2025學年第一學期普通高中高三期末質量評價題庫數(shù)學2026.1本題庫共4頁，19小題．建議做題時間120分鐘．答題須知：1．答題前，務必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、題庫答題卡號填寫在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處”．2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在題庫上．3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．必須保持答題卡的整潔，不要折疊，不要弄破．選擇題部分（共58分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.高三某班10名同學的數(shù)學?？汲煽儯M分150）依次為：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)為（）A.112.5 B.115 C.142.5 D.145【答案】B【解析】【分析】將數(shù)據(jù)從小到大排列，根據(jù)百分位數(shù)的定義進行求解.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列：105，110，115，120，125，130，135，140，145，150，因為，故從小到大，選擇第3個數(shù)作為這組數(shù)據(jù)的第25百分位數(shù)，即115.故選：B2.已知是過，兩點的直線的一個方向向量，則實數(shù)為（）A. B. C.1 D.4【答案】A【解析】【分析】由題得到是直線的一個方向向量，也是直線的方向向量，所以向量與共線，利用向量共線坐標成比例列方程可求出的值.【詳解】已知，，所以是直線的一個方向向量；因為向量也是直線的方向向量，所以它與共線，所以，解得，故選：A.3.已知是奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（）A. B. C.0 D.1【答案】C【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義計算即可.【詳解】要使有意義，則，即，解得或.所以函數(shù)的定義域為，關于原點對稱..因為，所以，即，也即，因為，所以.故選：C.4.已知，為實數(shù)，則“與都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】通過取特殊的值，再利用充分條件與必要條件的判斷方法，即可求解.【詳解】取，顯然有與都是無理數(shù)，但是有理數(shù)，即“與都是無理數(shù)”推不出“是無理數(shù)”，取，則，顯然有是無理數(shù)，但不滿足與都是無理數(shù)，即“是無理數(shù)”推不出“與都是無理數(shù)”，所以“與都是無理數(shù)”是“是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.已知函數(shù)，則（）A.0 B.6 C.12 D.24【答案】D【解析】【分析】令，根據(jù)導數(shù)的運算可得，代入可得，即可求解.【詳解】令，則，所以，所以.故選：D.6.已知橢圓的左右焦點分別為，，是橢圓上一點，且，，成等比數(shù)列，則橢圓離心率的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)條件，利用橢圓的定義及基本不等式得到，即可求解.【詳解】設，則，又，且，，成等比數(shù)列，則，得到，當且僅當，即時取等號，所以，故選：B.7.若且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用兩角和與差的正弦、余弦公式化簡得出的值，再利用二倍角的余弦公式化簡可得出的值.【詳解】因為，，所以，即，解得，故.故選：B.8.已知正三棱臺，，且側面與底面的夾角的余弦值為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】取正中心，記，，交點為，求解的長度，記與面的夾角為，利用等面積法求，由求解，解三角形求結論.【詳解】如圖，取正中心，的中點為，記，，交于點，作于，則面，，，，所以為側面與底面的夾角，可知，設，，，則，，作于，因為，，平面，，所以平面，平面，故，又，平面，所以面，記與面的夾角為，如圖，，解得，因為，，所以，所以，所以.故選：A.二、選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.我國“天宮勘探計劃”中，AI自主從編號1-12的深空探測目標（含行星、小行星等）里隨機選一個執(zhí)行任務，定義：事件：“選中奇數(shù)編號目標”（對應具備稀有金屬開采價值的天體）事件：“選中編號小于7的目標”（對應我國近地測控覆蓋范圍內的天體）事件：“選中1，2，4，8號目標”（對應已通過天眼確認存在特殊星際物質的重點目標）現(xiàn)在需要分析AI選擇探測目標時，以下任務事件的概率關系正確的有（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】由題可得，，，,,故A正確；因為,則由條件概率得到，故B正確；因,所以由條件概率得到，所以，故C錯誤；計算得到,所以D正確.【詳解】由題可得總樣本數(shù)為12（編號1-12），事件為“選中奇數(shù)編號目標”：，共6個，則，事件為“選中編號小于7的目標”，共6個，則，事件為“選中1，2，4，8號目標”，共4個，則;事件AB為“奇數(shù)且編號小于7”，即，共3個，,,所以，故A正確；事件AC為“編號為1”，共1個，所以,則，故B正確；事件為“編號為3,5,7,9,11”，共5個，所以,所以;所以，故C錯誤；事件為“編號為1”，共1個，所以,;所以，故D正確.故選：ABD.10.已知，，為三個不同的平面，，，為三條不同的直線，，，，下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】AC【解析】【分析】對于AC，利用線面平行的判定定理和性質即可證明，對于BD作圖即可觀察判斷.【詳解】如下圖，因為，，，所以，又，，所以，故，故A、C正確；如下圖，若，不一定垂直，故B錯誤；若，不一定垂直，故D錯誤故選：AC.11.已知函數(shù)圖象上存在三個不同的點滿足橫坐標依次成等差數(shù)列，且縱坐標依次成等比數(shù)列，則可以是（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質結合函數(shù)的性質判斷即可.【詳解】設函數(shù)圖象上的三個不同點為，，.因為縱坐標依次成等比數(shù)列，所以.選項A：，，..當，即（且）時，，滿足，故A正確.選項B：，，.，，又，當且僅當，即時等號成立，因為，所以，所以，故B錯誤.選項C：，，.，，，令，則，即，整理得，又，所以，即.所以對任意實數(shù)，均能取到，滿足，故C正確.選項D：定義域為.，，.，.令.只需證，，函數(shù)存在零點即可，取，當時，,當時，，，，故，所以當時，，由零點存在定理可知，函數(shù)在區(qū)間上存在零點，即存在不同的三點滿足條件，故D正確.故選：ACD.非選擇題部分（共92分）三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復數(shù)，，其中為虛數(shù)單位，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，運用復數(shù)三角形式乘法法則即可求解．【詳解】由復數(shù)三角形式乘法法則得到:.故答案為：.13.函數(shù)的最小值為__________．【答案】1【解析】【分析】先對函數(shù)分兩段討論求出各段上的最小值，兩個值比較最終得到函數(shù)的最小值.當時，，在上單調遞減，在第一段上，最小值在處取得，；當時，，時單調遞減；時單調遞增；因此，是第二段的最小值點，計算得，所以函數(shù)的最小值為1.【詳解】函數(shù)的定義域為；令，解得，當時，，求導得到，所以函數(shù)在上單調遞減，在第一段上，最小值在處取得，.當時，，求導得到，令，解得，當時，，函數(shù)單調遞減；當時，，函數(shù)單調遞增；因此，是第二段的最小值點，計算得；因為，所以函數(shù)的最小值為1.故答案為：1.14.已知外接圓的半徑為1，的角平分線交圓于另一點，，則的取值范圍是__________，的最小值是__________．【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)題意，利用正弦定理可得，根據(jù)三角形內角和即可確定的取值范圍，設，由正弦定理可得，，再計算即可求解．【詳解】如圖，不妨取在優(yōu)弧上，在劣弧上，外接圓的半徑，，即，解得，，為的角平分線，，，，即；設，則，，，，，，，故當，即時，取得最小值．故答案為：；．四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應寫出文字說明．證明過程或演算步驟．15.有和兩道謎語，張某猜對謎語的概率為0.8，猜對得獎金10元；猜對謎語的概率為0.5，猜對得獎金20元．若規(guī)定只有猜對第一道謎語的情況下，才有資格猜第二道，且猜謎語的順序由張某選擇．（1）求張某猜對兩道謎語的概率；（2）張某該選擇先猜哪一道？請說明理由．【答案】（1）（2）選擇先猜，理由見解析【解析】【分析】（1）對先猜對后猜對以及先猜對后猜對進行求解即可；（2）分別求解先猜對與先猜對的分布列，再求解其數(shù)學期望即可.【小問1詳解】記張某先猜對后猜對為事件，先猜對后猜對事件，所以張某猜對兩道謎語的概率為.【小問2詳解】若張某先猜獲得的獎金為元，則010300.20.40.4先猜獲得獎金為元，則020300.50.10.4因此張某應選擇先猜謎語.16.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，是圖象的一個最低點，是圖象的一個最高點．（1）求函數(shù)的解析式；（2）已知也是圖象的最低點，是圖象與軸的交點，求．【答案】（1）或；（2）.【解析】【分析】（1）由圖可知，，所以，將代入，得，所以或.（2）令，計算得到，由最低點和得，所以，，故.【小問1詳解】由最低點和最高點可知，所以因為，所以，將代入上式得所以或.【小問2詳解】令，可得，，由最低點和得，，，故.17.已知等差數(shù)列的前項和為，，，數(shù)列滿足．（1）求數(shù)列、的通項公式；（2）將數(shù)列、的公共項從小到大排列組成新的數(shù)列，求的前項和．【答案】（1），；（2）.【解析】【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)已知條件可得關于、的方程組，解出這兩個量的值，即可得數(shù)列的通項公式；當時，由得出，兩式作差可得在時的表達式，然后驗證即可得數(shù)列的通項公式；（2）分為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論，利用二項式定理化簡表達式，可得出數(shù)列的通項公式，再利用分組求和法可求得的表達式.【小問1詳解】設等差數(shù)列的公差為，由，得，得，，所以，當時，由①，得②，①②得，所以，當時，，可得，也滿足，所以.【小問2詳解】因為，，當為偶數(shù)時，，此時被除余，為數(shù)列中的項；當為奇數(shù)時，，此時被整除，不為數(shù)列中的項，所以，.18.已知平面直角坐標系上一動點滿足，，．（1）求點的軌跡曲線的方程；（2）斜率為的直線與曲線交于，兩點，點．①求直線，的斜率之和；②的外接圓圓心是否在某定直線上？說明理由．【答案】（1）（2）①；②必在直線上，理由見解析【解析】【分析】（1）設，由題意列方程，化簡即可求出答案.（2）①直線的方程為，，，將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立得到，，用斜率公式列出直線，的斜率之和，代入即可求出答案；②求出直線，的中垂線，聯(lián)立求出點的坐標，消去即可求出答案.【小問1詳解】由題意知，，所以動點的軌跡為雙曲線的右支，，，即，，所以，所以點的軌跡曲線的方程為.【小問2詳解】①設直線的方程為，，，直線和的斜率分別為，，聯(lián)立得，，由題意得，解得，于是，，所以，所以．②直線中垂線為，直線的中垂線為，聯(lián)立直線方程得：，消得，于是，所以，代入得，當時，點在直線上，不符合題意，故，又消得：，推出，推出：，得：，得：，又，則，又，所以，故外接圓圓心，令，消去得，故必在直線上.19.已知四面體，，，，，為的三等分點（靠近），為的中點，過點的動平面交射線，，于，，．（1）如圖，當時，①求的長；②空間中一動點，定義．當四面體的體積最小時，是否存在點，使得？并說明理由；（2）當時，記四面體內切球的半徑為，求的最大值．【答案】（1）①；②不存在，理由見解析（2）.【解析】【分析】（1）①利用空間向量基本定理，所以，所以．②設，，，所以，由共面定理，得，記棱長為1的正四面體的體積為，所以，由均值不等式得到當，，取得最