2025年秋八年級期末考試數(shù)學（北師版）試卷（滿分150分120分鐘完卷）注意事項：1．答題前，先將自己的班級、姓名填寫清楚．2．所有題在答卷規(guī)定的位置作答，在草稿紙、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，將本卷和答卷交監(jiān)考老師．一、選擇題（每小題，共40分）1.下列實數(shù)中是無理數(shù)的為（）A. B. C. D.2.下列各組數(shù)能作為直角三角形三邊長的是（）A.6，7，8 B.9，12，15 C.12，35，36 D.，，3.下列命題中，真命題有（）個①如果兩個角相等，那么它們是對頂角；②聲源振動越快，音調(diào)就越高；③若，那么；④病毒都不能獨立生活．A.1 B.2 C.3 D.44.點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，則的值為（）A. B.2 C.4 D.5.下列說法正確的是（）A.的平方根是 B.64的立方根是4C.若，則 D.的算術(shù)平方根是56.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則的圖象大致為（）A. B.C D.7.古題今解：“今有綾七尺、羅九尺，共價適等；但綾三尺、羅五尺，共價二百八十文．問綾、羅尺價各幾何？”設綾每尺價文，羅每尺價文，根據(jù)條件可列方程組是（）A B.C. D.8.若，，則代數(shù)式的值是（）A. B.11 C.13 D.9.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了著名的“趙爽弦圖”（如圖1）．現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點，得到圖2的“風車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為10，較短直角邊為6，現(xiàn)隨機向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為（）A. B. C. D.10.2025年中國皮劃艇馬拉松公開賽的首戰(zhàn)比賽在我市巴河舉行，甲、乙兩支男子專業(yè)隊均參加了21千米馬拉松賽．比賽槍聲響起，甲、乙兩隊同時出發(fā)．下圖為賽程前12千米甲、乙兩隊和起點的距離s（千米）與時間t（小時）的函數(shù)圖象．下列說法正確的有（）①甲的速度始終比乙的速度快；②甲減速后的速度為11千米/小時；③時，甲、乙兩隊相遇；④或時，甲、乙兩隊相距千米A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④二、填空題（每小題，共1）11.若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是_____．12.若點，，均在一次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是_____（用“<”符號連接）．13.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，且，則為_____．14.在數(shù)學活動課《神奇的加密術(shù)》中，小明設計了一種“平方根加密法”，規(guī)則如下：明文字母明文數(shù)字：將26個英文字母按順序?qū)?到26的整數(shù)（如，，……，）；明文數(shù)字→加密數(shù)字：若設明文數(shù)字為：①計算的算術(shù)平方根，取其整數(shù)部分為；②計算差值：；③加密數(shù)字為：．若收到的加密數(shù)字分別：“34、10、44、24”，則明文字母按序組成的單詞為_____．15.如圖，是邊長為6的等邊三角形，三角形內(nèi)部有一個動點滿足，則周長的最小值為_____．三、解答題（8小題，共9）16.計算：（1）（2）17.如圖，在中，，過點作的垂線，交于點，延長至點，使，連接．（1）求證：；（2）若，，求的面積．18.已知的算術(shù)平方根是4，是8的立方根．（1）求a，b的值；（2）求的值．19.某中學開展航空航天知識問答活動，為了解活動效果，分別從八年級1、2班隨機抽取10名學生的成績（單位：分）進行統(tǒng)計分析，并繪制如圖所示的箱線圖（不完整）．1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100；2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100．八年級1、2班抽取學生的成績統(tǒng)計表班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差1班86.69075118.442班81.44（1）上表中，_____，_____，_____；（2）補全2班的箱線圖；（3）請結(jié)合以上數(shù)據(jù)信息，評價八年級1、2班學生的成績誰更優(yōu)秀，要求用學過的統(tǒng)計量及其意義客觀說明理由．20.我市某中學舉行了“愛心助殘”跳蚤市場活動，小明同學負責幫助本班售賣捐贈的文具．活動第一天，賣出本課外書和本筆記本，共收入元；第二天，他以同樣的定價賣出本課外書和本筆記本，共收入元．所有收入全部捐贈．（1）請問每本課外書和每本筆記本的單價分別是多少？（2）為了盡快籌集更多善款，第三天小明決定對課外書打折售賣．打折后，課外書的銷量比第一天增加了，筆記本銷量與第一天相同，當天總收入比第一天增加了．請問第三天課外書是幾折出售的？21.在平面直角坐標系中，已知點，，，，是否存在點P，使得，且，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．“逐步確定”策略是解決數(shù)學問題的重要思想，請根據(jù)此辦法完成本題：第一步若，則點P橫坐標的值為_____；第二步在第一步的基礎上，求出滿足的所有點P的坐標．22.問題情境：如圖，在中，，，，求的長度．小許同學利用勾股定理求出，老師告訴他：中，根號下含有根號，不是最簡二次根式，還需要繼續(xù)化簡．方法回顧：小許回想到二次根式化簡，；又，；所以將被開方式（數(shù)）化為完全平方式，就可以達到化簡二次根式的目的．方法應用：（1）_____；問題解決：（2）_____；方法遷移：（3）計算：．23.如圖1，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，，點在直線上．（1）求的值和直線的表達式；（2）如圖2，過點作直線軸，若點在直線上，且滿足，求點的坐標；（3）如圖3，點在線段上運動，過點作垂線交軸于點，線段上有一點，使，求的最小值．24.綜合與實踐紙是國際標準紙張尺寸之一，它的長與寬之比為．神奇的是，將紙沿著長邊中點所在直線對折一次，得到的兩張紙，其長與寬之比也為，繼續(xù)對折也有一樣的結(jié)論．數(shù)學課上，老師組織了探究紙中的數(shù)學折疊問題的活動．（1）如圖1，矩形表示一張A4紙，其中．將矩形沿長邊中點所在直線對折，使點與點重合，點與點重合，折痕為，點在上，點在上，請說明矩形的長與寬之比也為．（2）小明在折紙過程中，按以下步驟折出了紙飛機步驟一：如圖2，將紙張沿直線和對折，使得A、B兩點落在直線上的點G處，得到圖3．步驟二：如圖4，將得到的圖形沿直線、對折使得E、F在直線上，得到圖5，紙飛機完成．①請證明步驟二中，折疊后E、F剛好與N點重合；②若原紙張長為，寬為1，請求出紙飛機機翼（即圖5）的面積．（圖6為紙飛機展開后，紙的折痕圖）

2025年秋八年級期末考試數(shù)學（北師版）試卷（滿分150分120分鐘完卷）注意事項：1．答題前，先將自己的班級、姓名填寫清楚．2．所有題在答卷規(guī)定的位置作答，在草稿紙、試卷上答題無效．3．考試結(jié)束后，將本卷和答卷交監(jiān)考老師．一、選擇題（每小題，共40分）1.下列實數(shù)中是無理數(shù)的為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本題考查無理數(shù)的定義，初中階段常見的無理數(shù)形式有：，等、開方開不盡的數(shù)、等這樣有規(guī)律的數(shù)．無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，根據(jù)無理數(shù)定義及常見形式即可得出答案；【詳解】解：A、是無理數(shù)，該選項符合題意；B、是整數(shù)，是有理數(shù)，該選項不符合題意；C、是整數(shù)，是有理數(shù)，該選項不符合題意；D、是有限小數(shù)，是有理數(shù)，該選項不符合題意；故選：A．2.下列各組數(shù)能作為直角三角形三邊長的是（）A.6，7，8 B.9，12，15 C.12，35，36 D.，，【答案】B【解析】【分析】本題考查了勾股定理的逆定理，熟練掌握勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．利用勾股定理的逆定理，進行計算逐一判斷即可解答．【詳解】解：A．∵，，，∴該組不能作為直角三角形三邊長，故不符合題意；B．∵，，，∴該組能作為直角三角形三邊長．C．∵，，，∴該組不能作為直角三角形三邊長．D．∵，，，∴該組不能作為直角三角形三邊長，故選：B．3.下列命題中，真命題有（）個①如果兩個角相等，那么它們是對頂角；②聲源振動越快，音調(diào)就越高；③若，那么；④病毒都不能獨立生活．A.1 B.2 C.3 D.4【答案】B【解析】【分析】本題考查判斷真假命題，涉及數(shù)學，物理、生物等知識，逐項判斷真假即可．【詳解】解：①∵相等的角不一定是對頂角，例如兩直線平行時的同位角相等，但不是對頂角，∴①是假命題；②∵聲源振動越快，頻率越高，音調(diào)越高，這是聲學基本規(guī)律，∴②是真命題；③∵當時，，但，∴“若，那么”不成立，③是假命題；④∵病毒無細胞結(jié)構(gòu)，必須寄生在活細胞內(nèi)才能生活，不能獨立生活，∴④是真命題；綜上，真命題共2個，故選：B．4.點關(guān)于軸對稱的點的坐標為，則的值為（）A. B.2 C.4 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查關(guān)于y軸對稱的點的坐標特征；利用該特征列方程求出m、n的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標相等，橫坐標互為相反數(shù)，又∵點關(guān)于y軸對稱的點的坐標為，∴，，解得，，∴．故選：D．5.下列說法正確的是（）A.平方根是 B.64的立方根是4C.若，則 D.的算術(shù)平方根是5【答案】B【解析】【分析】本題考查平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義，需根據(jù)相關(guān)定義逐一分析各選項的正誤，熟練掌握平方根、立方根、算術(shù)平方根的定義是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：A、是負數(shù)，負數(shù)沒有平方根，故原說法錯誤，不符合題意；B、，即64的立方根是4，故原說法正確，符合題意；C、當時，，，也滿足，故原說法錯誤，不符合題意；D、，故的算術(shù)平方根是，故原說法錯誤，不符合題意；故選：B．6.一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，則的圖象大致為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本題主要考查一次函數(shù)的系數(shù)和圖像性質(zhì)的關(guān)系，熟練掌握性質(zhì)是關(guān)鍵；根據(jù)一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，判斷出，即或，再分別判斷的圖象即可．【詳解】解：∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過第一、三象限，∴，∴、同號，即或，當時，的圖象大致為；當時，，∴選項A符合題意，故選：A．7.古題今解：“今有綾七尺、羅九尺，共價適等；但綾三尺、羅五尺，共價二百八十文．問綾、羅尺價各幾何？”設綾每尺價文，羅每尺價文，根據(jù)條件可列方程組是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】本題考查二元一次方程組的應用，根據(jù)題意找到等量關(guān)系，列出方程是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題目中的兩個等量關(guān)系分別列出方程，組成方程組即可．【詳解】解：綾七尺、羅九尺，共價適等，，綾三尺、羅五尺共價二百八十文，，可列方程組為，故選項C符合題意．故選：C．8.若，，則代數(shù)式的值是（）A. B.11 C.13 D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了二次根式的混合運算，先求出、的值，再將所求式子進行變形，整體代入計算即可得出結(jié)果，熟練掌握運算法則是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴，，∴，故選：D．9.我國漢代數(shù)學家趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出了著名的“趙爽弦圖”（如圖1）．現(xiàn)分別連接大、小正方形的四組頂點，得到圖2的“風車”圖案（陰影部分），若圖1中的四個直角三角形的較長直角邊為10，較短直角邊為6，現(xiàn)隨機向圖2大正方形內(nèi)擲一枚小針，則針尖落在陰影區(qū)域的概率為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本題考查了幾何概率，勾股定理，求出陰影區(qū)域的面積是解題的關(guān)鍵；根據(jù)題意易得，則圖中陰影部分是由中間的小正方形和四個全等三角形組成的，利用三角形和正方形的面積公式計算即可．【詳解】解：如圖，標記字母，由題意可知，，，∴，∴，則中間小正方形的面積為，∴小正方形外陰影部分的面積為，∴陰影部分的面積為，∴針尖落在陰影區(qū)域的概率為，故選：D．10.2025年中國皮劃艇馬拉松公開賽的首戰(zhàn)比賽在我市巴河舉行，甲、乙兩支男子專業(yè)隊均參加了21千米馬拉松賽．比賽槍聲響起，甲、乙兩隊同時出發(fā)．下圖為賽程前12千米甲、乙兩隊和起點的距離s（千米）與時間t（小時）的函數(shù)圖象．下列說法正確的有（）①甲的速度始終比乙的速度快；②甲減速后的速度為11千米/小時；③時，甲、乙兩隊相遇；④或時，甲、乙兩隊相距千米A.①③ B.②③ C.②④ D.②③④【答案】D【解析】【分析】本題考查了一次函數(shù)的應用，正確理解題意是關(guān)鍵．對于①，根據(jù)圖中甲乙兩直線的傾斜角度，即可判斷；對于②，用路程差除以時間差，即可求出甲隊的速度；對于③，根據(jù)相遇時甲乙兩對行駛的距離相等列方程求解即可；對于④，分別求出甲乙兩隊行駛距離s（千米）與時間t（小時）的函數(shù)解析式，并針對和，分別列方程求解即可．【詳解】解：對于①，由圖可知，當時，甲的速度比乙的速度快，當時，甲的速度比乙的速度慢，所以①錯誤；對于②，甲減速后的速度為（千米小時），所以②正確；對于③，乙的速度為（千米小時），根據(jù)題意，得解得所以當時，甲、乙兩隊相遇，所以③正確；對于④，設減速前甲隊的函數(shù)關(guān)系式為，把代入，得，，減速前甲隊的函數(shù)關(guān)系式為，設減速后甲隊的函數(shù)關(guān)系式為，把，代入，得，解得，所以減速后甲隊的函數(shù)關(guān)系式為，設乙隊的函數(shù)解析式為，把代入，得，，所以乙隊的函數(shù)解析式為，當時，令解得（舍去）；當時，令，，或，解得或，所以④正確；綜上所述，說法正確的有②③④．故選：D．二、填空題（每小題，共1）11.若代數(shù)式有意義，則的取值范圍是_____．【答案】【解析】【分析】本題考查二次根式有意義條件，掌握被開方數(shù)必須大于或等于零是解題的關(guān)鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件，被開方數(shù)必須大于或等于零列出不等式求解即可．詳解】解：代數(shù)式有意義，，解得．故答案為：．12.若點，，均在一次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系是_____（用“<”符號連接）．【答案】【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)；當一次函數(shù)的時，y隨著x的增大而減小，即x值越大y值越小，比較各點x值大小可得y值大小關(guān)系．【詳解】解：∵點，，均在一次函數(shù)的圖象上，且，∴y隨著x的增大而減小，即x值越大y值越小，∵，∴．故答案為：．13.已知關(guān)于x，y的二元一次方程組，且，則為_____．【答案】2【解析】【分析】本題考查了解二元一次方程組，將兩個方程相加得出，再結(jié)合得出，求解即可得出結(jié)果，熟練掌握解二元一次方程組的方法是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：，由可得：，∵，∴，解得：，故答案為：．14.在數(shù)學活動課《神奇的加密術(shù)》中，小明設計了一種“平方根加密法”，規(guī)則如下：明文字母明文數(shù)字：將26個英文字母按順序?qū)?到26的整數(shù)（如，，……，）；明文數(shù)字→加密數(shù)字：若設明文數(shù)字為：①計算的算術(shù)平方根，取其整數(shù)部分為；②計算差值：；③加密數(shù)字為：．若收到的加密數(shù)字分別：“34、10、44、24”，則明文字母按序組成的單詞為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查算術(shù)平方根，一元一次方程的應用；根據(jù)加密規(guī)則，對每個加密數(shù)字反向推算明文數(shù)字，再轉(zhuǎn)換為字母即可．【詳解】解：∵，，……，，∴，且為整數(shù)，∴，∵為的整數(shù)部分，∴，且為整數(shù)，∴，∴，當加密數(shù)字為34時，，當時，，解得：，∴，解得：，∵，∴整數(shù)部分正好3，符合題意，∴加密數(shù)字34對應的明文數(shù)字為13，對應的字母為M，當加密數(shù)字為10時，，當時，，解得：，∴，解得：，∵，∴整數(shù)部分正好是1，符合題意，∴加密數(shù)字10對應的明文數(shù)字為1，對應的字母為A，當加密數(shù)字為44時，，當時，，解得：，∴，解得：，∵，∴整數(shù)部分正好是4，符合題意，∴加密數(shù)字44對應的明文數(shù)字為20，對應的字母為T，當加密數(shù)字為24時，，當時，，解得：，∴，解得：，∵，∴整數(shù)部分正好是2，符合題意，∴加密數(shù)字24對應的明文數(shù)字為8，對應的字母為H，綜上：明文字母按序組成的單詞為．故答案為：．15.如圖，是邊長為6的等邊三角形，三角形內(nèi)部有一個動點滿足，則周長的最小值為_____．【答案】【解析】【分析】本題考查了等邊三角形，面積橋，將軍飲馬，勾股定理等知識；先由等邊三角形的邊長求出等邊三角形的高，再由同底三角形面積比等于高的比求出的高度，最后由將軍飲馬和勾股定理求出的最小值，最后求出周長的最小值【詳解】解：如圖，過點作交于點，過點作交于點，作點關(guān)于直線的對稱點為，連接，則為的最小值，∴周長的最小值為，∵是邊長為6的等邊三角形，∴，∵，∴為的中線，∴，∴，∵，設的高為,∴，∴，∵點關(guān)于直線的對稱點為，∴，∵，點關(guān)于直線的對稱點為∴在中，∴周長的最小值為

．故答案為：

．三、解答題（8小題，共9）16.計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】本題考查了實數(shù)的混合運算，涉及乘方運算，絕對值的性質(zhì)，二次根式的加減、乘法及乘法分配律，解題的關(guān)鍵是正確進行相關(guān)運算．先進行乘方運算，化簡絕對值，利用乘法分配律去括號，然后再進行合并即可；（1）先算乘方，絕對值和算術(shù)平方根，再算乘除和加減即可；（2）先利用乘法分配律和分母有理化化簡計算，再合并計算即可．【小問1詳解】解：，；【小問2詳解】解：，．17.如圖，在中，，過點作的垂線，交于點，延長至點，使，連接．（1）求證：；（2）若，，求的面積．【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識點．（1）先由等邊對等角得到，然后證明，則，繼而等量代換即可證明；（2）先證明為等邊三角形，然后勾股定理求解，再由三角形面積公式求解．【小問1詳解】解：又在與中；【小問2詳解】解：由（1）知又為等邊三角形在中，．18.已知的算術(shù)平方根是4，是8的立方根．（1）求a，b的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】本題考查了算術(shù)平方根和立方根的定義，二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的混合運算是關(guān)鍵．（1）根據(jù)算術(shù)平方根和立方根的定義求解即可；（2）先對每個二次根式分母有理化，再進行二次根式的加減運算即可．【小問1詳解】解：的算術(shù)平方根為4，是8的立方根，；，；；【小問2詳解】解：；，原式．19.某中學開展航空航天知識問答活動，為了解活動效果，分別從八年級1、2班隨機抽取10名學生的成績（單位：分）進行統(tǒng)計分析，并繪制如圖所示的箱線圖（不完整）．1班：65，75，75，85，89，91，93，95，98，100；2班：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100．八年級1、2班抽取的學生的成績統(tǒng)計表班級平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)方差1班86.69075118.442班81.44（1）上表中，_____，_____，_____；（2）補全2班的箱線圖；（3）請結(jié)合以上數(shù)據(jù)信息，評價八年級1、2班學生的成績誰更優(yōu)秀，要求用學過的統(tǒng)計量及其意義客觀說明理由．【答案】（1），88，88（2）見解析（3）見解析【解析】【分析】本題考查了畫箱線圖，平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，掌握平均數(shù)、中位數(shù)的計算方法是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平均數(shù)，眾數(shù)和中位數(shù)的計算方法進行求解即可；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)補全2班的箱線圖即可；（3）利用平均數(shù)和方差綜合分析即可．【小問1詳解】解：平均數(shù)；將2班數(shù)據(jù)由小到大排序為：68，75，82，87，88，88，90，92，96，100，∴中位數(shù)；∵數(shù)據(jù)88出現(xiàn)的次數(shù)最多，∴眾數(shù)；故答案為：，88，88；【小問2詳解】解：根據(jù)數(shù)據(jù)補全2班的箱線圖，如圖所示，【小問3詳解】解：八年級1，2班抽取學生成績的平均數(shù)相同，但是2班成績的方差小于1班成績的方差，說明2班整體成績波動相對1班小，穩(wěn)定性好，說明八年級2班的成績相對較好．（答案不唯一）20.我市某中學舉行了“愛心助殘”跳蚤市場活動，小明同學負責幫助本班售賣捐贈的文具．活動第一天，賣出本課外書和本筆記本，共收入元；第二天，他以同樣的定價賣出本課外書和本筆記本，共收入元．所有收入全部捐贈．（1）請問每本課外書和每本筆記本的單價分別是多少？（2）為了盡快籌集更多善款，第三天小明決定對課外書打折售賣．打折后，課外書的銷量比第一天增加了，筆記本銷量與第一天相同，當天總收入比第一天增加了．請問第三天課外書是幾折出售的？【答案】（1）每本課外書的單價為元，每本筆記本單價為元．（2）九折【解析】【分析】本題主要考查了二元一次方程組的應用、一元一次方程的應用．(1)設每本課外書的單價為元，每本筆記本單價為元，根據(jù)賣出本課外書和本筆記本，共收入元；賣出本課外書和本筆記本，共收入元，列方程組求解；(2)設第三天打折，根據(jù)打折后，課外書的銷量比第一天增加了，筆記本銷量與第一天相同，當天總收入比第一天增加了．列一元一次方程求解．【小問1詳解】解：設每本課外書的單價為元，每本筆記本單價為元，由題意得：，解得：，答：每本課外書的單價為元，每本筆記本單價為元；【小問2詳解】解：設第三天打折，由題意得：，解得：，答：打折．21.在平面直角坐標系中，已知點，，，，是否存在點P，使得，且，若存在，請求出點P的坐標，若不存在，請說明理由．“逐步確定”策略是解決數(shù)學問題的重要思想，請根據(jù)此辦法完成本題：第一步若，則點P的橫坐標的值為_____；第二步在第一步的基礎上，求出滿足的所有點P的坐標．【答案】3；或【解析】【分析】本題考查了坐標與圖形的綜合問題，全等三角形的判定與性質(zhì)，分情況討論是關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形全等，可知，，即知點P在線段和的垂直平分線上，即可求得答案；（2）設，分P點在四邊形內(nèi)部和下方兩種情況討論，分別根據(jù)列方程求解即可．【詳解】解：，，，點P在線段和的垂直平分線上，點P的橫坐標的值為．故答案為：3．設，，點P可分兩種情況：①當P點在四邊形內(nèi)部時，，，又，，，，；②當P點在四邊形下方時，，，又，，，，；綜上所述：或．22.問題情境：如圖，在中，，，，求的長度．小許同學利用勾股定理求出，老師告訴他：中，根號下含有根號，不是最簡二次根式，還需要繼續(xù)化簡．方法回顧：小許回想到二次根式化簡，；又，；所以將被開方式（數(shù)）化為完全平方式，就可以達到化簡二次根式的目的．方法應用：（1）_____；問題解決：（2）_____；方法遷移：（3）計算：．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)，二次根式的加減，熟練掌握二次根式的性質(zhì)及二次根式的加減是關(guān)鍵．（1）將配方成，即可得到答案；（2）將配方成，即可得到答案；（3）先對兩個被開方數(shù)配方，再開方求解即可．【詳解】（1）解：．故答案為：．（2）解：．故答案為：．（3）解：原式．23.如圖1，在平面直角坐標系中，直線交軸于點，交軸于點，，點在直線上．（1）求的值和直線的表達式；（2）如圖2，過點作直線軸，若點在直線上，且滿足，求點的坐標；（3）如圖3，點在線段上運動，過點作的垂線交軸于點，線段上有一點，使，求的最小值．【答案】（1），（2）或（3）5．【解析】【分析】本題考查一次函數(shù)與幾何的綜合應用，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，正確的求出函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想進行求