高級奧數(shù)演算題目及答案姓名：_____?準考證號：_____?得分：__________

題型及格式參考：

一、選擇題(每題2分，總共10題)

1.如果函數(shù)f(x)=ax^2+bx+c的圖像經(jīng)過點(1,2)和(2,3)，且對稱軸為x=1.5，那么a的值是多少？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

2.已知集合A={x|x^2-3x+2=0}，集合B={x|ax=1}，若A∩B={1}，則a的值是多少？

A.1

B.-1

C.2

D.-2

3.函數(shù)f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是？

A.(0,1)

B.(1,+∞)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)∪(0,1)

4.若復數(shù)z=1+i，則z^3的值是多少？

A.-2

B.2

C.-2i

D.2i

5.在等差數(shù)列{a_n}中，a_1=1，a_5=5，則a_10的值是多少？

A.9

B.10

C.11

D.12

6.圓O的半徑為3，圓心O到直線l的距離為2，則圓O與直線l的位置關(guān)系是？

A.相交

B.相切

C.相離

D.重合

7.若函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值為√2，則x的取值范圍是？

A.[0,π/4]

B.[π/4,π/2]

C.[π/2,π]

D.[π,3π/2]

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=6，則邊AC的值是多少？

A.3√2

B.3√3

C.6√2

D.6√3

9.若拋物線y^2=2px的焦點為(1,0)，則p的值是多少？

A.2

B.-2

C.1

D.-1

10.在五邊形ABCDE中，若角A=108°，角B=108°，角C=108°，角D=108°，角E=108°，則五邊形ABCDE的形狀是？

A.正五邊形

B.平行四邊形

C.梯形

D.不規(guī)則五邊形

二、填空題(每題2分，總共10題)

1.若函數(shù)f(x)=x^3-ax+1在x=1處取得極值，則a的值是多少？

2.已知集合A={x|x^2-5x+6=0}，集合B={x|x<4}，則A∩B的元素個數(shù)是？

3.函數(shù)f(x)=2^x-1在(0,+∞)上的值域是？

4.若復數(shù)z=2+3i，則|z|的值是多少？

5.在等比數(shù)列{b_n}中，b_1=2，b_4=16，則b_2的值是多少？

6.圓O的方程為x^2+y^2=9，直線l的方程為x+y=5，則圓O與直線l的交點個數(shù)是？

7.若函數(shù)f(x)=tan(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞增，則x的取值范圍是？

8.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊AC=4，則邊BC的值是多少？

9.若橢圓的標準方程為x^2/9+y^2/4=1，則橢圓的焦距是多少？

10.在六邊形ABCDEF中，若角A=120°，角B=120°，角C=120°，角D=120°，角E=120°，角F=120°，則六邊形ABCDEF的形狀是？

三、多選題(每題2分，總共10題)

1.下列函數(shù)中，在(0,+∞)上單調(diào)遞增的有？

A.f(x)=x^2

B.f(x)=log(x)

C.f(x)=e^x

D.f(x)=sin(x)

2.下列復數(shù)中，模長為5的有？

A.3+4i

B.1+i√24

C.-5

D.2i

3.下列數(shù)列中，是等差數(shù)列的有？

A.{a_n}，其中a_n=n+1

B.{b_n}，其中b_n=2^n

C.{c_n}，其中c_n=3n-1

D.{d_n}，其中d_n=n^2

4.下列命題中，正確的有？

A.圓的方程為x^2+y^2=r^2，則圓的半徑為r

B.拋物線的方程為y^2=4px，則拋物線的焦點為(p,0)

C.橢圓的方程為x^2/a^2+y^2/b^2=1，則橢圓的長軸為2a

D.雙曲線的方程為x^2/a^2-y^2/b^2=1，則雙曲線的焦點為(±√(a^2+b^2),0)

5.下列函數(shù)中，在(0,π)上單調(diào)遞減的有？

A.f(x)=cos(x)

B.f(x)=-x^2

C.f(x)=log(x)

D.f(x)=tan(x)

6.下列圖形中，是正多邊形的有？

A.正三角形

B.正方形

C.正五邊形

D.平行四邊形

7.下列命題中，正確的有？

A.在等差數(shù)列中，若a_1=1，d=2，則a_10=19

B.在等比數(shù)列中，若b_1=2，q=3，則b_5=162

C.在等差數(shù)列中，若a_1=5，a_5=9，則d=1

D.在等比數(shù)列中，若b_1=1，b_4=16，則q=2

8.下列命題中，正確的有？

A.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=6，則△ABC是直角三角形

B.在△ABC中，若角A=30°，角B=60°，邊AB=4，則△ABC是等邊三角形

C.在△ABC中，若角A=90°，角B=45°，邊BC=6，則△ABC是等腰直角三角形

D.在△ABC中，若角A=60°，角B=60°，邊AC=4，則△ABC是等邊三角形

9.下列命題中，正確的有？

A.在圓O中，若弦AB與弦CD相交于點E，則AE·EB=CE·ED

B.在圓O中，若弦AB與直徑CD相交于點E，則AE·EB=CE·ED

C.在圓O中，若切線PA與弦AB相交于點A，則PA^2=PB·PC

D.在圓O中，若切線PA與直徑CD相交于點A，則PA^2=PB·PC

10.下列命題中，正確的有？

A.在五邊形ABCDE中，若角A=108°，角B=108°，角C=108°，角D=108°，角E=108°，則五邊形ABCDE是正五邊形

B.在六邊形ABCDEF中，若角A=120°，角B=120°，角C=120°，角D=120°，角E=120°，角F=120°，則六邊形ABCDEF是正六邊形

C.在正方形ABCD中，若邊AB=4，則對角線AC=4√2

D.在正三角形ABC中，若邊AB=4，則高AD=2√3

四、判斷題(每題2分，總共10題)

1.函數(shù)f(x)=x^3在(-∞,+∞)上單調(diào)遞增。

2.集合A={x|x^2-4x+3=0}與集合B={1,2,3}相等。

3.函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最小正周期為2π。

4.復數(shù)z=1+i的模長為√2。

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=1，a_5=9，則公差d=2。

6.圓x^2+y^2=4與直線x+y=4相切。

7.函數(shù)f(x)=tan(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞增。

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊BC=6，則△ABC是直角三角形。

9.拋物線y^2=4x的焦點為(1,0)。

10.正五邊形的每個內(nèi)角為108°。

五、問答題(每題2分，總共10題)

1.求函數(shù)f(x)=x^2-4x+3的單調(diào)遞增區(qū)間。

2.已知集合A={x|x>1}，集合B={x|x<3}，求A∩B。

3.求函數(shù)f(x)=sin(x)+cos(x)的最大值及取得最大值時的x值。

4.若復數(shù)z=a+bi，且|z|=5，求a^2+b^2的值。

5.在等差數(shù)列{a_n}中，若a_1=2，a_4=10，求a_10的值。

6.求圓x^2+y^2=9與直線x+y=6的交點坐標。

7.求函數(shù)f(x)=tan(x)在(0,π)上的不連續(xù)點。

8.在△ABC中，若角A=60°，角B=45°，邊AC=6，求邊BC的長度。

9.求拋物線y^2=8x的焦點和準線方程。

10.證明正五邊形的每個內(nèi)角都等于108°。

試卷答案

一、選擇題答案及解析

1.C解析：對稱軸為x=1.5，即-b/2a=1.5，得到b=-3a。又因為圖像經(jīng)過點(1,2)，代入得2=a(1)^2+b(1)+c，即a-3a+c=2，得到c=2+2a。再代入點(2,3)，得3=a(2)^2+b(2)+c，即4a-6a+2+2a=3，解得a=1。

2.A解析：集合A={1,2}，集合B={x|ax=1}，若A∩B={1}，則1在集合B中，得到a=1。

3.B解析：函數(shù)f(x)=log_a(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增，則a>1。

4.A解析：z^3=(1+i)^3=1+3i+3i^2+i^3=1+3i-3-i=-2+2i，取實部得-2。

5.C解析：等差數(shù)列中，a_5=a_1+4d，a_10=a_1+9d。由a_1=1，a_5=5，得5=1+4d，解得d=1。則a_10=1+9(1)=10。

6.A解析：圓心到直線的距離小于半徑，則相交。

7.A解析：f(x)=√2sin(x+π/4)，最大值為√2時，x+π/4=π/2+2kπ，解得x=π/4+2kπ，k為整數(shù)。取k=0，得x∈[0,π/4]。

8.A解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB=c/sinC。設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。則a/sin60°=6/sin45°，解得a=6√2sin60°/sin45°=3√2。

9.A解析：拋物線y^2=2px的焦點為(1,0)，則p/2=1，解得p=2。

10.A解析：正五邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°，每個內(nèi)角為540°/5=108°。

二、填空題答案及解析

1.-3解析：f'(x)=3x^2-a，在x=1處取得極值，則f'(1)=0，即3(1)^2-a=0，解得a=3。

2.2解析：A={2,3}，B=(-∞,4)，則A∩B={2}。

3.(1,+∞)解析：f(x)=2^x-1在(0,+∞)上單調(diào)遞增，且f(0)=0，故值域為(1,+∞)。

4.5解析：|z|=√(2^2+3^2)=√13。

5.4解析：等比數(shù)列中，b_4=b_1q^3，由b_1=2，b_4=16，得16=2q^3，解得q=2。則b_2=b_1q=2(2)=4。

6.2解析：聯(lián)立方程組x^2+y^2=9和x+y=5，消去y得2x^2+10x-16=0，解得x=1或x=-8。對應的y值分別為4和-3。故交點為(1,4)和(-8,-3)。

7.(0,π/2)解析：tan(x)在(0,π/2)上單調(diào)遞增。

8.4√3解析：由正弦定理，a/sinA=b/sinB。設(shè)BC=a，AC=b。則a/sin60°=4/sin30°，解得a=4sin60°/sin30°=4√3。

9.2√5解析：橢圓的焦距為2√(a^2-b^2)=2√(9-4)=2√5。

10.正六邊形解析：正六邊形的每個內(nèi)角都相等，且內(nèi)角和為(6-2)×180°=720°，每個內(nèi)角為720°/6=120°。

三、多選題答案及解析

1.A,C解析：f(x)=x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞增，f(x)=e^x在(0,+∞)上單調(diào)遞增。

2.A,B解析：|3+4i|=5，|1+i√24|=√(1+24)=5。

3.A,C解析：{a_n}中a_n-a_(n-1)=n-(n-1)=1，是等差數(shù)列；{c_n}中c_n-c_(n-1)=3n-1-[3(n-1)-1]=3，是等差數(shù)列。

4.A,C,D解析：圓的半徑為r，拋物線y^2=4px的焦點為(p,0)，橢圓x^2/a^2+y^2/b^2=1的長軸為2a，雙曲線x^2/a^2-y^2/b^2=1的焦點為(±√(a^2+b^2),0)。

5.A,B解析：f(x)=cos(x)在(0,π)上單調(diào)遞減，f(x)=-x^2在(0,+∞)上單調(diào)遞減。

6.A,B,C解析：正三角形、正方形、正五邊形都是正多邊形。

7.A,B,C解析：等差數(shù)列中a_10=a_1+9d=2+9(2)=20，等比數(shù)列中b_5=b_1q^4=1(2^4)=16，等差數(shù)列中a_5=a_1+4d=5+4(1)=9。

8.A,C,D解析：由正弦定理和余弦定理，可求出各邊長和角度，驗證三角形類型。

9.A,B,C,D解析：均為圓的性質(zhì)。

10.A,B,C,D解析：均為正多邊形的性質(zhì)。

四、判斷題答案及解析

1.正確解析：f'(x)=3x^2>0，故單調(diào)遞增。

2.正確解析：A={1,3}，B={1,2,3}，不相等。

3.正確解析：周期為2π。

4.正確解析：|z|=√(1^2+1^2)=√2。

5.正確解析：a_5=a_1+4d，9=1+4d，解得d=2。

6.正確解析：圓心到直線距離為|0+0-6|/√(1^2+1^2)=3√2，小于半徑2，相交。

7.正確解析：f'(x)=1/cos^2(x)>0，故單調(diào)遞增。

8.錯誤解析：由正弦定