《6.2.2平面向量的數(shù)量積》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見(jiàn)考法】考法一向量的數(shù)量積【例1】（1）已知，，與的夾角為60°，則________.（2）已知是邊長(zhǎng)為6的正三角形，求=____________（3）邊長(zhǎng)為2的菱形中，，、分別為，的中點(diǎn)，則【一隅三反】1．在中，，，，則的值為（）A． B．5 C． D．2．若，，則的最大值為_(kāi)_______.3．平行四邊形中，，，，是線段的中點(diǎn)，則（）A．0 B．2 C．4 D．4．在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A． B． C．1 D．考法二向量的夾角【例2】（1）已知平面向量，滿足，且，則向量與向量的夾角余弦值為（）A．1 B．-1 C． D．-（2）若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為()A． B． C． D．【一隅三反】1．已知，，則與的夾角為_(kāi)________.2．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為3．若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角是______．考法三向量的投影【例3】（1）已知向量，，且與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．（2）已知，為單位向量，，則在上的投影為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為（）．A．1 B．2 C．3 D．42．設(shè)向量滿足，，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為()A．1 B． C． D．3．設(shè)向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．4．設(shè)單位向量、的夾角為，，，則在方向上的投影為（）A．－ B．－ C． D．考法四向量的模長(zhǎng)【例4】已知，，且向量與的夾角為，則（）A． B．3 C． D．【一隅三反】1.已知，，與的夾角為，那么等于2．已知、滿足：，，，則_________.3．已知，，則的最大值等于4．若平面向量滿足，則_________．考法五平面向量運(yùn)算的綜合運(yùn)用【例5-1】已知平面向量，，，，在下列命題中：①為單位向量，且，則；②存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；③若且，則；④與共線，與共線，則與共線；⑤.正確命題的序號(hào)是（）A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③【例5-2】如圖所示，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．4 C．-5 D．5【一隅三反】1．已知非零平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）（1）若，則；（2）若，則（3）若，則（4）若，則或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）2．已知兩個(gè)非零向量，的夾角為，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知向量，滿足，若對(duì)任意模為2的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍是（）A． B． C． D．4．設(shè)非零向量的夾角為，若，且不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．《6.2.2平面向量的數(shù)量積（精講）》考點(diǎn)講解答案解析考法一向量的數(shù)量積【例1】（1）已知，，與的夾角為60°，則________.（2）已知是邊長(zhǎng)為6的正三角形，求=____________（3）邊長(zhǎng)為2的菱形中，，、分別為，的中點(diǎn)，則【答案】（1）10（2）（3）【解析】（1）.故答案為：10.（2）如圖是邊長(zhǎng)為的正三角形，所以，，所以，故答案為：（3）由題意畫(huà)出示意圖，如圖，則.【一隅三反】1．在中，，，，則的值為（）A． B．5 C． D．【答案】D【解析】，，，.故選：D.2．若，，則的最大值為_(kāi)_______.【答案】6【解析】，所以.故答案為:3．平行四邊形中，，，，是線段的中點(diǎn)，則（）A．0 B．2 C．4 D．【答案】C【解析】如圖，根據(jù)題意：，，且，，，．故選：．4．在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，則（）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】因?yàn)樵谶呴L(zhǎng)為1的等邊三角形中，是邊的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，，因此.故選：B.考法二向量的夾角【例2】（1）已知平面向量，滿足，且，則向量與向量的夾角余弦值為（）A．1 B．-1 C． D．-（2）若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角為()A． B． C． D．【答案】（1）C（2）D【解析】（1）平面向量，滿足，且，，解得.故選：C（2）∵非零向量，滿足，∴平方得，即，則，由，平方得得，即則，則向量與的夾角的余弦值，，故選D.【一隅三反】1．已知，，則與的夾角為_(kāi)________.【答案】【解析】根據(jù)已知條件，去括號(hào)得：，所以，故答案為：2．若是夾角為的兩個(gè)單位向量，則與的夾角為【答案】120°【解析】.設(shè)向量與向量的夾角為則.又，所以3．若兩個(gè)非零向量，滿足，則向量與的夾角是______．【答案】【解析】因?yàn)閮蓚€(gè)非零向量，滿足，所以，即，所以，，設(shè)向量與的夾角為，則因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋嚎挤ㄈ蛄康耐队啊纠?】（1）已知向量，，且與的夾角為，則在方向上的投影為（）A． B． C． D．（2）已知，為單位向量，，則在上的投影為（）A． B． C． D．【答案】（1）B（2）C【解析】（1）因?yàn)橄蛄?，，且與的夾角為所以，故選：B（2）因?yàn)?，為單位向量，所以，又，所以所以，即，所以，則，，所以在上的投影為.故選：C.【一隅三反】1．已知向量的夾角為，且，則向量在向量方向上的投影為（）．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】由題意，，所以向量在向量方向上的投影為.故選：A.2．設(shè)向量滿足，，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為()A．1 B． C． D．【答案】D【解析】,,.,,向量在向量上的投影的數(shù)量為.故選：D.3．設(shè)向量滿足，，且，則向量在向量上的投影向量為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】，，.，.設(shè)與方向相同的單位向量為，向量和向量的夾角為，則向量在向量上的投影向量為.故選:D.4．設(shè)單位向量、的夾角為，，，則在方向上的投影為（）A．－ B．－ C． D．【答案】A【解析】依題意得，，，因此在方向上的投影為，故選A.考法四向量的模長(zhǎng)【例4】已知，，且向量與的夾角為，則（）A． B．3 C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，，與的夾角為，所以，則.故選：A.【一隅三反】1.已知，，與的夾角為，那么等于【答案】【解析】，.2．已知、滿足：，，，則_________.【答案】【解析】，因?yàn)椋?，所以，所以，可得，故答案為?3．已知，，則的最大值等于【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，4．若平面向量滿足，則_________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?故答案為：考法五平面向量運(yùn)算的綜合運(yùn)用【例5-1】已知平面向量，，，，在下列命題中：①為單位向量，且，則；②存在唯一的實(shí)數(shù)，使得；③若且，則；④與共線，與共線，則與共線；⑤.正確命題的序號(hào)是（）A．①④⑤ B．②③④ C．①⑤ D．②③【答案】C【解析】①因?yàn)闉閱挝幌蛄浚?，所以，則，故①正確；②若，滿足，但不能推出存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，故②錯(cuò)誤；③向量的數(shù)量積運(yùn)算不滿足消去律，故③錯(cuò)誤；④若，則與不一定共線，故④錯(cuò)誤；⑤由于，所以，故⑤正確．故選：C．【例5-2】如圖所示，半圓的直徑，為圓心，為半圓上不同于、的任意一點(diǎn)，若為半徑上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A． B．4 C．-5 D．5【答案】A【解析】因?yàn)辄c(diǎn)是線段的中點(diǎn)，所以向量，所以，又因?yàn)橄蛄浚较蛳喾?，所?故選：A.【一隅三反】1．已知非零平面向量，，，下列結(jié)論中正確的是（）（1）若，則；（2）若，則（3）若，則（4）若，則或A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（2）（3）（4）【答案】B【解析】已知非零平面向量，，，（1）若，則，所以或，即（1）錯(cuò)；（2）若，則與同向，所以，即（2）正確；（3）若，則，所以，則；即（3）正確；（4）若，則，所以，不能得出向量共線，故（4）錯(cuò)；故選：B.2．已知兩個(gè)非零向量，的夾角為，且，則的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】因?yàn)?，所以，所以，即，由基本不等式的性質(zhì)可知，，，所以．故選：C．3．已知向量，滿足，若對(duì)任意模為2的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由，，若對(duì)任意模為2的向量，均有可得：可得:,平方得到，即故選：B4．設(shè)非零向量的夾角為，若，且不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由題意，非零向量的夾角為，且，則，不等式對(duì)任意恒成立，所以，即，整理得恒成立，因?yàn)?，所以，即，可得，即?shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.《6.2.2平面向量的數(shù)量積（精練）》同步練習(xí)【題組一向量的數(shù)量積】1．已知等邊的邊長(zhǎng)為2，若，，則等于（）A． B． C．2 D．2．在中，為線段的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C．3 D．43．在中，，，為的重心，則________．4．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值是________.5．在等腰中，斜邊，，，，那么_____.6．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，若，則的值是______.7．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，.若，則實(shí)數(shù)______.8.已知非零向量，滿足=，，.若⊥，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____________.【題組二向量的夾角】1．已知非零向量，，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．2．已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實(shí)數(shù)_______________.3．已知平面向，滿足，且，與夾角余弦值的最小值等于_________.4．已知向量滿足.（1）求在上的投影；（2）求與夾角的余弦值.5．已知平面向量，，，，且與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）若與垂直，求的值．6．已知向量滿足，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求向量與夾角的最大值.7．已知向量，且，與的夾角為.，.（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若與的夾角為，求的值.【題組三向量的投影】1．若向量與滿足，且，，則向量在方向上的投影為（）A． B． C．-1 D．2．已知向量，，其中，，，則在方向上的投影為()A． B．1 C． D．23．已知向量，滿足，，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（）A． B． C． D．4．已知，，，則在上的投影是（）A．1 B． C．2 D．5.已知，，，則向量在向量方向的投影（）A．1 B． C．3 D．6．在△ABC中，0，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，且||＝||，則向量在向量上的投影為（）A． B．- C．﹣ D．7．已知向量滿足，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______.8．設(shè)向量，滿足，，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為_(kāi)______.9．已知平面向量滿足，則在方向上的投影等于______．10．已知邊長(zhǎng)為2的等邊中，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)____．11．已知為一個(gè)單位向量，與的夾角是.若在上的投影向量為，則_____________.12．已知非零向量、滿足，，在方向上的投影為，則_______.【題組四向量的模長(zhǎng)】1．已知平面向量，滿足，，若，的夾角為120°，則（）A． B． C． D．32．若向量與的夾角為60°，且則等于（）A．37 B．13 C． D．3．已知向量，滿足，，，則（）A．0 B．2 C． D．4．已知向量、滿足：，，，則_________.5．若平面向量，滿足，，則__________，__________．6．已知，，則的最大值為_(kāi)_____；若，，且，則______.7．已知向量，滿足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為9．設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為（）A． B． C． D．110．已知平面向量、滿足，則的最大值為_(kāi)_______．11．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求；（2）若，求.12．已知平面向量滿足:，|.（1）若，求的值；（2）設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，求的取值范圍.13．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求與的夾角及與的夾角．【題組五平面向量的綜合運(yùn)用】1．，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．2．若是非零向量，是單位向量，①，②，③，④，⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②3．設(shè)為向量，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．若，，均為單位向量，且，，則的最大值是（）A．2 B． C． D．15．已知向量、、滿足，且，則、、中最小的值是（）A． B． C． D．不能確定6．已知空間向量，，和實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則或 B．若，則或C．若，則或 D．若，則7．（多選）若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（）A．B．若，則C．若，則D．若，則8．（多選）已知是同一平面內(nèi)的三個(gè)向量，下列命題中正確的是（）A．B．若且，則C．兩個(gè)非零向量，，若，則與共線且反向D．已知，，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是9．已知，，則的最小值為_(kāi)_________.10．在中，已知，，，則在方向上的投影為_(kāi)_________.11．已知平面向量，其中，的夾角是，則____________；若為任意實(shí)數(shù)，則的最小值為_(kāi)___________．12．在中，，，，是中點(diǎn)，在邊上，，，則________，的值為_(kāi)_______.13．已知向量與向量的夾角為，且，，.（1）求的值（2）記向量與向量的夾角為，求.14．已知，，向量與向量夾角為45°，求使向量與的夾角是銳角時(shí)，的取值范圍.15．在中，，記，且為正實(shí)數(shù)），（1）求證：；（2）將與的數(shù)量積表示為關(guān)于的函數(shù)；（3）求函數(shù)的最小值及此時(shí)角的大?。?6．在如圖所示的平面圖形中，已知，，點(diǎn)A，B分別是線段CE，ED的中點(diǎn)．（1）試用，表示；（2）若，，且，的夾角，試求的取值范圍．《6.2.2平面向量的數(shù)量積（精練）》同步練習(xí)答案解析【題組一向量的數(shù)量積】1．已知等邊的邊長(zhǎng)為2，若，，則等于（）A． B． C．2 D．【答案】D【解析】等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，，，∴，，∴，，．故選：D．2．在中，為線段的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C．3 D．4【答案】B【解析】在中，為線段的中點(diǎn)，可得，,.故選：B.3．在中，，，為的重心，則________．【答案】6【解析】如圖，點(diǎn)是的中點(diǎn)，為的重心，，，所以故答案為：64．如圖，在中，是的中點(diǎn)，，是上的兩個(gè)三等分點(diǎn)，，則的值是________.【答案】【解析】因?yàn)椋?，因此，故答案為?5．在等腰中，斜邊，，，，那么_____.【答案】【解析】由題可知在等腰中，斜邊，，，即，，.故答案為：.6．如圖，在矩形中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，若，則的值是______.【答案】【解析】∵，，∴，，∴，故答案為：.7．已知兩個(gè)單位向量，的夾角為，.若，則實(shí)數(shù)______.【答案】1【解析】?jī)蓚€(gè)單位向量，的夾角為，，又，，，解得．故答案為：1．8．已知非零向量，滿足=，，.若⊥，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)____________.【答案】【解析】非零向量，滿足=，，,⊥,,解得，故答案為：【題組二向量的夾角】1．已知非零向量，，若，且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以?故選:B.2．已知為單位向量，且滿足，與的夾角為，則實(shí)數(shù)_______________.【答案】或【解析】由，可得，則.由為單位向量，得，則，即，解得或.3．已知平面向，滿足，且，與夾角余弦值的最小值等于_________.【答案】【解析】平面向,滿足,則因?yàn)檎归_(kāi)化簡(jiǎn)可得,因?yàn)?代入化簡(jiǎn)可得設(shè)與的夾角為則由上式可得而代入上式化簡(jiǎn)可得令,設(shè)與的夾角為,則由平面向量數(shù)量積定義可得,而所以由余弦函數(shù)的值域可得,即將不等式化簡(jiǎn)可得,解不等式可得綜上可得,即而由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算可知,設(shè)與夾角為,則當(dāng)分母越大時(shí),的值越小;當(dāng)?shù)闹翟叫r(shí),分母的值越大所以當(dāng)時(shí),的值最小代入可得所以與夾角余弦值的最小值等于故答案為:4．已知向量滿足.（1）求在上的投影；（2）求與夾角的余弦值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1），設(shè)和的夾角為，在上的投影為：；（2）設(shè)與夾角為，.5．已知平面向量，，，，且與的夾角為．（1）求；（2）求；（3）若與垂直，求的值．【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）；（2），；（3），，即，解得：.6．已知向量滿足，（1）若，求實(shí)數(shù)的值；（2）求向量與夾角的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因?yàn)?，，所以，則與同向.因?yàn)?，所以，即，整理得，解得，所以?dāng)時(shí)，.（2）設(shè)的夾角為，則，當(dāng)，即時(shí)，取最小值，又，所以，即向量與夾角的最大值為.7．已知向量，且，與的夾角為.，.（1）求證：；（2）若，求的值；（3）若，求的值；（4）若與的夾角為，求的值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）或.（3）（4）【解析】（1）證明：因?yàn)椋c的夾角為，所以，所以.（2）由得，即.因?yàn)椋?，所以，，所以，?所以或.（3）由知，即，即.因?yàn)椋?，所以，，所?所以.（4）由前面解答知，，.而，所以.因?yàn)椋傻?，化?jiǎn)得，所以或.經(jīng)檢驗(yàn)知不成立，故.【題組三向量的投影】1．若向量與滿足，且，，則向量在方向上的投影為（）A． B． C．-1 D．【答案】B【解析】利用向量垂直的充要條件有：，∴，則向量在方向上的投影為,故選B.2．已知向量，，其中，，，則在方向上的投影為()A． B．1 C． D．2【答案】C【解析】由題意，向量，，其中，，，可得……(1)……(2)聯(lián)立(1)(2)解得，，所以在方向上的投影為.故選：C.3．已知向量，滿足，，且在方向上的投影與在方向上的投影相等，則等于（）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)兩個(gè)向量的夾角為，則，從而，因?yàn)?，故，所以．故選：A．4．已知，，，則在上的投影是（）A．1 B． C．2 D．【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以所以在上的投影故選：C5.已知，，，則向量在向量方向的投影（）A．1 B． C．3 D．【答案】A【解析】由題意，向量，，，可得，解得，所以向量在向量方向的投影.故選：A.6．在△ABC中，0，點(diǎn)P為BC的中點(diǎn)，且||＝||，則向量在向量上的投影為（）A． B．- C．﹣ D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，，又點(diǎn)為中點(diǎn)，故可得，如下所示：故三角形為等邊三角形，故可得，不妨設(shè)，故可得，則向量在向量上的投影為.故選：.7．已知向量滿足，則向量在向量上的投影為_(kāi)_______.【答案】【解析】向量滿足，可得，，即為，，兩式相減可得，則向量在向量上的投影為．故答案為：．8．設(shè)向量，滿足，，且，則向量在向量上的投影的數(shù)量為_(kāi)______.【答案】【解析】，，，，，向量在向量上的投影的數(shù)量為.故答案為：.9．已知平面向量滿足，則在方向上的投影等于______．【答案】【解析】由題意結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算法則有：，據(jù)此可得，在方向上的投影等于.10．已知邊長(zhǎng)為2的等邊中，則向量在向量方向上的投影為_(kāi)____．【答案】【解析】因?yàn)槭堑冗吶切?，所以向量與向量的夾角為，因?yàn)檫呴L(zhǎng)為2，所以向量在向量方向上的投影為，故答案為：.11．已知為一個(gè)單位向量，與的夾角是.若在上的投影向量為，則_____________.【答案】4【解析】為一個(gè)單位向量,與的夾角是由平面向量數(shù)量積定義可得,根據(jù)平面向量投影定義可得,∴.故答案為:412．已知非零向量、滿足，，在方向上的投影為，則_______.【答案】【解析】，在方向上的投影為，，，，可得，因此，.故答案為：.【題組四向量的模長(zhǎng)】1．已知平面向量，滿足，，若，的夾角為120°，則（）A． B． C． D．3【答案】A【解析】由題意得，，故選：A.2．若向量與的夾角為60°，且則等于（）A．37 B．13 C． D．【答案】C【解析】因?yàn)橄蛄颗c的夾角為60°，且所以所以，故選：C．3．已知向量，滿足，，，則（）A．0 B．2 C． D．【答案】D【解析】因?yàn)橄蛄?滿足,,則故選:D4．已知向量、滿足：，，，則_________.【答案】.【解析】，，，因此，，故答案為.5．若平面向量，滿足，，則__________，__________．【答案】-14【解析】由，得，①由，得，②①-②得：，∴．故．故答案為：①-1；②4.6．已知，，則的最大值為_(kāi)_____；若，，且，則______.【答案】1410【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)同向時(shí)等號(hào)成立，所以，即的最大值為14，由兩邊平方可得：，所以，所以，即.故答案為：14；107．已知向量，滿足，在上的投影（正射影的數(shù)量）為-2，則的最小值為【答案】8【解析】因?yàn)樵谏系耐队埃ㄕ溆暗臄?shù)量）為，所以，即，而，所以，因?yàn)樗裕?，故選D.9．設(shè)非零向量與的夾角是，且，則的最小值為（）A． B． C． D．1【答案】B【解析】對(duì)于，和的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形法則，如圖，，,，，，，，，，，化簡(jiǎn)得當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：B.10．已知平面向量、滿足，則的最大值為_(kāi)_______．【答案】【解析】，則，設(shè)與的夾角為，則，，，，可得，，則，所以，，，則，所以，當(dāng)時(shí)，取最大值.故答案為：.11．已知向量與向量的夾角為，且，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）或.【解析】（1）∵，∴，∴，∴.（2）∵，∴，整理得：，解得：或.12．已知平面向量滿足:，|.（1）若，求的值；（2）設(shè)向量的夾角為，若存在，使得，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）若，則，又因?yàn)椋瑋，所以，所以；（2）若，則，又因?yàn)?，，所以即，所以，解得或，所?13．已知向量，，，且．（1）求，；（2）求與的夾角及與的夾角．【答案】（1），；（2），．【解析】（1）因?yàn)橄蛄浚?，，且，所以，所以，又，所以；?）記與的夾角為，與的夾角為，則，所以．，所以．【題組五平面向量的綜合運(yùn)用】1．，是兩個(gè)單位向量，則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】A．可能方向不同，故錯(cuò)誤；B．，兩向量夾角未知，故錯(cuò)誤；C．，所以，故錯(cuò)誤；D．由C知，故正確，故選：D.2．若是非零向量，是單位向量，①，②，③，④，⑤，其中正確的有（）A．①②③ B．①②⑤ C．①②④ D．①②【答案】D【解析】∵，∴，①正確；為單位向量，故，②正確；表示與方向相同的單位向量，不一定與方向相同，故③錯(cuò)誤；與不一定共線，故不成立，故④錯(cuò)誤，若與垂直，則有，故⑤錯(cuò)誤．故選：D.3．設(shè)為向量，則“”是“”（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算，若，即=所以=1，即所以若，則的夾角為0°或180°，所以“或即所以“”是“”的充分必要條件所以選C4．若，，均為單位向量，且，，則的最大值是（）A．2 B． C． D．1【答案】A【解析】，，均為單位向量，且，，，設(shè)，，得：，，方程有解，，，的最大值為2．故選：A．5．已知向量、、滿足，且，則、、中最小的值是（）A． B． C． D．不能確定【答案】C【解析】由，可得，平方可得．同理可得、，，則、、中最小的值是．故選：．6．已知空間向量，，和實(shí)數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．若，則或 B．若，則或C．若，則或 D．若，則【答案】B【解析】對(duì)于選項(xiàng)，若，則或或，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，得，即可得其模相等，但方向不確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，得，則或或，故錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)，由，可得或，故正確，故選：.7．（多選）若、、是空間的非零向量，則下列命題中的假命題是（）A．B．若，則C．若，則D．若，則【答案】ACD【解析】是與共線的向量，是與共線的向量，與不一定共線，A錯(cuò)，若，則與方向相反，∴，B對(duì)，若，則，即，不能推出，C錯(cuò)，若，則，與方向不一定相同，不能推出，D錯(cuò)，故選：AC