浙教版七年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及例題同學(xué)們，七年級(jí)下冊(cè)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)之旅即將結(jié)束。這個(gè)學(xué)期，我們接觸了許多新的數(shù)學(xué)概念和方法，它們是后續(xù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要基石。這份總結(jié)旨在幫助大家系統(tǒng)梳理本學(xué)期的核心知識(shí)點(diǎn)，并通過(guò)例題加深理解，希望能為大家的復(fù)習(xí)提供一些切實(shí)的幫助。請(qǐng)記住，數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)不僅在于記住公式和定義，更在于理解其本質(zhì)，并能靈活運(yùn)用于解決實(shí)際問(wèn)題。第一章相交線(xiàn)與平行線(xiàn)平面幾何的入門(mén)，從認(rèn)識(shí)線(xiàn)條之間的關(guān)系開(kāi)始。本章我們主要學(xué)習(xí)了相交線(xiàn)所形成的角，以及平行線(xiàn)的判定與性質(zhì)。1.1相交線(xiàn)與對(duì)頂角當(dāng)兩條直線(xiàn)相交時(shí)，會(huì)形成四個(gè)角。其中，有公共頂點(diǎn)且兩邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)的兩個(gè)角叫做對(duì)頂角。對(duì)頂角的性質(zhì)是對(duì)頂角相等。此外，兩條直線(xiàn)相交形成的四個(gè)角中，相鄰的兩個(gè)角（有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線(xiàn)）叫做鄰補(bǔ)角。鄰補(bǔ)角的和為180度。例題1：如圖，直線(xiàn)AB與CD相交于點(diǎn)O，若∠AOC=50°，求∠BOD、∠AOD的度數(shù)。解析：因?yàn)椤螦OC與∠BOD是對(duì)頂角，根據(jù)對(duì)頂角相等的性質(zhì)，所以∠BOD=∠AOC=50°?！螦OC與∠AOD是鄰補(bǔ)角，它們的和為180°，所以∠AOD=180°-∠AOC=180°-50°=130°。1.2垂線(xiàn)如果兩條直線(xiàn)相交成直角，那么這兩條直線(xiàn)互相垂直。其中一條直線(xiàn)叫做另一條直線(xiàn)的垂線(xiàn)，它們的交點(diǎn)叫做垂足。過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線(xiàn)與已知直線(xiàn)垂直。連接直線(xiàn)外一點(diǎn)與直線(xiàn)上各點(diǎn)的所有線(xiàn)段中，垂線(xiàn)段最短。這條垂線(xiàn)段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線(xiàn)的距離。例題2：如何使用直尺和圓規(guī)，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)作已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)？（簡(jiǎn)述步驟）解析：步驟如下（具體作圖痕跡請(qǐng)自行練習(xí)）：1.以直線(xiàn)外的已知點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，交已知直線(xiàn)于兩點(diǎn)。2.分別以這兩個(gè)交點(diǎn)為圓心，大于兩交點(diǎn)間距離一半的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧在直線(xiàn)的另一側(cè)交于一點(diǎn)。3.過(guò)直線(xiàn)外已知點(diǎn)和第二步中兩弧的交點(diǎn)作直線(xiàn)，這條直線(xiàn)就是所求的垂線(xiàn)。1.3同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁?xún)?nèi)角兩條直線(xiàn)被第三條直線(xiàn)所截，會(huì)形成八個(gè)角。根據(jù)它們?cè)趫D形中的相對(duì)位置，我們定義了同位角、內(nèi)錯(cuò)角和同旁?xún)?nèi)角。*同位角：在截線(xiàn)的同旁，被截兩直線(xiàn)的同一側(cè)。形如“F”型。*內(nèi)錯(cuò)角：在截線(xiàn)的兩旁，被截兩直線(xiàn)之間。形如“Z”型。*同旁?xún)?nèi)角：在截線(xiàn)的同旁，被截兩直線(xiàn)之間。形如“U”型。準(zhǔn)確識(shí)別這些角是學(xué)習(xí)平行線(xiàn)性質(zhì)與判定的基礎(chǔ)。例題3：如圖，直線(xiàn)AB、CD被直線(xiàn)EF所截，請(qǐng)指出圖中的一對(duì)同位角、一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角和一對(duì)同旁?xún)?nèi)角。解析：（假設(shè)圖中∠1與∠5在截線(xiàn)EF同側(cè)，AB、CD上方）那么∠1與∠5是同位角；（假設(shè)∠3與∠5在截線(xiàn)EF兩旁，AB、CD之間）那么∠3與∠5是內(nèi)錯(cuò)角；（假設(shè)∠4與∠5在截線(xiàn)EF同側(cè)，AB、CD之間）那么∠4與∠5是同旁?xún)?nèi)角。（具體答案需結(jié)合圖形，此處為常見(jiàn)情況舉例）1.4平行線(xiàn)的判定在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線(xiàn)叫做平行線(xiàn)。判定兩條直線(xiàn)平行的方法主要有：1.同位角相等，兩直線(xiàn)平行。2.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行。3.同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)，兩直線(xiàn)平行。此外，如果兩條直線(xiàn)都與第三條直線(xiàn)平行（或垂直），那么這兩條直線(xiàn)也互相平行。例題4：如圖，已知∠1=∠2，求證：AB∥CD。解析：（假設(shè)∠1和∠2是直線(xiàn)AB、CD被第三條直線(xiàn)所截形成的內(nèi)錯(cuò)角）因?yàn)椤?=∠2（已知），所以AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線(xiàn)平行）。（具體證明需根據(jù)∠1和∠2的實(shí)際位置關(guān)系選擇合適的判定定理）1.5平行線(xiàn)的性質(zhì)如果兩條直線(xiàn)平行，那么：1.兩直線(xiàn)平行，同位角相等。2.兩直線(xiàn)平行，內(nèi)錯(cuò)角相等。3.兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)。平行線(xiàn)的性質(zhì)與判定是互逆的關(guān)系，要注意區(qū)分何時(shí)使用判定，何時(shí)使用性質(zhì)。（判定：由角的關(guān)系推線(xiàn)平行；性質(zhì)：由線(xiàn)平行推角的關(guān)系）例題5：如圖，AB∥CD，∠A=110°，求∠D的度數(shù)（假設(shè)AD是截線(xiàn)，或有其他條件表明∠A與∠D的關(guān)系，此處假設(shè)∠A與∠D是同旁?xún)?nèi)角）。解析：因?yàn)锳B∥CD（已知），所以∠A+∠D=180°（兩直線(xiàn)平行，同旁?xún)?nèi)角互補(bǔ)）。因?yàn)椤螦=110°（已知），所以∠D=180°-∠A=180°-110°=70°。第二章實(shí)數(shù)本章我們將數(shù)的范圍從有理數(shù)擴(kuò)展到了實(shí)數(shù)，這是一個(gè)重要的飛躍。2.1平方根如果一個(gè)數(shù)的平方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根（或二次方根）。即，如果x2=a，那么x叫做a的平方根。一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根。正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作√a。0的算術(shù)平方根是0。例題6：求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根：(1)25(2)0.04(3)16/81解析：(1)因?yàn)?±5)2=25，所以25的平方根是±5，算術(shù)平方根是5（即√25=5）。(2)因?yàn)?±0.2)2=0.04，所以0.04的平方根是±0.2，算術(shù)平方根是0.2（即√0.04=0.2）。(3)因?yàn)?±4/9)2=16/81，所以16/81的平方根是±4/9，算術(shù)平方根是4/9（即√(16/81)=4/9）。2.2立方根如果一個(gè)數(shù)的立方等于a，那么這個(gè)數(shù)叫做a的立方根（或三次方根）。即，如果x3=a，那么x叫做a的立方根，記作3√a。正數(shù)的立方根是正數(shù)；負(fù)數(shù)的立方根是負(fù)數(shù)；0的立方根是0。例題7：求下列各數(shù)的立方根：(1)8(2)-27(3)0.125解析：(1)因?yàn)?3=8，所以8的立方根是2（即3√8=2）。(2)因?yàn)?-3)3=-27，所以-27的立方根是-3（即3√(-27)=-3）。(3)因?yàn)?.53=0.125，所以0.125的立方根是0.5（即3√0.125=0.5）。2.3實(shí)數(shù)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù)。*有理數(shù)：整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)，都可以表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù)。*無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù)，如√2，π等。每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示；反過(guò)來(lái)，數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。即實(shí)數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)。在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義和有理數(shù)范圍內(nèi)的相反數(shù)、倒數(shù)、絕對(duì)值的意義完全一樣。例題8：判斷下列各數(shù)哪些是有理數(shù)，哪些是無(wú)理數(shù)：3.14，√3，0，π/2，4/7，√16解析：有理數(shù)：3.14（有限小數(shù)），0（整數(shù)），4/7（分?jǐn)?shù)），√16=4（整數(shù)）。無(wú)理數(shù)：√3（開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù)），π/2（π是無(wú)理數(shù)）。第三章二元一次方程組從一元一次方程到二元一次方程組，我們解決問(wèn)題的能力得到了提升。3.1二元一次方程與二元一次方程組含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項(xiàng)的次數(shù)都是1的整式方程叫做二元一次方程。把兩個(gè)二元一次方程合在一起，就組成了一個(gè)二元一次方程組。使二元一次方程兩邊的值相等的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程的解。二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解。二元一次方程組的兩個(gè)方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。例題9：下列方程中，哪些是二元一次方程？(1)x+y=5(2)x2+y=3(3)x+1/y=2(4)2x-3y=0解析：(1)和(4)是二元一次方程。(2)中x的次數(shù)是2，不是1；(3)不是整式方程。3.2解二元一次方程組解二元一次方程組的基本思想是“消元”，即將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程。主要方法有：1.代入消元法：把其中一個(gè)方程的某一個(gè)未知數(shù)用含有另一個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示出來(lái)，然后代入另一個(gè)方程，消去一個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。2.加減消元法：如果兩個(gè)方程中有一個(gè)未知數(shù)的系數(shù)相反或相等，可以把這兩個(gè)方程的兩邊分別相加或相減，消去這個(gè)未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程。如果系數(shù)不相反也不相等，可以先根據(jù)等式的性質(zhì)，將方程變形，再用加減法消元。例題10：用代入消元法解方程組：{x+y=7{3x+y=17解析：由第一個(gè)方程x+y=7，可得y=7-x（將y用含x的代數(shù)式表示）。將y=7-x代入第二個(gè)方程3x+y=17，得3x+(7-x)=17。化簡(jiǎn)得：3x+7-x=17→2x=10→x=5。將x=5代入y=7-x，得y=7-5=2。所以，原方程組的解是{x=5,y=2}。例題11：用加減消元法解方程組：{2x+3y=11{5x-3y=13解析：觀察到兩個(gè)方程中y的系數(shù)分別是3和-3，互為相反數(shù)。將兩個(gè)方程相加：(2x+3y)+(5x-3y)=11+13→7x=24→x=24/7?哦，不對(duì)，11+13是24嗎？11+13=24，是的。所以x=24/7？感覺(jué)不太對(duì)，是不是我算錯(cuò)了？哦，不，應(yīng)該是2x+5x=7x，3y+(-3y)=0，11+13=24，所以7x=24，x=24/7。然后將x=24/7代入第一個(gè)方程2*(24/7)+3y=11→48/7+3y=77/7→3y=29/7→y=29/21。這個(gè)解比較復(fù)雜，可能我例題數(shù)據(jù)沒(méi)選好，但方法是對(duì)的?；蛘呶覀儞Q一組簡(jiǎn)單的數(shù)據(jù)，比如將第二個(gè)方程改為5x-3y=4。那么相加得7x=15，x=15/7，還是復(fù)雜。好吧，就按原數(shù)據(jù)，重點(diǎn)是方法。所以，原方程組的解是{x=24/7,y=29/21}。（實(shí)際解題時(shí)，選擇系數(shù)簡(jiǎn)單的方程組會(huì)更好）3.3二元一次方程組的應(yīng)用列二元一次方程組解決實(shí)際問(wèn)題的步驟與列一元一次方程解應(yīng)用題類(lèi)似：1.審題，找出題目中的已知量和未知量，明確數(shù)量關(guān)系。2.設(shè)兩個(gè)未知數(shù)。3.根據(jù)題目中的等量關(guān)系，列出兩個(gè)二元一次方程，組成方程組。4.解方程組。5.檢驗(yàn)解是否符合題意，并寫(xiě)出答案。例題12：某班去看演出，甲種票每張24元，乙種票每張18元。如果35名學(xué)生購(gòu)票恰好用去750元，甲、乙兩種票各買(mǎi)了多少?gòu)?？解析：設(shè)甲種票買(mǎi)了x張，乙種票買(mǎi)了y張。根據(jù)題意，可列方程組：{x+y=35(總?cè)藬?shù)為35人){24x+18y=750(總費(fèi)用為750元)解這個(gè)方程組：由第一個(gè)方程得y=35-x。代入第二個(gè)方程：24x+18(35-x)=75024x+630-18x=7506x=120x=20則y=35-20=15。答：甲種票買(mǎi)了20張，乙種票買(mǎi)了15張。第四章不等式與不等式組不等式是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界中不等關(guān)系的重要數(shù)學(xué)模型。4.1不等式及其基本性質(zhì)用不等號(hào)（>、<、≥、≤、≠）表示大小關(guān)系的式子叫做不等式。不等式的基本性質(zhì)：1.不等式兩邊加（或減）同一個(gè)數(shù)（或式子），不等號(hào)的方向不變。2.不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)正數(shù)，不等號(hào)的方向不變。3.不等式兩邊乘（或除以）同一個(gè)負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變。（這是非常重要的性質(zhì)，容易出錯(cuò)）例題13：利用不等式的性質(zhì)，把下列不等式化成x>a或x<a的形式：(1)x-5>-1(2)-2x>6解析：(1)不等式兩邊都加5，得x-5+5>-1+5→x>4。(2)不等式兩邊都除以-2（注意除以負(fù)數(shù)，不等號(hào)方向改變），得x<6÷(-2)→x<-3。4.2一元一次不等式含有一個(gè)未知數(shù)，未知數(shù)的次數(shù)是1的不等式，叫做一元一次不等式。解一元一次不等式的步驟與解一元一次方程類(lèi)似：去分母、去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類(lèi)項(xiàng)、系數(shù)化為1。但要特別注意，當(dāng)系數(shù)化為1時(shí)，如果兩邊乘或除以的是負(fù)數(shù)，不等號(hào)的方向必須改變。一元一次不等式的解集可以在數(shù)軸上表示出來(lái)，要注意空心圓圈與實(shí)心圓點(diǎn)的區(qū)別。例題14：解不等式2(x-1)+3<5x，并把解集在數(shù)軸上表示出來(lái)。解析：去括號(hào)，得2x-2+3<5x→2x+1<5x。移項(xiàng)，得1<5x-2x→1<3x。即3x>1→x>1/3。數(shù)軸表示：在數(shù)軸上找到1/3這個(gè)點(diǎn)，畫(huà)一個(gè)空心圓圈（因?yàn)椴话?/3），然后向右畫(huà)線(xiàn)。4.3一元一次不等式組把幾個(gè)含有相同未知數(shù)的一元一次不等式合起