2026年數(shù)學(xué)奧林匹克競賽選拔試題集一、選擇題（每題3分，共15題）1.已知復(fù)數(shù)z滿足|z|＝2，且z的實部與虛部相等，則z等于（）。A.2B.1＋iC.2iD.-22.函數(shù)f(x)＝x3－3x＋2在區(qū)間[－2，2]上的最大值是（）。A.8B.6C.0D.-83.若實數(shù)x滿足x2＋4x＋3≥0，則x的取值范圍是（）。A.x≤－3或x≥－1B.x∈RC.x≤－1或x≥3D.x∈[－∞，－3]∪[－1，＋∞]4.在△ABC中，若a＝3，b＝4，c＝5，則∠C的大小為（）。A.30°B.45°C.60°D.90°5.數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a?＝1，a_n＝2a_{n-1}（n≥2），則S?等于（）。A.31B.63C.127D.2556.若方程x2－mx＋1＝0的兩根均為正數(shù)，則實數(shù)m的取值范圍是（）。A.m≥2B.m∈(0,2)C.m≤－2D.m∈(2,＋∞)7.在直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋b與圓x2＋y2＝1相切，則k2＋b2的取值范圍是（）。A.[1,＋∞)B.(0,1]C.[1,2]D.(1,＋∞)8.已知f(x)＝sin(x＋α)，若f(π/4)＝√2/2，則α的值可能是（）。A.0B.π/4C.π/2D.3π/49.在五邊形ABCDE中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，則五邊形ABCDE的對角線數(shù)量為（）。A.5B.6C.7D.810.若實數(shù)x滿足x2－2xcosθ＋1＝0有實根，則θ的取值范圍是（）。A.θ∈[0,π]B.θ∈(0,π/2)∪(π/2,π)C.θ∈[0,π/2]∪[π/2,π]D.θ∈(0,π)11.在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，若PA＝2，AB＝3，BC＝4，則點P到直線BC的距離為（）。A.2√5B.√10C.3√2D.412.若函數(shù)f(x)＝x2－2ax＋b在x＝1時取得最小值，則f(2)的值為（）。A.b－1B.b－3C.b＋1D.b＋313.在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，則△ABC的形狀是（）。A.銳角三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.無法確定14.若數(shù)列{a_n}滿足a?＝1，a_n＋1＝(a_n＋1)/a_n（n≥1），則a?的值為（）。A.2B.3C.4D.515.在△ABC中，若a2＝b2＋c2－bc，則∠A的大小為（）。A.30°B.45°C.60°D.90°二、填空題（每題4分，共10題）1.已知f(x)＝|x－1|＋|x＋2|，則f(x)的最小值為________。（答案：3）2.若x－1是多項式f(x)＝x3－ax2＋bx－6的因式，則a＋b的值為________。（答案：5）3.在等差數(shù)列{a_n}中，若a?＝2，a?＝10，則a??的值為________。（答案：18）4.若復(fù)數(shù)z＝1＋i，則z?的虛部為________。（答案：0）5.在直角坐標(biāo)系中，點A(1,2)與點B(3,0)的距離為________。（答案：√8）6.若函數(shù)f(x)＝x2－4x＋3的圖像與x軸交于兩點，則這兩點之間的距離為________。（答案：4）7.在△ABC中，若∠A＝60°，a＝5，b＝7，則c的取值范圍是________。（答案：2＜c＜12）8.若數(shù)列{a_n}滿足a?＝1，a_n＋1＝a_n＋2n（n≥1），則a?的值為________。（答案：25）9.在五邊形ABCDE中，若∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝108°，則五邊形ABCDE的內(nèi)角和為________。（答案：720°）10.若函數(shù)f(x)＝sin(x＋α)在x＝0時的值為1，則α的值可能是________。（答案：2kπ＋π/2，k∈Z）三、解答題（共5題）1.（8分）已知函數(shù)f(x)＝x3－3x2＋2x，求f(x)在區(qū)間[－1，3]上的最大值與最小值。解析：首先求f(x)的導(dǎo)數(shù)：f'(x)＝3x2－6x＋2＝3(x－1)2－1。令f'(x)＝0，得x＝1。計算端點值：f(－1)＝－4，f(1)＝0，f(3)＝6。故最大值為6，最小值為－4。2.（10分）在△ABC中，若a＝3，b＝4，c＝5，求cosA的值。解析：根據(jù)余弦定理：cosA＝(b2＋c2－a2)/(2bc)＝(16＋25－9)/(2×4×5)＝6/40＝3/20。3.（12分）已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，若a?＝1，a_n＝a_{n-1}＋2n（n≥2），求S?的值。解析：由遞推關(guān)系得：a?＝3，a?＝6，a?＝10，a?＝15。S?＝1＋3＋6＋10＋15＝35。4.（10分）在直角坐標(biāo)系中，直線y＝kx＋b與圓x2＋y2＝1相切，求k2＋b2的取值范圍。解析：圓心(0,0)到直線的距離等于半徑1，即|b|/√(k2＋1)＝1，得b2＝k2＋1。故k2＋b2＝k2＋(k2＋1)＝2k2＋1≥1。5.（12分）在△ABC中，若sinA∶sinB∶sinC＝3∶4∶5，求cosA的值。解析：根據(jù)正弦定理：a∶b∶c＝3∶4∶5，設(shè)a