中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)章節(jié)總結(jié)與練習(xí)函數(shù)，作為中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容之一，貫穿了從初中到高中的多個學(xué)習(xí)階段，其思想方法更是滲透到后續(xù)更高級的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中。理解函數(shù)的概念，掌握常見函數(shù)的性質(zhì)與圖像，學(xué)會運用函數(shù)思想解決實際問題，是每位中學(xué)生必備的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。本文旨在對中學(xué)階段函數(shù)知識進行系統(tǒng)性梳理與回顧，并輔以針對性練習(xí)，幫助同學(xué)們鞏固基礎(chǔ)，提升應(yīng)用能力。一、函數(shù)的核心概念與梳理1.1函數(shù)的定義：變量間的依賴關(guān)系在一個變化過程中，如果有兩個變量，例如x和y，對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與之對應(yīng)，那么我們就說y是x的函數(shù)，其中x稱為自變量，y稱為因變量。這個定義的核心在于“兩個變量”和“唯一對應(yīng)”。我們通常用符號y=f(x)來表示函數(shù)關(guān)系，其中f代表了從自變量x到因變量y的對應(yīng)法則。1.2函數(shù)的三要素：定義域、對應(yīng)關(guān)系與值域理解一個函數(shù)，必須明確其三要素：*定義域：自變量x的取值范圍。在實際問題中，定義域的確定需要考慮自變量的實際意義；在純數(shù)學(xué)問題中，則需考慮使函數(shù)表達式有意義的條件（如分母不為零，偶次根式被開方數(shù)非負等）。*對應(yīng)關(guān)系：即函數(shù)表達式所描述的x與y之間的映射規(guī)則，這是函數(shù)的靈魂。*值域：在自變量x的取值范圍內(nèi)，通過對應(yīng)關(guān)系得到的所有y值的集合。值域由定義域和對應(yīng)關(guān)系共同決定。判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)，必須同時滿足定義域相同、對應(yīng)關(guān)系也相同（盡管表達式形式可能不同，但化簡后一致），此時值域必然相同。1.3函數(shù)的表示方法函數(shù)的表示方法主要有三種：*解析法：用數(shù)學(xué)表達式（解析式）來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，如y=2x+1。這是最精確、最便于進行理論分析的方法。*列表法：通過列出表格來表示兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，如平方根表、三角函數(shù)表等。這種方法直觀明了，適用于自變量取值不多或有特定對應(yīng)值的情況。*圖像法：用平面直角坐標(biāo)系中的圖形來表示函數(shù)關(guān)系，即函數(shù)圖像。圖像法能直觀地反映函數(shù)的變化趨勢和某些性質(zhì)。在解決實際問題時，常常需要將這幾種方法結(jié)合起來使用，例如根據(jù)圖像分析函數(shù)性質(zhì)，或根據(jù)表格數(shù)據(jù)擬合函數(shù)解析式。二、中學(xué)階段常見的函數(shù)類型及其特性中學(xué)階段我們學(xué)習(xí)的函數(shù)類型主要包括：2.1一次函數(shù)與正比例函數(shù)形如y=kx+b（k、b是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做一次函數(shù)。其圖像是一條直線。*當(dāng)b=0時，即y=kx（k是常數(shù)，k≠0），叫做正比例函數(shù)，是一次函數(shù)的特殊形式，其圖像是經(jīng)過原點的一條直線。*性質(zhì)：一次函數(shù)的性質(zhì)主要由斜率k決定。當(dāng)k>0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大；當(dāng)k<0時，函數(shù)值y隨自變量x的增大而減小。b的值決定了直線與y軸的交點坐標(biāo)（0,b）。2.2反比例函數(shù)形如y=k/x（k是常數(shù)，且k≠0）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)。其圖像是雙曲線。*性質(zhì)：當(dāng)k>0時，雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減小；當(dāng)k<0時，雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大。反比例函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸沒有交點，但無限接近坐標(biāo)軸。2.3二次函數(shù)形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，且a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。其圖像是一條拋物線。*圖像與性質(zhì)：*開口方向：由a的符號決定。a>0時，拋物線開口向上；a<0時，拋物線開口向下。*頂點與對稱軸：拋物線的頂點坐標(biāo)為(-b/(2a),(4ac-b2)/(4a))，對稱軸是直線x=-b/(2a)。頂點是拋物線的最高點（當(dāng)a<0時）或最低點（當(dāng)a>0時）。*單調(diào)性：當(dāng)a>0時，在對稱軸左側(cè)（x<-b/(2a)），y隨x的增大而減??；在對稱軸右側(cè)（x>-b/(2a)），y隨x的增大而增大。當(dāng)a<0時，情況相反。*最值：當(dāng)a>0時，函數(shù)有最小值，y最小值=(4ac-b2)/(4a)；當(dāng)a<0時，函數(shù)有最大值，y最大值=(4ac-b2)/(4a)。*與坐標(biāo)軸的交點：與y軸交于點(0,c)；與x軸的交點由方程ax2+bx+c=0的根決定，判別式Δ=b2-4ac決定了交點的個數(shù)。二次函數(shù)是中學(xué)階段研究最為深入的函數(shù)之一，其表達式還有頂點式（y=a(x-h)2+k）和交點式（y=a(x-x?)(x-x?)），在不同情境下各有其便利性。三、函數(shù)學(xué)習(xí)中的常用思想與方法3.1數(shù)形結(jié)合思想函數(shù)的圖像是函數(shù)關(guān)系的直觀體現(xiàn)。通過繪制函數(shù)圖像，可以幫助我們理解函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等性質(zhì)；反之，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)也能準(zhǔn)確地描繪出函數(shù)的圖像。在解決函數(shù)問題時，“由數(shù)想形，由形助數(shù)”是一種非常重要的思維方式。例如，求方程的解可以轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)圖像的交點橫坐標(biāo)。3.2分類討論思想由于函數(shù)中參數(shù)的取值不同可能導(dǎo)致函數(shù)的類型、圖像、性質(zhì)發(fā)生變化，因此在研究含參數(shù)的函數(shù)問題時，常常需要進行分類討論。例如，討論一次函數(shù)y=kx+b中k的正負對函數(shù)單調(diào)性的影響，討論二次函數(shù)中判別式Δ的符號對其與x軸交點個數(shù)的影響等。分類討論時要注意分類標(biāo)準(zhǔn)的統(tǒng)一性和不重不漏。3.3轉(zhuǎn)化與化歸思想將復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題，將未知問題轉(zhuǎn)化為已知問題，是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要策略。在函數(shù)學(xué)習(xí)中，例如求函數(shù)的值域，可以通過換元法轉(zhuǎn)化為求基本初等函數(shù)的值域；解不等式可以轉(zhuǎn)化為利用函數(shù)的單調(diào)性比較大小等。四、鞏固練習(xí)與能力提升練習(xí)題1.選擇題：函數(shù)y=√(x-1)+1/(x-3)的定義域是（）A.x≥1B.x>1且x≠3C.x≥1且x≠3D.x>12.填空題：已知一次函數(shù)y=kx+b的圖像經(jīng)過點(1,3)和(-1,-1)，則其解析式為__________。3.解答題：已知二次函數(shù)y=x2-4x+3。(1)求出該函數(shù)圖像的頂點坐標(biāo)和對稱軸；(2)求出該函數(shù)圖像與x軸、y軸的交點坐標(biāo)；(3)當(dāng)x取何值時，y隨x的增大而減??？當(dāng)x取何值時，y>0？4.應(yīng)用題：某商店銷售一種成本為每件20元的商品，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，該商品每天的銷售量y（件）與銷售單價x（元）滿足一次函數(shù)關(guān)系：y=-10x+500（x≥20）。設(shè)每天的銷售利潤為w元。(1)求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)銷售單價定為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？參考答案與解析1.C解析：要使函數(shù)有意義，需滿足：√(x-1)有意義，則x-1≥0?x≥1；1/(x-3)有意義，則x-3≠0?x≠3。故定義域為x≥1且x≠3，選C。2.y=2x+1解析：將點(1,3)和(-1,-1)代入y=kx+b，得：{3=k*1+b{-1=k*(-1)+b解方程組得：k=2，b=1。所以解析式為y=2x+1。3.解答：(1)y=x2-4x+3=(x-2)2-1。所以頂點坐標(biāo)為(2,-1)，對稱軸為直線x=2。(2)令y=0，即x2-4x+3=0，解得x?=1，x?=3。所以與x軸交點為(1,0)和(3,0)。令x=0，得y=3。所以與y軸交點為(0,3)。(3)因為a=1>0，拋物線開口向上，對稱軸為x=2。所以當(dāng)x<2時，y隨x的增大而減小。由(2)知，拋物線與x軸交于(1,0)和(3,0)，且開口向上，所以當(dāng)x<1或x>3時，y>0。4.解答：(1)每件商品的利潤為(x-20)元，銷售量為y=-10x+500件。所以w=(x-20)y=(x-20)(-10x+500)=-10x2+700x-____。(2)w=-10x2+700x-____，其中a=-10<0，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值。對稱軸為x=-b/(2a)=-700/(2*(-10))=35。因為x≥20，且35在定義域內(nèi)，所以當(dāng)x=35時，w有最大值。w最大值=-10*(35)2+700*(35)-____=-____+____-____=2250。答：銷售單價定為35元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是2250元。總結(jié)函數(shù)的世界豐富多彩，其概念