2023級高三上學期數學試題考試時間：120分鐘一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知復數滿足，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據復數的除法運算計算即可得解.【詳解】，則.故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據給定條件，利用交集的定義直接求解.【詳解】集合，，則，所以.故選：C3.已知橢圓，則“”是“橢圓的離心率為”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據橢圓離心率定義，對參數的取值進行分類討論即可判斷出結論.【詳解】由可得橢圓，此時離心率為，此時充分性成立；若橢圓的離心率為，當時，可得離心率為，解得，即必要性不成立；綜上可知，“”是“橢圓的離心率為”的充分不必要條件.故選：B.4.已知函數的定義域為R，若，則（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A【解析】【分析】利用奇偶性和對稱性求得函數周期為4，然后由周期性和奇函數的性質可得.【詳解】因為，所以，即，又，函數的定義域為R，所以，是定義域為R的奇函數，所以，，所以，，故，所以是以4為周期的周期函數，所以.故選：A5.則的大小關系是A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設,可知,作出角的三角函數線,可得到答案.【詳解】設,則,作出角的三角函數線,如下圖,則,,,又在中,,則,故,即.故選:A.【點睛】本題考查了三角函數值的大小比較,利用三角函數線是解決本題的關鍵,屬于基礎題.6.已知f(x)是定義在(0，＋∞)上的非負可導函數，且滿足xf′(x)＋f(x)≤0，對任意的0<a<b，則必有()．A.af(b)≤bf(a) B.bf(a)≤af(b)C.af(a)≤f(b) D.bf(b)≤f(a)【答案】A【解析】【詳解】因為xf′(x)≤－f(x)，f(x)≥0，所以′＝≤≤0，則函數在(0，＋∞)上單調遞減．由于0<a<b，則，即af(b)≤bf(a)7.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與軸相交于點，與雙曲線在第一象限部分的交點為，且，，則雙曲線的離心率為（）A. B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由三角形與相似結合雙曲線定義依次求出，再在焦三角形中由勾股定理列出方程即可求解.【詳解】因為，，所以與相似，所以，所以，則，所以由得，所以，解得（舍去）或.所以雙曲線的離心率為.故選：D8.如圖，正方體的棱長為，為的中點，動點從點出發(fā)，沿運動，最后返回.已知的運動速度為，那么三棱錐的體積（單位：）關于時間（單位：）的函數圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】討論點在線段、、、上運動，求解體積即可得答案.【詳解】（1）當時，在線段上運動，此時，，所以；（2）當時，在線段上，因為平面，所以到平面的距離為定值，所以為定值，；（3）當時，在線段上，取的中點，，此時，同理可得，所以；（4）當時，在線段上，因為平面，所以到平面的距離為定值，所以為定值，.故選B.【點睛】本題主要考查了棱錐的體積公式及空間想象力，本題的難點在于動點在不同的線段上運動時需要分別求體積，屬于難題.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.如圖所示，4個長為，寬為的長方形，拼成一個正方形，中間圍成一個小正方形，則以下說法中正確的是（）A. B.當時，，，，四點重合C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據圖形的構成，結合面積之間的關系即可求出答案.【詳解】由圖可知正方形ABCD的面積不小于4個長方形的面積之和，即有，故A正確；因為正方形的面積為，結合圖形可知，且當α=b時，，，四點重合，故BD正確；但是正方形的面積與4個長方形的面積之和大小關系不定，因此選項C錯誤.故選：ABD【點睛】本題考查了，，的幾何意義，利用圖形可得到面積之間的關系，考查了數形結合思想，屬于中檔題.10.定義為數列的“優(yōu)值”．已知某數列的“優(yōu)值”，前項和為，則（）A.數列為等差數列 B.數列為遞減數列C D.，，成等差數列【答案】AC【解析】【分析】由新定義可得，以替換，可得，兩式作差可得數列的通項公式，然后逐一核對四個選項得答案．【詳解】由．得①，所以當時，②，①-②得當時，，即當時，，當時，由①知，滿足，所以，數列是首項為2，公差為1的等差數列，故A正確，B錯誤．又，所以，故C正確．，，，故D錯誤，故選：AC．11.如圖，在直角三角形中，，，點是以為直徑的半圓弧上的動點，若，則（）A.B.C.最大值為D.，，三點共線時【答案】ACD【解析】【分析】依題意可得為的中點，根據平面向量加法的平行四邊形法則判斷A，建立平面直角坐標系，求出圓的方程，設，，利用坐標法判斷B、C，由三點共線得到，即可求出，從而求出，，即可判斷D.【詳解】因為，即為的中點，所以，故A正確；如圖建立平面直角坐標，則，，，，所以，，則，故B錯誤；又，所以圓方程為，設，，則，又，所以，因為，所以，所以，所以，故最大值為，故C正確；因為，，三點共線，所以，又，，所以，即，所以，所以，又，，且，即，所以，所以，所以，故D正確.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.兩直線與平行的條件是______．【答案】且，或且【解析】【分析】根據直線平行關系得到關于的方程，解出即可.【詳解】當時，直線和直線顯然不平行，故，若直線平行，只需，解得或故答案為:且，或且13.現(xiàn)有A，B兩組數據，其中A組有4個數據，平均數為2，方差為6，B組有6個數據，平均數為7，方差為1.若將這兩組數據混合成一組，則新的一組數據的方差為________.【答案】9【解析】【分析】根據題意，由分層抽樣中數據方差的計算公式計算可得答案.【詳解】根據題意，甲組數據的平均數為2，方差為6，乙組數據的平均數為7，方差為1,則兩組數據混合后，新數據的平均數，則新數據的方差故答案為：914.在平面四邊形ABCD中，，，，則AB的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】首先將平面四邊形補形為三角形，成為等腰三角形，在內平移直線使之能滿足條件，通過數形結合，分析兩個臨界點得到的取值范圍.【詳解】如圖所示，延長交于，平移，當與點重合時，最長(此時為臨界位置，不能取)在中，，，，由正弦定理可得，即，由，解得=，平移，當與點重合時，最短，此時與交于，在中，,，由正弦定理知，，即，解得(此時為臨界位置，不能取)所以的取值范圍為故答案為：【點睛】本題考查求幾何圖形中的長度計算，意在考查數形結合分析問題和解決問題的能力，考查正弦定理解三角形，本題的關鍵是通過平行移動，根據臨界點分析出的長度，屬于難題.四、解答題：本題共5小題，共77分.15.某機構為調查我國公民對申辦奧運會的態(tài)度，選了某小區(qū)的100位居民調查結果統(tǒng)計如下：支持不支持合計年齡不大于50歲80年齡大于50歲10合計70100（1）根據已有數據，把表格數據填寫完整；（2）能否在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡與支持申辦奧運無關？（3）已知在被調查的年齡大于50歲的支持者中有5名女性，其中2位是女教師，現(xiàn)從這5名女性中隨機抽取3人，求至多有1位女教師的概率.附：，0.1000.0500.0250.0102.7063.8415.0246.635【答案】（1）見解析（2）能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡與支持申辦奧運無關（3）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據條件中所給的數據，列出列聯(lián)表，填上對應的數據，得到列聯(lián)表．

（2）假設不同年齡與支持申辦奧運無關沒有關系，根據上一問做出的列聯(lián)表，把求得的數據代入求觀測值的公式求出觀測值，把觀測值同臨界值進行比較得到結論．（3）列舉法確定基本事件，即可求出概率．試題解析：（1）（2）所以能在犯錯誤的概率不超過5%的前提下認為不同年齡與支持申辦奧運無關.（3）記5人為，其中表示教師，從5人任意抽3人的所有等可能事件是：，，，，，，，，，共10個，其中至多1為教師有7個基本事件：，，，，，，所以所求概率是.16.已知公差不為零的等差數列和等比數列滿足，且成等比數列，成等差數列.（1）求數列和的通項公式；（2）令，去掉數列中的第項，余下的項順序不變，構成新數列，寫出數列的前4項并求的前項和；【答案】（1）；（2）3，9，81，243；【解析】【分析】（1）由等比中項和等差中項的性質，及等比數列和等差數列的通項公式可得結果；（2）由分組求和法計算.【小問1詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，由題意得：，又，，解得，所以，；【小問2詳解】由（1）得，去掉第項后，前4項依次為3，9，81，243，，綜上，.17.如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為直角梯形，AB∥CD，，平面平面ABCD，F(xiàn)為線段BC的中點，E為線段PF上一點.（1）證明：；（2）當EF為何值時，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.【答案】（1）證明見解析（2）2【解析】【分析】（1）過作，垂足為，分析可知為等邊三角形，可得，結合面面垂直的性質可得平面ABCD，即可得結果；（2）取線段的中點，連接，建系，設，求平面PAD的法向量，利用空間向量處理線面夾角的問題.【小問1詳解】過作，垂足為，由題意知：為矩形，可得，由，則為等邊三角形，且F為線段BC的中點，則，又因為平面平面ABCD，平面平面，平面，可得平面ABCD，且平面，所以.【小問2詳解】由（1）可知：平面ABCD，取線段的中點，連接，則∥，，又因為，可知，以為坐標原點，分別為軸，建立空間直角坐標系，則，因為E為線段PF上一點，設，可得，設平面法向量，則，令，則，可得，由題意可得：，整理得，解得，所以當，直線BE與平面PAD夾角的正弦值為.18.已知函數．（1）若在區(qū)間上存在不相等的實數m,n，使成立，求的取值范圍；（2）若函數有兩個不同的極值點，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）求導，設，根據題意分析可知：原題意等價于內有正有負，結合二次函數性質分析求解；（2）根據題意分析可知：原題意等價于有2個根，進而可得，，代入分析證明即可.【小問1詳解】因為，注意到在上連續(xù)不斷，且，由題意可知：原題意等價于在上不為單調函數，且，設，原題意等價于在內有正有負，可知的圖象開口向上，對稱軸為，可知：在上為增函數，則，解得，所以的取值范圍為.【小問2詳解】由（1）可知：，且，令，可得，若函數有兩個不同的極值點，等價于有2個根，則，解得：，由韋達定理可得：，則，又因為，因為，則，可得，所以．19.已知圓心在軸上移動的圓經過點，且與軸，軸分別交于兩個動點.記動點軌跡為曲線.（1）求點軌跡方程；（2）設直線與曲線相交于兩點，與圓相切于點，若為中點，求的縱坐標取值范圍；（3）過點作圓（圓在曲線內部）的兩條切線分別交于曲線于兩點（異于點），探究直線是否過定點.【答案】（1）（2）（3）直線恒過點【解析】【分析】（1）依題意可知圓的圓心在軸，即圓關于軸對稱，三角形是直角三角形，再根據直角三角形射影定理可知，即可得解；（2）設，利用點差法求出，再根據化簡求出，再根據在拋物線內部即可得解；（3）設過點且斜率存在的直線方程為，直線的斜率分別設為，根據直線與動圓相切可得，再化簡，利用韋達定理求出，設方程為，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理求