構(gòu)特征我們平常所見的乒乓球、籃球、排球等都屬于球形的物體.下面我們主要學(xué)習(xí)球的結(jié)構(gòu)特征及相關(guān)計算.球面被經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的大圓，被不經(jīng)過球心的平面截得的圓叫作球的小圓.2.2旋轉(zhuǎn)體球的表面積（S球）和體積（V球）的計算公式分別為(2-13)

(2-14)其中，R為球的半徑.2.2.3球2.球的表面積和體積2.2旋轉(zhuǎn)體例3球的大圓周長為c，求球的表面積和周長.解:設(shè)球的半徑為R，則所以故2.2旋轉(zhuǎn)體2.3簡單幾何體的三視圖物體在陽光等光線的照射下，會在地面或墻壁上產(chǎn)生影子，這種現(xiàn)象稱為投影.要形成投影需要有三個基本構(gòu)成元素，即光源（投射線）、物體與投影面.在立體幾何中，一般都是根據(jù)平行投影的性質(zhì)，用平面圖形來表示空間圖形的.2.32.3簡單幾何體的三視圖簡單幾何體的三視圖用相互平行的投射線在投影面上作出物體投影的方法叫作平行投影法，如圖2-24所示.正投影法是指投射線與投射面垂直的平行投影法.為了更準(zhǔn)確地反映空間圖形的真實形狀、大小，往往需要把圖形向幾個不同的平面分別作正投影，然后把這些投影圖放在同一個平面內(nèi)，并有機地結(jié)合起來.2.3簡單幾何體的三視圖2.3簡單幾何體的三視圖通常，總是選取三個兩兩垂直的平面作為投射面，一個投射面水平放置，即水平投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫作俯視圖；一個投射面放置在正前方，即直立投射面，投射到這個平面內(nèi)的圖形叫作正視圖；和直立、水平兩個投射面都垂直的投射面叫作側(cè)立投射面，通常把這個平面放在直立投射面的右面，投射到這個