2025學(xué)年第一學(xué)期杭高期末考試高三（數(shù)學(xué)）試題卷1.本試卷分試題卷和答題卷兩部分。本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。2.答題前務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙規(guī)定的地方。3.答題時(shí)，請(qǐng)按照答題紙上“注意事項(xiàng)”的要求，在答題紙相應(yīng)的位置上規(guī)范答題，在本試題卷上答題一律無(wú)效。4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．1．【答案】A【解析】，因此，.2．已知復(fù)數(shù)，，則復(fù)數(shù)的模等于（）A． B． C． D．2．【答案】B【解析】3．已知向量滿足，，，則（）A． B． C． D．3．【答案】C【解析】，則．又，因此．4．函數(shù)的圖象是（）A．B．C．D．4．【答案】B【解析】圖象過(guò)點(diǎn),時(shí)，5．記為數(shù)列的前項(xiàng)積，已知，則=（）A． B． C． D．5．【答案】D【解析】則，代入，化簡(jiǎn)得：，則，故選D.6．甲、乙、丙人去食堂用餐，每個(gè)人從這種菜中任意選用種，則菜有人選用、菜有人選用的情形共有（）A． B． C． D．6．【答案】C【解析】菜有人選用有種，比如甲、乙選用了菜，=1\*GB3①甲、乙之中有人選用了菜，有種，比如甲用了菜，則乙從中任意選用種，有種，丙從中任意選用種，有種，故共有=2\*GB3②丙選用了菜，丙再?gòu)闹腥我膺x用種，有種，甲、乙再?gòu)闹懈魅我膺x用種，有種，故共有由=1\*GB3①=2\*GB3②可知所有情形是7．過(guò)作直線交圓于另一點(diǎn)，連結(jié)和的直線交橢圓于另一點(diǎn)，設(shè)直線、的斜率分別為、，則()A．B．C．D．7．A提示：設(shè)的斜率為，則，，故8．若函數(shù)滿足，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，，則()A． B． C． D．8．【答案】A【解析】由，知函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)。為向上攀爬的類(lèi)周期函數(shù)，，，所以二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列關(guān)于統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，說(shuō)法正確的是（）A.若數(shù)據(jù)的方差為0，則所有的都相等B.已知樣本數(shù)據(jù)，去掉一個(gè)最小數(shù)和一個(gè)最大數(shù)后，剩余數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于原樣本的中位數(shù)C.數(shù)據(jù)的第70百分位數(shù)是8.5D.若一組樣本數(shù)據(jù)的對(duì)應(yīng)樣本點(diǎn)都在直線上，則這組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為【答案】AD【詳解】A項(xiàng)：由方差知識(shí)得，A項(xiàng)正確；B項(xiàng)：去掉其中的一個(gè)最小數(shù)和一個(gè)最大數(shù)后，中位數(shù)不變，B項(xiàng)錯(cuò)誤；C項(xiàng)：，則70百分位數(shù)為第6個(gè)數(shù)9，C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)：樣本點(diǎn)都在直線，則完全負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)為，D項(xiàng)正確.故選：AD10．已知函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則（）A．在上單調(diào)遞減B．在上有兩個(gè)極值點(diǎn)C．直線是的對(duì)稱(chēng)軸D．直線是的切線【答案】BCD【解析】，不單調(diào)，故A錯(cuò)；有兩個(gè)極值點(diǎn)，故B正確；直線是的對(duì)稱(chēng)軸，故C正確；所以時(shí)的切線方程為,即,故D正確綜上,選BCD;11．在平面上,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線為,點(diǎn)在曲線上且位于第一象限,設(shè)的角平分線交于點(diǎn),交于點(diǎn).已知,點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為,則以下說(shuō)法正確的有（

）A．B．C．三點(diǎn)共線D．三點(diǎn)共線【答案】ACD.【解析】由題意知,.過(guò)點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn),可知,因此與重合,故,A正確；設(shè)點(diǎn),則,又,故,于是,于是,B錯(cuò)誤；可知,因此,三點(diǎn)共線,C正確；可得,因此三點(diǎn)共線,D正確.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)為．12．【答案】【解析】展開(kāi)式通項(xiàng)不含項(xiàng)，令，得，展開(kāi)式中項(xiàng)為，系數(shù)為13．在三棱錐中，對(duì)棱，，，則該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為．13．【答案】【解析】因?yàn)槊拷M對(duì)棱棱長(zhǎng)相等，所以可以把三棱錐放入長(zhǎng)方體中，設(shè)長(zhǎng)寬高分別為，則，，則，，，外接球半徑，在三棱錐的體積三棱錐的每個(gè)面的三邊分別為，每個(gè)面的面積為，所以所以該三棱錐的外接球體積為，內(nèi)切球表面積為．14．在四邊形中，已知，，，若兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則．14．【答案】3【解析】由得，當(dāng)點(diǎn)在軸上方時(shí)，，故有當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，，故有兩者都有，所以則，化簡(jiǎn)得的頂點(diǎn)的軌跡方程為由，設(shè)，，得點(diǎn)的軌跡方程為，把圓沿軸翻折，與聯(lián)立，得，所以法2：把圓沿軸翻折交軸于另一點(diǎn)，恰為圓心，為圓心角，，所以，所以為等腰三角形，點(diǎn)橫坐標(biāo)為，所以四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．(本小題滿分13分)在中，角的對(duì)邊分別為，已知（1）求證：；（2）若是銳角三角形，求的取值范圍．15．（1）由余弦定理，代人得，則由正弦定理得所以，得由知，故，所以或（舍去）所以…………6分（2），由得…………13分法2：由得，所以…………13分16.(本小題滿分15分)如圖，三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，，，為的中點(diǎn).（1）求證：⊥平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，所以，又因?yàn)?，平面，所以⊥平面；………?分（2）以為原點(diǎn)，直線為軸，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)與垂直的直線為軸，直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，所以.設(shè)平面的法向量為，則，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，.…………10分設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.…………15分17．(本小題滿分15分)進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為，則失敗的概率為，將試驗(yàn)進(jìn)行到恰好出現(xiàn)次成功時(shí)結(jié)束試驗(yàn)，以表示試驗(yàn)次數(shù)，則稱(chēng)服從以為參數(shù)的帕斯卡分布或負(fù)二項(xiàng)分布，記為．（1）若，求；（2）若，，．①求；②要使得在次內(nèi)結(jié)束試驗(yàn)的概率不小于，求的最小值．【詳解】（1）因?yàn)?，所?.………4分（2）①因?yàn)?，，，所以，，所以設(shè)，則兩式相減，得所以所以.…………9分②由①可知，所以，令，則，所以單調(diào)遞減，又，，所以當(dāng)時(shí)，則的最小值為..…………15分18.(本小題滿分17分)設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，到其中一條漸近線的距離為．（1）求雙曲線的方程；（2）過(guò)的直線交曲線于兩點(diǎn)（其中在第一象限），交直線于點(diǎn)，（=1\*romani）求的值；（=2\*romanii）過(guò)平行于的直線分別交直線、軸于、，記，求實(shí)數(shù)的值．18．【答案】（1）；（2）（=1\*romani）（=2\*romanii）【解析】（1）因?yàn)榈狡渲幸粭l漸近線的距離，所以……2分又，所以所以雙曲線的方程為……4分（2）設(shè)直線方程為，則代入雙曲線方程得：。設(shè)，則……6分（=1\*romani）而所以，則所以……10分（=2\*romanii）過(guò)平行于的直線方程為直線方程為與聯(lián)立得，即則所以……13分由兩式相除得，則所以……15分因?yàn)?，所以，故為線段的中點(diǎn)，即所以．……17分19.(本小題滿分17分)設(shè)，，.已知函數(shù)在處的切線方程為.（1）求的值；（2）當(dāng)時(shí)，不等式是否恒成立，若是，給予證明；若否，給出反例.（3）證明：若正實(shí)數(shù)滿足，，則必有．19.（1）設(shè)，，則函數(shù)在處的切線方程為即與對(duì)照，知且所以…………4分（2）由（1）知結(jié)論：當(dāng)時(shí)，不等式恒成立證明：由推得，.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，又故，所以在上單調(diào)遞增，又所以...........7分而設(shè)，則，所以在上遞增，又所以在上遞增，又所以，即所以，...........10分（3）法1：因?yàn)樯线f增，故當(dāng)時(shí)，必有由（2）知當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，有，即設(shè)，對(duì)稱(chēng)軸欲證，只需證即證，即證，即證，成立（或出現(xiàn)相應(yīng)給分）所以...........13分又由（2）知所以當(dāng)時(shí)，有，即設(shè)，在遞增欲證，只需證即證，即證即證，即證即證，即證成立（或出現(xiàn)相應(yīng)給