云南普洱市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4.本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.2.已知全集，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.33已知隨機(jī)事件和相互獨(dú)立，且，則（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.94.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)個(gè)1020304050加工時(shí)間4050607090由上表的數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.45.已知向量滿足，則最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.16.已知過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.7.已知函數(shù)的最小值為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)部或表面上，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積為（）A.4 B. C.6 D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則（）A.B.C.的面積為D.外接圓的面積為10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.曲線在點(diǎn)處的切線方程為C.恒成立D.恒成立11.已知橢圓的左，右頂點(diǎn)分別為是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的離心率為B.C.若是的上頂點(diǎn)，則存在點(diǎn)，使得是線段的中點(diǎn)D.當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為是右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)到雙曲線過(guò)第一象限的漸近線的距離為，則的最小值為_(kāi)_________.14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出定義：使得數(shù)列的前項(xiàng)和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)所有的好數(shù)之和為_(kāi)_________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.16已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.17.如圖，在直三棱柱中，是上靠近點(diǎn)的五等分點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若是四棱錐的外接球的球心，求直線BO與平面所成角的正弦值.18.小張拋擲一枚硬幣，若硬幣正面朝上，則得1分；若硬幣背面朝上，則得0分.已知小張的初始積分為0分.記小張重復(fù)拋擲一枚硬幣次后的總得分為．（1）求；（2）當(dāng)奇數(shù)時(shí)，證明：；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率存在的直線與交于兩點(diǎn)，點(diǎn)是以線段為直徑的圓的圓心，點(diǎn)在圓上（在的右邊），且軸，直線與交于另一點(diǎn)，直線與交于另一點(diǎn).（1）證明：圓與的準(zhǔn)線相切；（2）證明：；（3）求.云南普洱市2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷考生注意：1.本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項(xiàng)目填寫(xiě)清楚．3.考生作答時(shí)，請(qǐng)將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選擇題請(qǐng)用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效，在試題卷、草稿紙上作答無(wú)效．4.本卷命題范圍：高考范圍．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，結(jié)合復(fù)數(shù)的意義求解.【詳解】依題意，，由復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，得，解得，所以實(shí)數(shù)的值為.故選：A2.已知全集，集合，則集合中元素的個(gè)數(shù)為（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D【解析】【分析】求解一元一次不等式得到，再結(jié)合補(bǔ)集的性質(zhì)求解即可.【詳解】令，解得，而，則，因?yàn)?，所以，則集合中元素的個(gè)數(shù)為3，故D正確.故選：D3.已知隨機(jī)事件和相互獨(dú)立，且，則（）A.0.4 B.0.6 C.0.7 D.0.9【答案】B【解析】【分析】根據(jù)乘法公式以及并事件的概率求法，即可求得答案.【詳解】因?yàn)槭录拖嗷オ?dú)立，，∴故選：B.4.某車間為了規(guī)定工時(shí)定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)，收集的數(shù)據(jù)如下表所示：零件數(shù)個(gè)1020304050加工時(shí)間4050607090由上表的數(shù)據(jù)求得關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，則（）A.1.1 B.1.2 C.1.3 D.1.4【答案】B【解析】【分析】由表格中的數(shù)據(jù)求得樣本數(shù)據(jù)的樣本中心，代入回歸方程，求得即可.【詳解】由題意得，，因?yàn)榻?jīng)驗(yàn)回歸直線必過(guò)點(diǎn)，即點(diǎn)，所以可得，解得.故選；B5.已知向量滿足，則的最小值為（）A.4 B.3 C.2 D.1【答案】C【解析】【分析】利用數(shù)量積的定義得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律可得，進(jìn)而求出最小值.【詳解】由，得，而，則，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為2.故選：C6.已知過(guò)原點(diǎn)且斜率為的直線與交于、兩點(diǎn)，若，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】分析可知是腰長(zhǎng)為的等腰直角三角形，于是得出圓心到直線的距離，可知直線的方程為，利用點(diǎn)到直線的距離公式可得出關(guān)于的等式，即可解得的值.【詳解】圓心為，半徑為，易知，因?yàn)椋允茄L(zhǎng)為的等腰直角三角形，且，故圓心到直線的距離為，由題意可知直線的方程為，即，由點(diǎn)到直線的距離公式可得，解得.故選：D.7.已知函數(shù)的最小值為，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用基本不等式確定當(dāng)時(shí)的最小值為，再利用當(dāng)時(shí)的最小值為并結(jié)合分離參數(shù)法求解參數(shù)范圍即可.【詳解】由題意得，當(dāng)時(shí)，，由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)解得，此時(shí)的最小值為，符合題意，當(dāng)時(shí)，可得，由題意得的最小值為，則，即恒成立，可得恒成立，令，解得，令，解得，令，解得，當(dāng)時(shí)，可得恒成立，令，則恒成立，可得在上單調(diào)遞增，此時(shí)，得到，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，恒成立，由已知得，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，綜上，可得，即的取值范圍為，故C正確.故選：C8.如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是AB的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在正方體內(nèi)部或表面上，若平面，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所形成的區(qū)域面積為（）A.4 B. C.6 D.【答案】B【解析】【分析】分別取中點(diǎn)，求證平面平面，接著取中點(diǎn)求證四點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面得到平面即為平面，再由題意得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為平面四邊形，求出四邊形為等腰梯形即可計(jì)算求解.【詳解】分別取中點(diǎn)，連接，則由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可知，，所以四邊形、、均為平行四邊形，所以，所以，因?yàn)槠矫妫谄矫嫱?，所以平面，平面，又，所以平面平面，取中點(diǎn)，連接，則，則，所以四點(diǎn)唯一確定一個(gè)平面，所以平面即為平面，所以由題意若平面，則動(dòng)點(diǎn)軌跡為平面四邊形，因?yàn)椋运倪呅螢榈妊菪?，且該梯形的高為，由正方體結(jié)構(gòu)性質(zhì)可得面積為.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，則（）A.B.C.的面積為D.外接圓的面積為【答案】AC【解析】【分析】利用二倍角公式判斷A，利用余弦定理判斷B，利用三角形面積公式判斷C，利用正弦定理求出外接圓的半徑，再結(jié)合圓的面積公式求解面積判斷D即可.【詳解】因?yàn)椋杂啥督枪降?，在中，可得，則，得到，解得，得到，故A正確，對(duì)于B，由題意得，由余弦定理得，解得（負(fù)根舍去），故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，由三角形面積公式得，則的面積為，故C正確，對(duì)于D，設(shè)外接圓的半徑為，外接圓面積為，由正弦定理得，解得，由圓的面積公式得，則外接圓的面積為，故D錯(cuò)誤.故選：AC10.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.曲線在點(diǎn)處的切線方程為C.恒成立D.恒成立【答案】BCD【解析】【分析】利用指數(shù)和對(duì)數(shù)的運(yùn)算化簡(jiǎn)，再利用求導(dǎo)判斷單調(diào)性，利用求導(dǎo)來(lái)求切線斜率，利用導(dǎo)數(shù)來(lái)證明不等式即可作出選項(xiàng)判斷.【詳解】由，得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，故A錯(cuò)誤；由，,可得在點(diǎn)處的切線方程為，故B正確；由，構(gòu)造，則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，即，故恒成立，故C正確；由，求導(dǎo)得，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，所以，即，則，當(dāng)時(shí),上式兩邊取對(duì)數(shù)可得:，則由，可知恒成立，故D正確.故選：BCD11.已知橢圓左，右頂點(diǎn)分別為是上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，直線分別與軸交于點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（）A.的離心率為B.C.若是的上頂點(diǎn)，則存在點(diǎn)，使得是線段的中點(diǎn)D.當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為【答案】ABD【解析】【分析】利用橢圓的離心率公式判斷A，作出符合題意的圖形，并求出直線的方程，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，進(jìn)而結(jié)合在橢圓上求出定值判斷B，利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式結(jié)合點(diǎn)在橢圓上建立方程組，求出進(jìn)而判斷C，將四邊形面積合理拆分并將其表示為一元函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其在處取得最大值，進(jìn)而判斷D即可.【詳解】對(duì)于A，由題意得，則離心率為，故A正確，對(duì)于B，如圖，作出符合題意的圖形，連接，由題意得，，設(shè)，則，，可得的方程為，的方程為，對(duì)于，令，解得，即，對(duì)于，令，解得，即，得到，，故，因?yàn)槭巧衔挥诘谝幌笙迌?nèi)的一點(diǎn)，所以，化簡(jiǎn)得，則，故B正確，對(duì)于C，由題意得，若是線段的中點(diǎn)，則由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，化簡(jiǎn)得，聯(lián)立方程組，解得，即，此時(shí)不在第一象限，即不存在點(diǎn)，使得是線段的中點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，設(shè)四邊形的面積為，由題意得，而，，則，因?yàn)椋獾?，可得，令，則，而，即，令，，令，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得在處取得最大值，即當(dāng)四邊形的面積最大時(shí)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，故D正確.故選：ABD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則__________.【答案】##【解析】【分析】利用三角函數(shù)定義，結(jié)合誘導(dǎo)公式、二倍角的正切公式計(jì)算得解.【詳解】依題意，，所以.故答案為：13.已知雙曲線的左焦點(diǎn)為是右支上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記點(diǎn)到雙曲線過(guò)第一象限的漸近線的距離為，則的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】作出符合題意的圖形，結(jié)合雙曲線的定義對(duì)目標(biāo)式合理轉(zhuǎn)化得則即可.【詳解】如圖，作出符合題意的圖形，作出雙曲線的右焦點(diǎn)，作垂直于漸近線，連接，可得，由題意得，則，由雙曲線的定義得，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)共線時(shí)取等，因?yàn)榇怪庇跐u近線，所以垂直于漸近線，由題意得漸近線方程為，由點(diǎn)到直線的距離公式得，則.故答案為：14.已知數(shù)列的通項(xiàng)公式，給出定義：使得數(shù)列的前項(xiàng)和為正整數(shù)的叫做“好數(shù)”，則在內(nèi)所有的好數(shù)之和為_(kāi)_________.【答案】6108【解析】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算法則求出數(shù)列的前項(xiàng)和，再找到使其為正整數(shù)的，進(jìn)而求和即得.【詳解】依題意，數(shù)列前項(xiàng)和，由正整數(shù)為數(shù)列的“好數(shù)”，得，且為正整數(shù)，由，得，由，得，即，而數(shù)列是遞增數(shù)列，，因此，在內(nèi)所有的好數(shù)之和為.故答案為：6108四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）求函數(shù)在區(qū)間上的值域.【答案】（1）（2）答案見(jiàn)解析（3）【解析】【分析】（1）利用兩角差的正弦公式結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)原函數(shù)，再利用最小正周期公式求解最小正周期即可.（2）利用整體代入法求解單調(diào)區(qū)間即可.（3）利用給定的自變量范圍并結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求解值域即可.【小問(wèn)1詳解】由題意得，則函數(shù)的最小正周期為.【小問(wèn)2詳解】令，解得，令，解得，綜上可得，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問(wèn)3詳解】因?yàn)?，所以，則，即函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)?16.已知函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，分和兩種情況討論其單調(diào)性；（2）結(jié)合第一問(wèn)分和兩種情況討論，應(yīng)用單調(diào)性結(jié)合最小值及零點(diǎn)存在性定理可判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)；【小問(wèn)1詳解】函數(shù)，定義域?yàn)?，則，若，則，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，若，則得；得，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.【小問(wèn)2詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故函數(shù)至多有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且最小值為，，若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則，，所以，即，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上有一個(gè)零點(diǎn)，且函數(shù)在內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn).17.如圖，在直三棱柱中，是上靠近點(diǎn)五等分點(diǎn).（1）證明：平面；（2）若是四棱錐的外接球的球心，求直線BO與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】【分析】（1）分別求證、即可由線面垂直判定定理求證平面；（2）求出圓心位置，建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系，求出和平面的一個(gè)法向量，再由線面角的向量法公式計(jì)算即可得解.【小問(wèn)1詳解】由題可得，所以，即，又由直棱柱性質(zhì)可知平面，平面，所以，因?yàn)榍移矫妫云矫?；【小?wèn)2詳解】分別取中點(diǎn)，連接，則，所以平面，由（1）可知即，連接交于點(diǎn)O，則且為中點(diǎn)，，則由題意可知四棱錐的外接球的球心為點(diǎn)O，取中點(diǎn)，則點(diǎn)為外接圓圓心，連接，則平面，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，所以，為平面的一個(gè)法向量，所以直線BO與平面所成角的正弦值為.18.小張拋擲一枚硬幣，若硬幣正面朝上，則得1分；若硬幣背面朝上，則得0分.已知小張的初始積分為0分.記小張重復(fù)拋擲一枚硬幣次后的總得分為．（1）求；（2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，證明：；（3）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.【解析】【分析】（1）由，再由二項(xiàng)分布的概率公式計(jì)算可得；（2）先設(shè)，將所證不等式轉(zhuǎn)化為，再結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式即可證明；（3）由二項(xiàng)分布的期望公式可得，進(jìn)而可得，再結(jié)合分組求和可得.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槊看螔仈S硬幣正面朝上的概率為，且