小學(xué)六年級(jí)數(shù)學(xué)舉一反三練習(xí)題解析引言：為何強(qiáng)調(diào)“舉一反三”在六年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要性小學(xué)六年級(jí)，是孩子們數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生涯中一個(gè)承上啟下的關(guān)鍵時(shí)期。這一階段的數(shù)學(xué)知識(shí)，不僅是對(duì)整個(gè)小學(xué)階段所學(xué)內(nèi)容的深化與綜合，更直接影響著他們即將面臨的初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。相較于低年級(jí)，六年級(jí)的數(shù)學(xué)題目更具抽象性和邏輯性，對(duì)學(xué)生的思維能力提出了更高要求?！芭e一反三”作為一種重要的學(xué)習(xí)方法，其核心在于引導(dǎo)學(xué)生從一道例題或一個(gè)知識(shí)點(diǎn)出發(fā)，理解其本質(zhì)規(guī)律，并能將這種理解遷移應(yīng)用到解決其他類似或相關(guān)的問(wèn)題中。這不僅能幫助學(xué)生更高效地掌握知識(shí)，更能培養(yǎng)其獨(dú)立思考、靈活應(yīng)變的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，真正做到“做一題，會(huì)一類，通一片”。本文旨在結(jié)合六年級(jí)數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，通過(guò)具體實(shí)例解析，探討如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“舉一反三”，提升解題能力。一、“舉一反三”的數(shù)學(xué)內(nèi)涵與思維基礎(chǔ)“舉一反三”源自孔子的“舉一隅不以三隅反，則不復(fù)也”，其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的體現(xiàn)，就是要求學(xué)生在理解基本概念、掌握基本方法的基礎(chǔ)上，能夠觸類旁通，靈活運(yùn)用。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)并非簡(jiǎn)單的知識(shí)堆砌，而是一個(gè)不斷構(gòu)建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)、完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過(guò)程。理解概念是“舉一”的前提。任何數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，都離不開對(duì)核心概念的準(zhǔn)確把握。例如，在學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)乘法”時(shí)，學(xué)生首先必須深刻理解“求一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，用乘法計(jì)算”這一核心意義，而不是僅僅記住計(jì)算法則。只有概念清晰，才能為后續(xù)的“反三”提供堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。掌握方法是“反三”的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)方法是解決問(wèn)題的橋梁。六年級(jí)學(xué)生需要掌握的數(shù)學(xué)方法，如轉(zhuǎn)化法、假設(shè)法、數(shù)形結(jié)合法、列表法等，都是實(shí)現(xiàn)“舉一反三”的重要工具。例如，在解決復(fù)雜的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)，畫線段圖的方法能幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)量關(guān)系，從而找到解題的突破口。培養(yǎng)思維的靈活性與深刻性是“舉一反三”的核心目標(biāo)。這要求學(xué)生不僅要“知其然”，更要“知其所以然”。在解題后，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思：這道題考查了什么知識(shí)點(diǎn)？用了什么方法？還有其他解法嗎？如果題目條件發(fā)生變化，結(jié)論會(huì)怎樣？通過(guò)這樣的追問(wèn)，學(xué)生的思維才能得到拓展和深化。二、如何引導(dǎo)學(xué)生實(shí)現(xiàn)“舉一反三”：從例題到變式引導(dǎo)學(xué)生“舉一反三”，教師和家長(zhǎng)的角色至關(guān)重要。這需要我們?cè)谌粘］o導(dǎo)中，有意識(shí)地進(jìn)行方法滲透和思維訓(xùn)練。（一）吃透“一”：深刻理解母題的本質(zhì)“舉一”是基礎(chǔ)，這個(gè)“一”必須具有代表性和典型性。在講解例題時(shí)，不能滿足于讓學(xué)生聽懂答案，更要引導(dǎo)他們分析題目中的已知條件、未知量、數(shù)量關(guān)系以及所運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想方法。例如，在學(xué)習(xí)“已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)”的分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題時(shí)：*母題：小明看一本故事書，已經(jīng)看了全書的3/5，正好是60頁(yè)。這本故事書一共有多少頁(yè)？*引導(dǎo)分析：1.找出關(guān)鍵句：“已經(jīng)看了全書的3/5”。2.確定單位“1”：全書的頁(yè)數(shù)是單位“1”，且單位“1”的量是未知的。3.數(shù)量關(guān)系：全書的頁(yè)數(shù)×3/5=已經(jīng)看的頁(yè)數(shù)（60頁(yè)）。4.列方程解答：設(shè)全書有x頁(yè)，則(3/5)x=60。5.或者根據(jù)除法的意義，已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾是多少，求這個(gè)數(shù)用除法：60÷(3/5)=60×(5/3)=100（頁(yè)）。*強(qiáng)調(diào)：這里的核心是理解“已知部分量和它對(duì)應(yīng)的分率，求單位‘1’的量”用除法，或者設(shè)單位“1”為x，列方程求解。（二）觸類旁通，實(shí)現(xiàn)“反三”在深刻理解母題的基礎(chǔ)上，通過(guò)改變題目中的條件、問(wèn)題或情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行變式練習(xí)，從而達(dá)到“反三”的目的。變式一：改變敘述方式，但數(shù)量關(guān)系不變。*小明看一本故事書，已經(jīng)看了全書的3/5，還剩下40頁(yè)沒(méi)有看。這本故事書一共有多少頁(yè)？*引導(dǎo)：這里的“還剩下40頁(yè)”對(duì)應(yīng)的分率是多少呢？（1-3/5=2/5），同樣是已知部分量（40頁(yè)）和其對(duì)應(yīng)的分率（2/5），求單位“1”。變式二：改變單位“1”的量。*小明看一本故事書，第一天看了全書的1/4，第二天看了全書的1/5，兩天一共看了36頁(yè)。這本故事書一共有多少頁(yè)？*引導(dǎo)：這里的單位“1”還是全書的頁(yè)數(shù)，但部分量是兩天看的總和，對(duì)應(yīng)的分率也是兩天分率的總和（1/4+1/5）。變式三：從分?jǐn)?shù)問(wèn)題拓展到百分?jǐn)?shù)問(wèn)題。*某工廠四月份生產(chǎn)零件2000個(gè)，比三月份增產(chǎn)了25%。三月份生產(chǎn)零件多少個(gè)？*引導(dǎo)：這里的“增產(chǎn)了25%”是指四月份比三月份多生產(chǎn)的是三月份的25%，單位“1”是三月份的產(chǎn)量（未知）。數(shù)量關(guān)系：三月份產(chǎn)量×(1+25%)=四月份產(chǎn)量（2000個(gè)）。這與分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題的解題思路是完全一致的，只是將分?jǐn)?shù)換成了百分?jǐn)?shù)。通過(guò)這樣的變式訓(xùn)練，學(xué)生就能明白，無(wú)論題目如何變化，只要抓住“單位‘1’的量是否已知”以及“部分量與對(duì)應(yīng)分率（百分率）的關(guān)系”這一核心，就能找到解題的通用方法。三、典型題型“舉一反三”實(shí)例解析下面，我們選取六年級(jí)數(shù)學(xué)中幾個(gè)典型的重難點(diǎn)題型，進(jìn)行“舉一反三”的實(shí)例解析。（一）分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)復(fù)合應(yīng)用題母題：某商店同時(shí)賣出兩件商品，每件各得30元，但其中一件賺了20%，另一件虧本20%。這個(gè)商店賣出這兩件商品是賺錢還是虧本？具體是多少？解析：要判斷是賺錢還是虧本，需要先求出兩件商品的成本價(jià)，再與賣出的總價(jià)（30×2=60元）比較。1.第一件商品（賺了20%）：賺了20%，是指售價(jià)比成本價(jià)多20%。設(shè)成本價(jià)為x元。x+20%x=30或x(1+20%)=30解得x=30÷1.2=25（元）2.第二件商品（虧本20%）：虧本20%，是指售價(jià)比成本價(jià)少20%。設(shè)成本價(jià)為y元。y-20%y=30或y(1-20%)=30解得y=30÷0.8=37.5（元）3.總成本：25+37.5=62.5（元）4.總售價(jià)：30×2=60（元）5.比較：62.5>60，所以虧本了，虧了62.5-60=2.5（元）。反三啟示：*關(guān)鍵：利潤(rùn)率（虧損率）都是相對(duì)于成本價(jià)而言的，所以必須先找到各自的成本價(jià)。*延伸：若題目中兩件商品的利潤(rùn)率和虧損率相同，且售價(jià)相同，則結(jié)果必然是虧本。因?yàn)橘嵉哪羌杀镜?，虧的那件成本高，相同的百分率下，虧的錢更多。變式題：某商店同時(shí)賣出兩件商品，售價(jià)都是120元。其中一件盈利50%，另一件虧損25%。問(wèn)商店賣出這兩件商品總體是盈利還是虧損？盈利或虧損多少元？（*提示：方法與母題完全一致，先求各自成本。第一件成本：120÷(1+50%)=80元；第二件成本：120÷(1-25%)=160元。總成本240元，總售價(jià)240元，不賺不虧？*不，120×2=240，總成本80+160=240，確實(shí)不賺不虧。這個(gè)變式能讓學(xué)生明白結(jié)果并非絕對(duì)，需具體計(jì)算。）（二）比和比例的應(yīng)用母題：甲、乙兩個(gè)書架上書的本數(shù)比是2:5，甲書架上的書增加360本后，甲、乙兩個(gè)書架上書的本數(shù)比是5:8。這兩個(gè)書架現(xiàn)在共有多少本書？解析：題目中，乙書架上書的本數(shù)沒(méi)有發(fā)生變化，是解決問(wèn)題的關(guān)鍵（不變量）。1.原來(lái)：甲:乙=2:5=(2×8):(5×8)=16:402.現(xiàn)在：甲:乙=5:8=(5×5):(8×5)=25:40（將乙的份數(shù)統(tǒng)一為40份，方便比較甲的變化）3.甲書架增加的份數(shù)：25-16=9（份），對(duì)應(yīng)360本。4.每份的本數(shù)：360÷9=40（本）5.現(xiàn)在總份數(shù)：25+40=65（份）6.現(xiàn)在總本數(shù)：65×40=2600（本）反三啟示：*關(guān)鍵：在比例變化問(wèn)題中，尋找“不變量”是常用策略，可以是其中一個(gè)量不變，也可以是和不變或差不變。通過(guò)統(tǒng)一不變量的份數(shù)，求出一份量，進(jìn)而求解。*延伸：若題目中是兩個(gè)量都發(fā)生變化，但它們的和不變或差不變，同樣可以用統(tǒng)一份數(shù)的方法。變式題：六年級(jí)（1）班男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是5:4，轉(zhuǎn)來(lái)1名女生后，男生人數(shù)與女生人數(shù)的比是6:5。六年級(jí)（1）班原來(lái)有多少名學(xué)生？（*提示：男生人數(shù)不變。原來(lái)男:女=5:4=30:24；后來(lái)男:女=6:5=30:25。女生增加1份對(duì)應(yīng)1人，原來(lái)總?cè)藬?shù)30+24=54份，即54人。*）（三）圖形的周長(zhǎng)與面積（以圓和組合圖形為例）母題：一個(gè)圓形花壇的直徑是10米，在它的周圍修一條寬1米的環(huán)形小路。這條小路的面積是多少平方米？解析：環(huán)形小路的面積=外圓面積-內(nèi)圓面積（花壇面積）。1.內(nèi)圓半徑：10÷2=5（米）2.外圓半徑：5+1=6（米）3.小路面積：πR2-πr2=π(R2-r2)=3.14×(62-52)=3.14×(36-25)=3.14×11=34.54（平方米）反三啟示：*關(guān)鍵：理解環(huán)形面積的計(jì)算方法是“大圓面積減小圓面積”。明確內(nèi)圓半徑和外圓半徑（或直徑、周長(zhǎng)）。*延伸：對(duì)于更復(fù)雜的組合圖形面積，通常采用“割補(bǔ)法”、“平移法”、“容斥原理”等，將其轉(zhuǎn)化為基本圖形的面積和或差。變式題：一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是8厘米，在它的內(nèi)部畫一個(gè)最大的圓，求這個(gè)圓與正方形之間的陰影部分面積。（*提示：陰影部分面積=正方形面積-圓面積。正方形邊長(zhǎng)即圓的直徑。*）四、培養(yǎng)“舉一反三”能力的日常建議1.重視概念理解，而非死記硬背：引導(dǎo)孩子用自己的話復(fù)述概念、公式的含義和推導(dǎo)過(guò)程。2.鼓勵(lì)多角度思考，尋求多種解法：對(duì)于同一道題，鼓勵(lì)孩子嘗試不同的解題思路，比較哪種方法更簡(jiǎn)便、更通用。3.錯(cuò)題整理與反思：建立錯(cuò)題本，不僅要記錄錯(cuò)誤答案和正確解法，更要分析錯(cuò)誤原因，思考這道題考查了什么，下次如何避免。錯(cuò)題是“反三”的重要素材。4.主動(dòng)編題與改編題目：在熟練掌握某類題型后，可以鼓勵(lì)孩子嘗試自己編一道類似的題目，或者將現(xiàn)有題目進(jìn)行條件或問(wèn)題的改編，這是“舉一反三”的高級(jí)階段。5.聯(lián)系生活實(shí)際，學(xué)以致用：數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。引導(dǎo)孩子發(fā)現(xiàn)生活中的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并用所學(xué)知識(shí)解決，能極大提升學(xué)習(xí)興趣和應(yīng)用能力。6.耐心引導(dǎo)，允許試錯(cuò)：培養(yǎng)“舉一反三”的能力非一日之功，當(dāng)孩子遇到困難時(shí)，不要急于給出答案，要耐心引導(dǎo)他們思考，允許他們?cè)趪L試中犯錯(cuò)