陜西省商洛市2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.42.在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.14 C.7 D.53.已知直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則直線l方程為（）A. B.C. D.4.在1與81之間插入3個(gè)正數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則該數(shù)列的公比為（）A. B.9 C. D.35.已知F為拋物線焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（）A.6 B.5 C.4 D.6.已知點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，切于A，B兩點(diǎn)，則切線長（）A B. C. D.7.在長方體中，，，E為上一點(diǎn)且，則點(diǎn)C到平面距離為（）A. B. C. D.8.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且，與的離心率分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)在雙曲線右支上，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.雙曲線C的離心率C.雙曲線C的漸近線方程為 D.點(diǎn)到C的漸近線的距離為10.已知直線，圓，點(diǎn)在圓C上，則下列說法正確的是（）A.直線l過定點(diǎn) B.圓心C到直線l距離的最大值是1C.直線l被圓C截得的最短弦長為 D.的取值范圍為11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值為B.直線與直線是異面直線C.點(diǎn)D到直線的距離為D.直線和直線夾角的余弦值為第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為_______.13.數(shù)列滿足，，則_______.14.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線會(huì)散開，但反射光線的反向延長線都經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線，一束光線從C的右焦點(diǎn)射出，經(jīng)過C反射后到達(dá)點(diǎn).則光線從到Q所經(jīng)過的路徑長為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓M的方程；（2）若直線與M交于P，Q兩點(diǎn)，且，求k.16.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.17.已知拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為5.（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.18.如圖，在三棱柱中，平面，.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.19.已知橢圓（）的離心率為，且橢圓C過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C左、右頂點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于點(diǎn)A，B），直線，的斜率分別為，，且.證明：直線l過定點(diǎn).陜西省商洛市2025—2026學(xué)年度第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知向量，，且，則實(shí)數(shù)x的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】由空間垂直向量的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，所以，解得?故選：B.2.在等差數(shù)列中，，則（）A.9 B.14 C.7 D.5【答案】C【解析】【分析】由等差數(shù)列的下標(biāo)和性質(zhì)求解即可.【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：，解得：.故選：C.3.已知直線l過點(diǎn)且與直線垂直，則直線l方程為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直時(shí)斜率的關(guān)系，以及點(diǎn)斜式方程定義，求出結(jié)果即可.【詳解】直線的斜率為，則與它垂直的直線l的斜率為，又直線l過點(diǎn)，，即.故選：A.4.在1與81之間插入3個(gè)正數(shù)，使這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則該數(shù)列的公比為（）A. B.9 C. D.3【答案】D【解析】【分析】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)即可直接求解．【詳解】這5個(gè)數(shù)分別為，則，又這5個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，，.故選：D.5.已知F為拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M在C上，且，則點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為（）A.6 B.5 C.4 D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)拋物線的定義求解．【詳解】由題意及拋物線定義，點(diǎn)M到C的準(zhǔn)線的距離為6，所以點(diǎn)M到y(tǒng)軸的距離為.故選：C．6.已知點(diǎn)是圓外一點(diǎn)，過P作圓C的兩條切線，切于A，B兩點(diǎn)，則切線長（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用切線長公式計(jì)算.【詳解】由題意知，，半徑，則.故選：A7.在長方體中，，，E為上一點(diǎn)且，則點(diǎn)C到平面的距離為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的法向量，再由點(diǎn)到平面的距離公式求解即可.【詳解】如圖所示，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，得，所以點(diǎn)C到平面的距離為，故選：D.8.已知橢圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為，，與在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)為P，且，與的離心率分別為，，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】結(jié)合題意，利用，找到，的關(guān)系，再應(yīng)用均值不等式求的最小值即可.【詳解】設(shè)公共半焦距為，,，因?yàn)闄E圓與雙曲線有相同的焦點(diǎn)，所以，，由橢圓和雙曲線定義可知，，，所以，又因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，?所以（當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)）.故選：A.二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知點(diǎn)在雙曲線的右支上，，是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A. B.雙曲線C的離心率C.雙曲線C的漸近線方程為 D.點(diǎn)到C的漸近線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程確定、、，再根據(jù)雙曲線的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】雙曲線，則、，所以；對(duì)于A：因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線的右支上，所以，故A正確；對(duì)于B：雙曲線C的離心率，故B正確；對(duì)于C：雙曲線C的漸近線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：點(diǎn)，所以點(diǎn)到C的漸近線的距離，故D正確.故選：ABD10.已知直線，圓，點(diǎn)在圓C上，則下列說法正確的是（）A.直線l過定點(diǎn) B.圓心C到直線l距離的最大值是1C.直線l被圓C截得的最短弦長為 D.的取值范圍為【答案】ACD【解析】【分析】求出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)，可判斷A選項(xiàng)；記點(diǎn)，分析可知當(dāng)時(shí)，此時(shí)圓心到直線的距離為取最大值，可求出的最大值，可判斷B選項(xiàng)；利用勾股定理結(jié)合B的結(jié)論可求出直線被圓C截得的弦長最小值，可判斷C選項(xiàng)；令，分析可得直線與圓相切時(shí)取得的最大值和最小值，即可求出取值范圍，可判斷D選項(xiàng).【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，直線方程可化為，由可得，所以直線l過定點(diǎn)，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，設(shè)圓心到直線的距離為，記點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，此時(shí)取最大值，即，故圓心到直線距離的最大值是，B錯(cuò)誤；對(duì)于C選項(xiàng)，設(shè)直線被圓截得的弦長為，則，當(dāng)取最大值，取最小值，則，故直線被圓截得的弦長最小值為，C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，令，則，圓心到直線的距離為，化簡(jiǎn)可得：，解得：，所以的取值范圍為，故D正確.故選：ACD.11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，分別為棱，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.直線與平面所成角的正弦值為B.直線與直線是異面直線C.點(diǎn)D到直線的距離為D.直線和直線夾角的余弦值為【答案】AC【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo).對(duì)于A，寫出向量與平面的法向量，再利用向量夾角公式即可得解；對(duì)于B，，故四點(diǎn)共面，即可判斷；對(duì)于C，利用點(diǎn)到直線距離的向量求法即可得解；對(duì)于D，寫出，再運(yùn)用向量夾角公式，即可得解.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則對(duì)于A：，且易知在正方體中，平面，故平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線與平面所成角為，則有，即直線與平面所成角的正弦值為，故A正確；對(duì)于B：，，故，所以四點(diǎn)共面，因此直線與直線不是異面直線，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：，，故點(diǎn)到直線的距離，故C正確；對(duì)于D：，，設(shè)直線和直線的夾角為，則有，即直線和直線夾角的余弦值為，故D錯(cuò)誤.故選：AC.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若點(diǎn)P是圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線的距離的最大值為_______.【答案】7【解析】【分析】求出圓心到直線的距離，再加上半徑即可.【詳解】因?yàn)閳A圓心為原點(diǎn)，半徑為3，所以到直線的距離為，所以點(diǎn)P到直線的距離的最大值為，故答案為：7.13.數(shù)列滿足，，則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)遞推公式求出前5項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)數(shù)列為周期數(shù)列，結(jié)合數(shù)列周期求解即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，，，，觀察數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，可以發(fā)現(xiàn)數(shù)列是周期為4的數(shù)列：，所以.故答案為：.14.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)是：從一個(gè)焦點(diǎn)發(fā)出的光線，經(jīng)雙曲線反射后，反射光線會(huì)散開，但反射光線的反向延長線都經(jīng)過雙曲線的另一個(gè)焦點(diǎn).已知雙曲線，一束光線從C的右焦點(diǎn)射出，經(jīng)過C反射后到達(dá)點(diǎn).則光線從到Q所經(jīng)過的路徑長為_______.【答案】8【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)即可求解.【詳解】已知雙曲線，可得：，設(shè)光線與雙曲線C的交點(diǎn)為，雙曲線C的左焦點(diǎn)為．所以，由題意知，共線，因?yàn)椋?，故路徑長．故答案為：8.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知圓M經(jīng)過點(diǎn)，，.（1）求圓M的方程；（2）若直線與M交于P，Q兩點(diǎn)，且，求k.【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）設(shè)圓M方程為，將，，代入求出，即可得出圓M的方程.（2）先求出圓心到直線的距離，再由垂徑定理即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)圓M方程為，則，圓M的方程為，或；【小問2詳解】因?yàn)閳A心到直線的距離為，由垂徑定理，得，化簡(jiǎn)可得：，解得.16.已知數(shù)列中，，.（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，證明：.【答案】（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過對(duì)遞推式取倒數(shù)變形，證明數(shù)列是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列，進(jìn)而求出；（2）先寫出的表達(dá)式并裂項(xiàng)，再通過裂項(xiàng)相消求和得到?，最后根據(jù)的表達(dá)式證明.【小問1詳解】證明：由得，所以，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，以3為公差的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】因?yàn)?，所以，所?17.已知拋物線（）上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離為5.（1）求拋物線C的方程；（2）過焦點(diǎn)F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若，求直線l的方程.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線的定義計(jì)算即可求解；（2）設(shè)直線l方程為，，，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理和平面共線向量的坐標(biāo)表示建立關(guān)于的方程，解之即可.【小問1詳解】因?yàn)辄c(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)F的距離為5，所以，所以拋物線C的方程為；【小問2詳解】因?yàn)閽佄锞€焦點(diǎn)，所以設(shè)直線l方程為，，，由消去x，得，所以，，又由，得，所以，，所以，故直線l方程為，即或.18.如圖，在三棱柱中，平面，.（1）求證：平面平面；（2）若，求平面和平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面垂直的性質(zhì)判斷，再利用面面垂直的判定推理.（2）利用（1）中信息，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，再利用線面角的向量求法求解即可.【小問1詳解】證明：因?yàn)槠矫?，平面，所以，又因?yàn)?，，平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平?【小問2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間坐標(biāo)系.由，可設(shè)，，則，，，，，，，，所以.設(shè)平面的法向量為，由，所以取，設(shè)平面的法向量為，由，所以取，設(shè)二面角大小為，所以，故平面和平面夾角的余弦值為.19.已知橢圓（）的離心率為，且橢圓C過點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）橢圓C的左、右頂點(diǎn)分別為A，B兩點(diǎn)，直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（點(diǎn)M，N異于點(diǎn)A，B），直線，的