試卷類型：A高二上學期學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題2026.2注意事項：1.答題前，考生務必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號?姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.5 B.6 C.7 D.82.已知空間向量，若，則（）A B. C. D.3.如圖，直角坐標系中有3條圓錐曲線，其離心率分別為，則的大小關(guān)系為（）A. B.C. D.4.已知直線與垂直，則的值為（）A. B. C. D.5.在平行六面體中，為上一點，且，若，則的值分別為（）A. B. C. D.6.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線，一條平行于軸的光線從點發(fā)出，經(jīng)上的點反射后，再經(jīng)上的另一點反射經(jīng)過點射出，若，則點的橫坐標為（）A.7 B.6 C.5 D.47.某學校開設(shè)三類選修課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學報名參加學習，每位同學僅報一類課程，每類課程至少有一位同學參加，其中甲同學只選擇類課程，則不同的報名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種8.已知橢圓，雙曲線，若的兩條漸近線與的四個交點和的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則的方程為（）A. B.C. D.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知正四棱臺，則（）A.直線與異面B.直線與相交C.平面平面D.10.已知圓，圓則（）A.當時，圓與內(nèi)含B.圓關(guān)于直線對稱圓的方程為C.若圓與圓恰有三條公切線，則D.若圓與相交，則公共弦長最大值為211.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，點在側(cè)面上運動，則（）A.當在線段上時，直線與所成角的范圍為B.當在線段上時，的最小值為C.當為線段的中點時，過點與垂直的平面截正方體所得截面的面積為D.若是線段上一動點，則使平面的點的軌跡長度為三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中含項的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）.13.已知二面角的棱上有兩點，，若二面角的大小為，且，則__________.14.如圖，將兩個完全相同圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），在兩個圓錐內(nèi)分別放入球，它們與圓錐的每條母線都相切，兩球半徑分別為，且，若平面與兩球相切于兩點，則直線與平面所成角的正弦值為__________，若平面與圓錐側(cè)面的交線是以為焦點的雙曲線一部分，則該雙曲線的實軸長為__________．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在直四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.16.已知點，圓，以為直徑的圓與相交于兩點.（1）求的方程及的值；（2）若直線與平行，且上到的距離為1的點有且僅有兩個，求直線截距的取值范圍.17.已知雙曲線：的左?右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）設(shè)是上動點，直線和分別與直線交于點.若與的面積相等，求點的坐標.18.如圖1，在直角梯形中，，是的中點，.將沿翻折至的位置，連接，如圖2.（1）若平面平面，證明：；（2）當幾何體的體積取得最大值時.（i）求點到平面的距離；（ii）若為棱上的動點，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求的值.19.已知橢圓可由橢圓繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到.經(jīng)過（）變換：可將橢圓的方程轉(zhuǎn)化為的方程.（1）若上的點經(jīng)過（*）變換后得到上的對應點的坐標為，求的值；（2）設(shè)橢圓的焦點為（其中在第一象限）.（i）求的坐標；（ii）過在第一象限內(nèi)的頂點作切線，過作軸的垂線，在上且在外的一點作的兩條切線，切點分別為，直線和分別交直線于兩點.證明：直線和的交點在定直線上.試卷類型：A高二上學期學業(yè)質(zhì)量監(jiān)測數(shù)學試題2026.2注意事項：1.答題前，考生務必在試題卷?答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號?姓名.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束，考生必須將試題卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.若，則（）A.5 B.6 C.7 D.8【答案】B【解析】【分析】利用組合數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】由，利用組合數(shù)的性質(zhì)有.故選：B.2.已知空間向量，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由空間向量共線的條件知，存在實數(shù)，使得，結(jié)合空間向量的坐標運算可得答案【詳解】依題意，設(shè)，則，即，解得，，所以故選：D3.如圖，直角坐標系中有3條圓錐曲線，其離心率分別為，則的大小關(guān)系為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的離心率與圖形的關(guān)系即可判斷.【詳解】設(shè)三條曲線的方程為（），其中相同,離心率由圖可知，短半軸，因此，即.兩邊同除以，得，即.故選：B4.已知直線與垂直，則的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直得，解出即可求解.【詳解】由題意得：，解得，故選：A.5.在平行六面體中，為上一點，且，若，則的值分別為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由題意得：，利用空間向量基本定理即可求解.【詳解】由題意得：，所以，所以，故選：C.6.拋物線有如下光學性質(zhì)：過焦點的光線經(jīng)拋物線反射之后得到的光線平行于拋物線的對稱軸；反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必過拋物線的焦點.已知拋物線，一條平行于軸的光線從點發(fā)出，經(jīng)上的點反射后，再經(jīng)上的另一點反射經(jīng)過點射出，若，則點的橫坐標為（）A.7 B.6 C.5 D.4【答案】A【解析】【分析】利用拋物線的光學性質(zhì)：平行于對稱軸的光線經(jīng)拋物線反射后必過焦點.結(jié)合拋物線的定義，將線段和轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，從而求解點的橫坐標.【詳解】拋物線的焦點為，準線為.由軸，，得，則，利用拋物線定義轉(zhuǎn)化線段和根據(jù)光學性質(zhì)，反射光線必過焦點.所以，因為光線必過焦點，所以光線經(jīng)拋物線反射后平行于軸射出，由拋物線定義可知，，已知，所以，即，化簡得：.故選：A7.某學校開設(shè)三類選修課程，現(xiàn)有甲?乙?丙?丁?戊五位同學報名參加學習，每位同學僅報一類課程，每類課程至少有一位同學參加，其中甲同學只選擇類課程，則不同的報名方法有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】【分析】根據(jù)甲同學的選擇情況，結(jié)合每類課程至少有一位同學參加的條件，分情況討論其他同學的報名方法，再利用分類加法計數(shù)原理計算出不同的報名方法總數(shù).【詳解】情況一：類課程只有甲同學參加，此時剩下乙、丙、丁、戊四位同學要報名、兩類課程，且每類課程至少有一位同學參加，先將四位同學分成兩組，有兩種分法：按分組，有種分法；按分組，有種分法；再將分好的兩組同學全排列，安排到、兩類課程中，有種排法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的報名方法有種；情況二：類課程除甲同學外還有一位同學參加，從乙、丙、丁、戊四位同學中選一位同學和甲一起參加類課程，有種選法；剩下三位同學要報名、兩類課程，且每類課程至少有一位同學參加，將三位同學分成兩組，有種分法，再將分好的兩組同學全排列，安排到、兩類課程中，有種排法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的報名方法有種；情況三：類課程除甲同學外還有兩位同學參加，從乙、丙、丁、戊四位同學中選兩位同學和甲一起參加類課程，有種選法；剩下兩位同學要報名、兩類課程，有種排法；根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，這種情況下的報名方法有種；根據(jù)分類加法計數(shù)原理，將上述三種情況的報名方法數(shù)相加，可得不同的報名方法共有種..故選：C.8.已知橢圓，雙曲線，若的兩條漸近線與的四個交點和的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則的方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線及正六邊形的性質(zhì)，設(shè)漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點為，求出其坐標，再由點在橢圓上求出的值，結(jié)合雙曲線中的數(shù)量關(guān)系以及點在漸近線上求出，即得雙曲線方程.【詳解】如圖點為雙曲線的右焦點，設(shè)漸近線與橢圓在第一象限內(nèi)的交點為，設(shè)雙曲線的半焦距為，則，依題意，為正三角形，則，因點在橢圓上，則得，解得，又因為點在雙曲線的漸近線上，可得，即，因，聯(lián)立解得，，故的方程為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9.已知正四棱臺，則（）A.直線與異面B.直線與相交C.平面平面D.【答案】ABD【解析】【分析】A項，異面直線判定定理可得；B項，同一平面內(nèi)的兩條直線只有平行與相交，反證法證明；C項，可證這兩平面是相交；D項，利用垂直的傳遞性可證【詳解】對于A，由圖知，平面，平面，平面,，故直線與異面，A正確對于B，如圖，反證法證明直線與相交，若∥，則又∥，所以四邊形為平行四邊形，故，而正四棱臺的與顯然不相等，故與不平行，所以直線與相交，B正確對于C，如圖，平面即平面，而平面與平面有公共點D，故平面與平面是相交的關(guān)系，C錯誤對于D，正四棱臺的棱∥且，可得，D正確.故選：ABD10.已知圓，圓則（）A.當時，圓與內(nèi)含B.圓關(guān)于直線對稱的圓的方程為C.若圓與圓恰有三條公切線，則D.若圓與相交，則公共弦長的最大值為2【答案】BD【解析】【分析】過圓心距判斷兩圓位置關(guān)系分析A；利用點的對稱變換求圓的對稱方程分析B；根據(jù)公切線條數(shù)對應的位置關(guān)系求解分析C；結(jié)合圓的弦長性質(zhì)與直線過圓心條件求，驗證相交關(guān)系分析D.【詳解】由題意得：圓，所以圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，對于A，當時，，所以圓與圓外離，故A錯誤；對于B，圓心關(guān)于直線的對稱點為，半徑保持不變，所以對稱的圓的方程為，故B正確；對于C，若圓與圓恰有三條公切線，所以圓與圓外切，所以，解得，故C錯誤；對于D，由圓，圓，兩方程相減得公共弦所在直線方程為，當公共弦長最大時，公共弦為圓的直徑（長度為2），所以直線過圓心，所以，解得，所以，所以，所以兩圓相交，公共弦存在，故公共弦長的最大值為2，故D正確.故選：BD.11.在棱長為2的正方體中，分別為的中點，點在側(cè)面上運動，則（）A.當在線段上時，直線與所成角的范圍為B.當在線段上時，的最小值為C.當為線段的中點時，過點與垂直的平面截正方體所得截面的面積為D.若是線段上一動點，則使平面的點的軌跡長度為【答案】ACD【解析】【分析】先建立空間直角坐標系，對各選項分別運用向量夾角公式、兩點間距離公式、共面向量定理等，結(jié)合坐標計算與幾何分析，逐一判斷其正誤.【詳解】如圖所示，建立空間直角坐標系，，，，，，，，，，；選項A：當在線段上時，設(shè)，，；直線與所成角的余弦為，，，，代入夾角余弦公式化簡后得，，令，當時，，對其求導得，故單調(diào)減，當時，，對其求導得，故單調(diào)增，閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的最值一定在區(qū)間端點或極值點處取得，時，，時，，此時對應的夾角為，是的極小值點，，對應的夾角為，因此，對應的夾角范圍為，選項A正確；選項B：當在線段上時，設(shè)，，，令，則：，令，則，則單調(diào)遞增；的最小值等價于的最小值，是開口向上的二次函數(shù)，對稱軸為，將其代入得，則，選項B錯誤；選項C：當為中點時，；，，，又，則與垂直，，則與垂直，則可以確定當為線段的中點時，過點與垂直的平面是，邊長，邊長，邊長，這是一個等腰三角形，底邊，高為，故截面面積為：，選項C正確；選項D：取平面的兩個不共線向量，，，令，，則，依據(jù)共面向量定理，，代入坐標得：，在側(cè)面上，代入，當時，，得點，當時，，得點，，選項D正確.故選：ACD三?填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中含項的系數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）.【答案】【解析】【分析】利用二項式展開的通項公式，求出項對應的值，再計算該項的系數(shù).【詳解】二項式的展開式通項公式為.令，則含項的系數(shù)為.故答案為：13.已知二面角的棱上有兩點，，若二面角的大小為，且，則__________.【答案】【解析】【分析】將向量分解為，利用向量模長公式展開計算，結(jié)合二面角的大小得到向量夾角，進而求出的長度.【詳解】由題意可知，且，，二面角的大小為，故與的夾角為，與的夾角為，與的夾角為.所以因此.故答案為：14.如圖，將兩個完全相同的圓錐對頂放置（兩圓錐的軸重合），在兩個圓錐內(nèi)分別放入球，它們與圓錐的每條母線都相切，兩球半徑分別為，且，若平面與兩球相切于兩點，則直線與平面所成角的正弦值為__________，若平面與圓錐側(cè)面的交線是以為焦點的雙曲線一部分，則該雙曲線的實軸長為__________．【答案】①.②.【解析】【分析】作出截面圖，由線面夾角的定義可知就是直線與平面所成角，再求其正弦值即可；由雙曲線定義及切線性質(zhì)可知，，再利用相似三角形性質(zhì)和勾股定理求即可．【詳解】根據(jù)題意，截面圖如下，過作交于，兩母線相交于點，其中一母線與兩圓相切于，，，則四邊形為矩形，，，由題可知，就是直線與平面所成角，其正弦值為；雙曲線上，且，，（為雙曲線實半軸長），易知，，，，，則，即該雙曲線實軸長為．故答案為：，．四?解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.在直四棱柱中，底面是邊長為1的正方形，.（1）證明：平面；（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用直四棱柱的性質(zhì)，證明垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線和，從而證明線面垂直；（2）建立空間直角坐標系，求出兩個半平面的法向量，再通過法向量的夾角求出二面角的余弦值.【小問1詳解】因為底面是正方形，所以.又因為，所以.因為直四棱柱中，側(cè)棱底面，且底面，所以.又因為，且平面，所以平面.【小問2詳解】以為原點，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系.則，，，.平面的一個法向量：，，設(shè)，則，取，得.平面的一個法向量：，，設(shè)，則，取，得，，即..設(shè)二面角為，由圖可知為銳角，則.16.已知點，圓，以為直徑的圓與相交于兩點.（1）求的方程及的值；（2）若直線與平行，且上到的距離為1的點有且僅有兩個，求直線截距的取值范圍.【答案】（1），.（2）【解析】【分析】（1）先求出圓的圓心和半徑，再根據(jù)的中點和長度得到圓的方程；兩圓公共弦的長度可通過兩圓方程相減得到直線的方程，再計算到的距離，結(jié)合勾股定理求解.（2）由的斜率得到直線的斜率，設(shè)出直線的方程，根據(jù)到的距離為的點有且僅有兩個，可知圓心到直線的距離滿足，進而求出截距的取值范圍.【小問1詳解】圓可化為，所以圓心，半徑.已知，則的中點為，，所以圓的半徑.圓的方程為：展開得：，即.將圓與的方程相減，得到公共弦的方程：，化簡得：.圓心到直線的距離為：.由勾股定理，，故.【小問2詳解】直線的方程為，斜率為，故直線的斜率也為.設(shè)直線的方程為，即.因為上到的距離為的點有且僅有兩個，所以圓心到直線的距離滿足：，即.圓心到直線的距離為：因此：.即，解得.17.已知雙曲線：的左?右焦點分別為，離心率為，且經(jīng)過點.（1）求的方程；（2）設(shè)是上的動點，直線和分別與直線交于點.若與的面積相等，求點的坐標.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率公式和已知點坐標，列出關(guān)于的方程組，解出，得到雙曲線方程；（2）設(shè)出點的坐標，求出直線與的交點，利用面積相等的條件列出方程，結(jié)合雙曲線方程求解點的坐標.小問1詳解】由題意得，解得，所以雙曲線的方程為.【小問2詳解】設(shè)點，則，已知，，則.直線的方程為，令，可得，直線的方程為，令，得，則.因為，即，所以點到直線的距離.因為與的面積相等，所以，即.代入可得：因為，所以，即.由可得：當時，展開化簡得，解得.將代入，解得.當時，展開化簡得，此方程的判別式，方程無解.所以點的坐標為或.18.如圖1，在直角梯形中，，是的中點，.將沿翻折至的位置，連接，如圖2.（1）若平面平面，證明：；（2）當幾何體的體積取得最大值時.（i）求點到平面的距離；（ii）若為棱上的動點，當直線與平面所成角的正弦值最大時，求的值.【答案】（1）證明見解析（2）；【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理先證平面，再由線面平行的性質(zhì)定理即可得證；（2）（i）建立空間直角坐標系，求平面的法向量，利用向量法求距離即可；（ii）設(shè)點，利用四邊形為平行四邊形，先求，進