小學(xué)數(shù)學(xué)比與比例專項(xiàng)練習(xí)講義同學(xué)們，在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)旅程中，“比與比例”是一塊非常重要的基石。它不僅出現(xiàn)在各種數(shù)學(xué)問題中，更在我們的日常生活中有著廣泛的應(yīng)用，比如調(diào)配飲料、分配任務(wù)、繪制地圖等等。掌握好這部分知識，能幫助我們更清晰地理解數(shù)量之間的關(guān)系，解決許多實(shí)際問題。這份講義將帶領(lǐng)大家系統(tǒng)梳理比與比例的核心知識點(diǎn)，并通過針對性練習(xí)，鞏固所學(xué)，提升解題能力。一、比的意義與基本性質(zhì)（一）比的意義在日常生活中，我們常常需要對兩個(gè)數(shù)量進(jìn)行比較。比如，我們說蘋果和梨的數(shù)量關(guān)系，男生和女生的人數(shù)關(guān)系?！氨取本褪怯脕肀硎緝蓚€(gè)數(shù)相除關(guān)系的一種形式。定義：兩個(gè)數(shù)相除，又叫做這兩個(gè)數(shù)的比。例如，長方形的長是6厘米，寬是4厘米，長和寬的比就是6比4，寬和長的比就是4比6。比的各部分名稱：在一個(gè)比中，比號前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。例如：6:4=6÷4=1.5↑↑↑↑前項(xiàng)比號后項(xiàng)比值注意：比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)或整數(shù)表示。比的后項(xiàng)不能是0。（二）比的基本性質(zhì)比和除法、分?jǐn)?shù)有著密切的聯(lián)系。我們知道，除法中有商不變的性質(zhì)，分?jǐn)?shù)中有分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，那么比呢？比的基本性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘或除以相同的數(shù)（0除外），比值不變。這個(gè)性質(zhì)是我們進(jìn)行化簡比的重要依據(jù)。（三）化簡比化簡比就是把一個(gè)比化成最簡單的整數(shù)比。所謂最簡單的整數(shù)比，就是比的前項(xiàng)和后項(xiàng)都是整數(shù)，并且它們的最大公因數(shù)是1?；啽鹊姆椒ǎ?.整數(shù)比化簡：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)除以它們的最大公因數(shù)。例如：12:18=(12÷6):(18÷6)=2:32.分?jǐn)?shù)比化簡：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘它們分母的最小公倍數(shù)，轉(zhuǎn)化成整數(shù)比，再進(jìn)行化簡?；蛘呃们蟊戎档姆椒?，用前項(xiàng)除以后項(xiàng)，得到的結(jié)果寫成比的形式。例如：(1/3):(2/5)=(1/3×15):(2/5×15)=5:6（方法一）或(1/3):(2/5)=(1/3)÷(2/5)=(1/3)×(5/2)=5/6=5:6（方法二）3.小數(shù)比化簡：先把比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)擴(kuò)大相同的倍數(shù)（一般是10倍、100倍等），轉(zhuǎn)化成整數(shù)比，再進(jìn)行化簡。例如：0.4:0.12=(0.4×100):(0.12×100)=40:12=(40÷4):(12÷4)=10:3注意：化簡比的結(jié)果仍然是一個(gè)比，而不是一個(gè)數(shù)。二、比例的意義與基本性質(zhì)（一）比例的意義我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了比，如果兩個(gè)比的比值相等，那么這兩個(gè)比之間有什么關(guān)系呢？比例的意義：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。例如：2:3和4:6，因?yàn)?:3=2/3，4:6=2/3，它們的比值相等，所以可以組成比例，寫成2:3=4:6。比例的各部分名稱：組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。兩端的兩項(xiàng)叫做比例的外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做比例的內(nèi)項(xiàng)。例如：在比例2:3=4:6中，2和6是外項(xiàng)，3和4是內(nèi)項(xiàng)。（二）比例的基本性質(zhì)通過觀察一些比例，我們會發(fā)現(xiàn)比例的內(nèi)項(xiàng)和外項(xiàng)之間存在著一種特殊的關(guān)系。比例的基本性質(zhì)：在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。例如：在2:3=4:6中，外項(xiàng)之積2×6=12，內(nèi)項(xiàng)之積3×4=12，所以2×6=3×4。利用比例的基本性質(zhì)，我們可以判斷兩個(gè)比是否能組成比例，也可以解比例。（三）解比例根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果我們知道比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。解比例的方法：1.根據(jù)比例的基本性質(zhì)，把比例式轉(zhuǎn)化為外項(xiàng)積等于內(nèi)項(xiàng)積的等式。2.再通過解方程求出未知項(xiàng)的值。例如：解比例3:x=4:8解：4x=3×8（根據(jù)比例的基本性質(zhì)）4x=24x=24÷4x=6三、比與比例的應(yīng)用比與比例的知識在實(shí)際生活中應(yīng)用非常廣泛，下面我們介紹幾種常見的應(yīng)用類型。（一）按比例分配在日常生活中，我們常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。例如：分配任務(wù)、分配獎(jiǎng)品、調(diào)制混合物等。解決按比例分配問題的一般步驟：1.求出總份數(shù)：把各部分量的比相加，得到總份數(shù)。2.求出每份是多少：用總量除以總份數(shù)。3.求出各部分量：用每份的量分別乘各部分量對應(yīng)的份數(shù)?；蛘撸?.求出總份數(shù)。2.求出各部分量占總量的幾分之幾。3.用總量分別乘各部分量占總量的幾分之幾，得到各部分量。例題：學(xué)校把一批圖書按3:4:5的比例分給四、五、六年級，已知四年級分到60本，五、六年級各分到多少本？解法一：總份數(shù)：3+4+5=12（份）每份的本數(shù)：60÷3=20（本）五年級分到：20×4=80（本）六年級分到：20×5=100（本）解法二：四年級分到的3份對應(yīng)60本，所以1份是60÷3=20本。（后續(xù)同解法一）或者，四年級占總數(shù)的3/12=1/4，所以圖書總數(shù)為60÷(1/4)=240本。五年級分到：240×(4/12)=80本六年級分到：240×(5/12)=100本答：五年級分到80本，六年級分到100本。（二）比例尺在繪制地圖、設(shè)計(jì)圖紙時(shí)，我們常常需要把實(shí)際距離按照一定的比縮小或放大，畫在圖紙上。這個(gè)比就是比例尺。比例尺的意義：圖上距離和實(shí)際距離的比，叫做這幅圖的比例尺。比例尺=圖上距離:實(shí)際距離或比例尺=圖上距離/實(shí)際距離比例尺的分類：1.數(shù)值比例尺：用數(shù)字形式表示的比例尺。例如：1:1000或1/1000，表示圖上1厘米代表實(shí)際距離1000厘米（即10米）。2.線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)量的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實(shí)際距離。例如：地圖上常見的0__50__100千米，就表示圖上1厘米代表實(shí)際距離50千米。注意：*比例尺是一個(gè)比，它沒有單位。*計(jì)算時(shí)，圖上距離和實(shí)際距離的單位要統(tǒng)一。例題：在一幅比例尺是1:2000的地圖上，量得一個(gè)長方形操場的長是6厘米，寬是4厘米。這個(gè)操場的實(shí)際面積是多少平方米？解：實(shí)際長：6×2000=____（厘米）=120（米）實(shí)際寬：4×2000=8000（厘米）=80（米）實(shí)際面積：120×80=9600（平方米）答：這個(gè)操場的實(shí)際面積是9600平方米。（三）正反比例的初步認(rèn)識（簡單應(yīng)用）在我們學(xué)習(xí)的數(shù)量關(guān)系中，有些量的變化是有規(guī)律的。*正比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，它們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。例如：當(dāng)速度一定時(shí)，路程和時(shí)間成正比例。*反比例：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的乘積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，它們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。例如：當(dāng)路程一定時(shí)，速度和時(shí)間成反比例。（注：正反比例的深入學(xué)習(xí)和應(yīng)用將在后續(xù)課程中展開，此處僅作初步介紹和簡單應(yīng)用提示。）四、專項(xiàng)練習(xí)（一）填空題1.兩個(gè)數(shù)（）又叫做兩個(gè)數(shù)的比。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商叫做（）。2.比的基本性質(zhì)是：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)（）或（）相同的數(shù)（0除外），比值不變。3.3:5的前項(xiàng)是（），后項(xiàng)是（），比值是（）。4.根據(jù)4×6=3×8，寫出一個(gè)比例式是（）。5.把10:15化簡成最簡整數(shù)比是（），比值是（）。6.一幅地圖的比例尺是1:____，表示圖上1厘米代表實(shí)際距離（）千米。（二）判斷題（對的打“√”，錯(cuò)的打“×”）1.比的后項(xiàng)不能為0。（）2.比值是0.5的比只有一個(gè)。（）3.3米:6米的比值是0.5米。（）4.如果a:b=3:4，那么a=3，b=4。（）5.在比例里，兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)的積減去兩個(gè)外項(xiàng)的積，差是0。（）（三）選擇題1.把20克鹽放入100克水中，鹽與鹽水的比是（）。A.1:5B.1:6C.5:12.下面各組比中，能組成比例的是（）。A.2:3和4:5B.1.4:2和7:10C.1/3:1/4和3:43.一個(gè)比的比值是3/4，前項(xiàng)是6，后項(xiàng)是（）。A.8B.9/2C.44.比例尺10:1表示（）。A.圖上距離是實(shí)際距離的1/10B.實(shí)際距離是圖上距離的1/10C.無法確定（四）化簡比并求比值1.18:242.3/4:5/83.0.6:0.12（五）解比例1.x:4=3:122.2/5:x=4:103.1.5/3=x/6（六）解決問題1.一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)比是2:3:4，這個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角分別是多少度？它是什么三角形？2.學(xué)校把種植200棵樹的任務(wù)按2:3分配給五、六年級，五、六年級各應(yīng)植樹多少棵？3.在比例尺是1:200的校舍平面圖上，量得一間教室的長是4厘米，寬是3厘米。這間教室的實(shí)際面積是多少平方米？4.一種藥水是用藥粉和水按1:80配制成的。現(xiàn)有40千克藥粉，可配制成多少千克藥水？五、溫馨提示與總結(jié)1.區(qū)分“化簡比”和“求比值”：化簡比的結(jié)果是一個(gè)最簡整數(shù)比，形式上還是一個(gè)比；求比值的結(jié)果是一個(gè)數(shù)，可以是整數(shù)、小數(shù)或分?jǐn)?shù)。2.比例的核心是“相等”：組成比例的兩個(gè)比，它們的比值必須相等。比例的基本性質(zhì)（內(nèi)項(xiàng)積等于外項(xiàng)積）是解決比例問題的關(guān)鍵。3.按比例分配的關(guān)鍵是“先求總份數(shù)，再求各部分占總量的幾分之幾或每份是多少”。4.運(yùn)用比例尺解決問題時(shí)，務(wù)必注意單位的統(tǒng)一。先看清楚比例尺的含義，再進(jìn)行圖上距離和實(shí)際距離的換算。5.多聯(lián)系生活實(shí)