高二數(shù)學(xué)求夾角的題目及答案姓名：_____?準(zhǔn)考證號(hào)：_____?得分：__________

一、選擇題(每題2分，總共10題)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則向量a與向量b的夾角θ的范圍是

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[0,π]

D.[π/2,3π/2]

2.若向量OP=(1,√3)，向量OQ=(2,0)，則∠POQ的大小為

A.π/6

B.π/3

C.π/2

D.2π/3

3.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，向量AB與x軸正方向的夾角為

A.arctan(2/3)

B.arctan(3/2)

C.π-arctan(2/3)

D.π-arctan(3/2)

4.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影長度為

A.√2/2

B.√5/2

C.1

D.√2

5.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，則向量m+n與向量m的夾角為

A.0

B.π/4

C.π/2

D.π

6.若向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，則a·b的值為

A.6

B.-6

C.12

D.-12

7.已知點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)Q(3,0)，則向量QP與向量QP的夾角為

A.0

B.π/2

C.π

D.無法確定

8.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，則向量a與向量b的夾角為

A.π/4

B.π/3

C.π/2

D.3π/4

9.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，則向量a與向量b的夾角θ的范圍是

A.[0,π/2]

B.[π/2,π]

C.[0,π]

D.[π/2,3π/2]

10.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，則∠POQ的大小為

A.π/4

B.π/3

C.π/2

D.3π/4

二、填空題(每題2分，總共10題)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則cosθ=__________

2.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，則向量OP與向量OQ的夾角θ=__________

3.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則向量AB與x軸正方向的夾角θ=__________

4.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影長度=__________

5.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，則向量m+n與向量m的夾角=__________

6.若向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，則a·b=__________

7.已知點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)Q(3,0)，則向量QP與向量QP的夾角=__________

8.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，則向量a與向量b的夾角θ=__________

9.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，則向量a與向量b的夾角θ=__________

10.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，則向量OP與向量OQ的夾角θ=__________

三、多選題(每題2分，總共10題)

1.下列哪些情況下，向量a與向量b的夾角為銳角？

A.a·b>0

B.a·b<0

C.a與b平行且方向相同

D.a與b垂直

2.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則下列哪些說法正確？

A.|a|=5

B.|b|=√5

C.a·b=11

D.cosθ=11/25

3.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，則下列哪些說法正確？

A.|OP|=√5

B.|OQ|=√5

C.OP·OQ=4

D.cosθ=4/5

4.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則下列哪些說法正確？

A.向量AB=(2,-2)

B.向量BA=(-2,2)

C.AB與x軸正方向的夾角為arctan(2/3)

D.BA與x軸正方向的夾角為arctan(-2/3)

5.向量a=(2,1)在向量b=(1,-1)上的投影長度，下列哪些說法正確？

A.投影長度為√2/2

B.投影長度為√5/2

C.投影長度為1

D.投影長度為√2

6.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，則下列哪些說法正確？

A.m+n=(1,1)

B.m+n與m的夾角為0

C.m+n與n的夾角為π/2

D.m+n與n的夾角為π

7.若向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，則下列哪些說法正確？

A.a·b=-6

B.cos120°=-1/2

C.a·b=12

D.a·b=-12

8.已知點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)Q(3,0)，則下列哪些說法正確？

A.向量QP=(2,-2)

B.向量PQ=(-2,2)

C.QP與x軸正方向的夾角為arctan(-2/3)

D.PQ與x軸正方向的夾角為arctan(2/3)

9.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，則下列哪些說法正確？

A.|a|=√2

B.|b|=√2

C.a·b=0

D.cosθ=√2/2

10.已知向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，則下列哪些說法正確？

A.|OP|=√2

B.|OQ|=√2

C.OP·OQ=0

D.cosθ=√2/2

四、判斷題(每題2分，總共10題)

1.向量a與向量b垂直，則a·b=0

2.向量a與向量b的夾角為鈍角，則a·b>0

3.若向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，則OP與OQ的夾角為銳角

4.向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，則|a|=|b|

5.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，則a與b的夾角為π/2

6.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，則向量AB與向量BA的方向相同

7.向量a在向量b上的投影長度可以為負(fù)數(shù)

8.若向量a與向量b的夾角為0，則|a+b|=|a|+|b|

9.已知向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，則OP與OQ的夾角為π/2

10.向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，則a與b共線

五、問答題(每題2分，總共10題)

1.已知向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a與向量b的夾角θ的大小

2.已知點(diǎn)A(1,2)，點(diǎn)B(3,0)，求向量AB與x軸正方向的夾角θ的大小

3.向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，求向量a在向量b上的投影長度

4.已知向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，求向量m+n與向量m的夾角

5.若向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，求a·b的值

6.已知點(diǎn)P(1,2)，點(diǎn)Q(3,0)，求向量QP與向量QP的夾角

7.向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，求向量a與向量b的夾角θ的大小

8.已知向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，求向量a與向量b的夾角θ的大小

9.若向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，求向量OP與向量OQ的夾角θ的大小

10.向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，求向量a在向量b上的投影長度

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.C

解析：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，計(jì)算a·b=3×1+4×2=11，|a|=√(32+42)=5，|b|=√(12+22)=√5，cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=√5/5，θ的范圍為[0,π]，故選C。

2.B

解析：向量OP=(1,√3)，向量OQ=(2,0)，計(jì)算OP·OQ=1×2+√3×0=2，|OP|=√(12+(√3)2)=2，|OQ|=√(22+02)=2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=2/(2×2)=1/2，θ=π/3，故選B。

3.A

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB與x軸正方向的夾角θ滿足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(-1)=π-arctan(1)=π-π/4=3π/4，但通常指銳角范圍，故為arctan(2/3)，故選A。

4.A

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影長度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(12+(-1)2)=|1|/√2=√2/2，故選A。

5.C

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,0)+(0,1)=(1,1)，向量m與向量m+n的夾角為0，故選C。

6.B

解析：向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6，故選B。

7.A

解析：向量QP=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量QP與向量QP的夾角為0，因?yàn)槿魏蜗蛄颗c自身的夾角為0，故選A。

8.D

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，計(jì)算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(12+12)√((-1)2+12)=0/√2√2=0，θ=π/2，故選D。

9.A

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，計(jì)算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(22+32)=√13，|b|=√(42+62)=√52=2√13，cosθ=a·b/(|a||b|)=24/(√13×2√13)=24/26=12/13，θ的范圍為[0,π/2]，故選A。

10.A

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，計(jì)算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(12+12)=√2，|OQ|=√((-1)2+12)=√2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=0/(√2×√2)=0，θ=π/4，故選A。

二、填空題答案及解析

1.24/25

解析：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，cosθ=a·b/(|a||b|)=3×1+4×2/(√(32+42)√(12+22))=11/(5√5)=24/25。

2.π/4

解析：向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，OP·OQ=2×1+1×2=4，|OP|=√(22+12)=√5，|OQ|=√(12+22)=√5，cosθ=4/(√5×√5)=4/5，θ=arccos(4/5)=π/4。

3.arctan(2/3)

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB與x軸正方向的夾角θ滿足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)。

4.√2/2

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影長度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(12+(-1)2)=|1|/√2=√2/2。

5.π/2

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,1)，向量m與向量m+n的夾角為π/2。

6.-6

解析：向量a與向量b的夾角為120°，|a|=3，|b|=4，a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6。

7.0

解析：向量QP=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量QP與向量QP的夾角為0。

8.π/2

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，計(jì)算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(12+12)√((-1)2+12)=0/√2√2=0，θ=π/2。

9.0

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，計(jì)算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(22+32)=√13，|b|=√(42+62)=√52=2√13，cosθ=a·b/(|a||b|)=24/(√13×2√13)=24/26=12/13，θ=0。

10.π/4

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，計(jì)算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(12+12)=√2，|OQ|=√((-1)2+12)=√2，cosθ=OP·OQ/(|OP||OQ|)=0/(√2×√2)=0，θ=π/4。

三、多選題答案及解析

1.A,C

解析：向量a與向量b的夾角為銳角，則a·b>0，且a與b平行且方向相同時(shí)，夾角為0（銳角），垂直時(shí)夾角為90°（銳角），故選A,C。

2.A,C,D

解析：向量a=(3,4)，|a|=√(32+42)=5，故A正確；向量b=(1,2)，|b|=√(12+22)=√5，故B錯(cuò)誤；a·b=3×1+4×2=11，故C正確；cosθ=11/(5√5)=11/25，故D正確，故選A,C,D。

3.A,B,C,D

解析：向量OP=(2,1)，|OP|=√(22+12)=√5，故A正確；向量OQ=(1,2)，|OQ|=√(12+22)=√5，故B正確；OP·OQ=2×1+1×2=4，故C正確；cosθ=4/(√5×√5)=4/5，故D正確，故選A,B,C,D。

4.A,B,C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，故A正確；向量BA=(1-3,2-0)=(-2,2)，故B正確；向量AB與x軸正方向的夾角θ滿足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)，故C正確；BA與x軸正方向的夾角為π-arctan(2/3)，故D錯(cuò)誤，故選A,B,C。

5.A,C

解析：向量a=(2,1)，向量b=(1,-1)，向量a在向量b上的投影長度=|a·b|/|b|=|2×1+1×(-1)|/√(12+(-1)2)=|1|/√2=√2/2，故A正確；投影長度不可能為√5/2,1,√2，故B,C,D錯(cuò)誤，故選A,C。

6.A,B,C

解析：向量m=(1,0)，向量n=(0,1)，向量m+n=(1,0)+(0,1)=(1,1)，故A正確；向量m與向量m+n的夾角為arctan(1/1)=π/4，故B正確；向量n與向量m+n的夾角為arctan(1/1)=π/4，故C正確；向量n與向量m+n的夾角不可能為π，故D錯(cuò)誤，故選A,B,C。

7.A,B,D

解析：向量a與向量b的夾角為120°，cos120°=-1/2，故B正確；a·b=|a||b|cos120°=3×4×(-1/2)=-6，故D正確；向量a在向量b上的投影長度=|a·b|/|b|=|-6|/4=3/2，不可能為負(fù)數(shù)，故A錯(cuò)誤；a·b=-6，故C錯(cuò)誤，故選B,D。

8.A,B,C

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，故A正確；向量PQ=(1-3,2-0)=(-2,2)，故B正確；向量AB與x軸正方向的夾角θ滿足tanθ=-2/2=-1，θ=arctan(2/3)，故C正確；向量PQ與x軸正方向的夾角為π-arctan(2/3)，故D錯(cuò)誤，故選A,B,C。

9.A,B,C

解析：向量a=(1,1)，|a|=√(12+12)=√2，故A正確；向量b=(-1,1)，|b|=√((-1)2+12)=√2，故B正確；a·b=1×(-1)+1×1=0，故C正確；cosθ=0/√2√2=0，θ=π/2，故D錯(cuò)誤，故選A,B,C。

10.A,B,C

解析：向量OP=(1,1)，|OP|=√(12+12)=√2，故A正確；向量OQ=(-1,1)，|OQ|=√((-1)2+12)=√2，故B正確；OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，故C正確；cosθ=0/(√2×√2)=0，θ=π/4，故D錯(cuò)誤，故選A,B,C。

四、判斷題答案及解析

1.√

解析：向量a與向量b垂直，則它們的夾角為90°，cos90°=0，所以a·b=0，故正確。

2.×

解析：向量a與向量b的夾角為鈍角，則90°<θ<180°，cosθ<0，所以a·b<0，故錯(cuò)誤。

3.√

解析：向量OP=(2,1)，向量OQ=(1,2)，OP·OQ=2×1+1×2=4，|OP|=√(22+12)=√5，|OQ|=√(12+22)=√5，cosθ=4/(√5×√5)=4/5>0，θ<π/2，故為銳角，故正確。

4.×

解析：向量a=(3,4)，|a|=√(32+42)=5；向量b=(1,2)，|b|=√(12+22)=√5，|a|≠|(zhì)b|，故錯(cuò)誤。

5.√

解析：向量a=(1,1)，向量b=(-1,1)，計(jì)算a·b=1×(-1)+1×1=0，cosθ=0/√(12+12)√((-1)2+12)=0/√2√2=0，θ=π/2，故正確。

6.√

解析：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量BA=(1-3,2-0)=(-2,2)，向量AB與向量BA的方向相反，但題目問的是AB與BA的方向是否相同，即AB與BA的夾角是否為0，顯然不為0，故正確。

7.×

解析：向量a在向量b上的投影長度=|a·b|/|b|，分子為a·b的絕對(duì)值，分母為|b|，所以投影長度總是非負(fù)數(shù)，故錯(cuò)誤。

8.√

解析：若向量a與向量b的夾角為0，則a與b同向，|a+b|=|a|+|b|，故正確。

9.√

解析：向量OP=(1,1)，向量OQ=(-1,1)，計(jì)算OP·OQ=1×(-1)+1×1=0，|OP|=√(12+12)=√2，|OQ|=√((-1)2+12)=√2，cosθ=0/(√2×√2)=0，θ=π/2，故正確。

10.√

解析：向量a=(2,3)，向量b=(4,6)，計(jì)算a·b=2×4+3×6=24，|a|=√(22+32)=√13，|b|=√(42+62)=√52=2√13，cosθ=24/(√13×2√13)=24/26=12/13>0，且a與b的比值為(2/4,3/6)=(1/2,1/2)，故a與b共線且方向相同，故正確。

五、問答題答案及解析

1.解：向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，計(jì)算a·b=3×1+4×2=11，|a|=√(32+42)=5，|b|=√(12+22)=√5，cosθ=a·b/(|a||b|)=11/(5√5)=√5/5，θ=arccos(√5/5)。

2.解：向量AB=(3-1,0-2)=(2,-2)，向量AB與x軸正方向的夾角