§4用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征4.1樣本的數(shù)字特征明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.能用樣本估計(jì)總體的集中趨勢(shì)參數(shù)(平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù))．2.理解集中趨勢(shì)參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．3.能用樣本估計(jì)總體的離散程度參數(shù)(極差、方差、標(biāo)準(zhǔn)差)．4.理解離散程度參數(shù)的統(tǒng)計(jì)含義．能用樣本估計(jì)總體的取值規(guī)律.1.通過理解數(shù)字特征的意義，增強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)．2.通過樣本的數(shù)字特征的應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)據(jù)分析和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).(一)教材梳理填空(1)平均數(shù)：是指一組數(shù)據(jù)的平均值．(2)中位數(shù)：將一組數(shù)據(jù)按

的順序排列后，“

”的那個(gè)數(shù)據(jù)為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)，它使數(shù)據(jù)被分成的兩部分的數(shù)據(jù)量是

的．(3)眾數(shù)：是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)

的數(shù)據(jù)．(4)極差：是數(shù)據(jù)中最大值和最小值的

，它計(jì)算簡(jiǎn)單，但沒有充分利用其他數(shù)據(jù)．從小到大中間一樣最多差(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)一組數(shù)據(jù)中的平均數(shù)和中位數(shù)都不一定是原數(shù)據(jù)中的數(shù)．

(

)(2)若改變一組數(shù)據(jù)中其中的一個(gè)數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)都會(huì)發(fā)生改變．

(

)(3)若一組數(shù)據(jù)的值大小相等，沒有波動(dòng)變化，則標(biāo)準(zhǔn)差為0. (

)(4)標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越集中；標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各個(gè)樣本數(shù)據(jù)在樣本平均數(shù)周圍越分散．

(

)√×√×2．七位評(píng)委為某跳水運(yùn)動(dòng)員打出的分?jǐn)?shù)如下：84,79,86,87,84,93,84.則這組分?jǐn)?shù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是

(

)A．84,85

B．84,84C．85,84 D．85,85答案：B3．為評(píng)估一種農(nóng)作物的種植效果，選了n塊地作試驗(yàn)田．這n塊地的畝產(chǎn)量(單位：kg)分別為x1，x2，…，xn，下面給出的指標(biāo)中可以用來評(píng)估這種農(nóng)作物畝產(chǎn)量穩(wěn)定程度的是

(

)A．x1，x2，…，xn的平均數(shù)

B．x1，x2，…，xn的標(biāo)準(zhǔn)差C．x1，x2，…，xn的最大值

D．x1，x2，…，xn的中位數(shù)答案：B答案：A5．已知一組數(shù)據(jù)7.5,8.0,8.4,7.8,8.3，那么這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為________．答案：8.0題型一眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的計(jì)算

【學(xué)透用活】[典例1]

(1)一組樣本數(shù)據(jù)為19,23,12,14,14,17,10,12,18,14,27，則這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)分別為

(

)A．14,14

B．12,14C．14,15.5 D．12,15.5(2)已知10名工人生產(chǎn)同一零件，生產(chǎn)的件數(shù)分別是16,18,15,11,16,18,18,17,15,13，設(shè)其平均數(shù)為a，中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則有(

)A．a(chǎn)＞b＞cB．a(chǎn)＞c＞b

C．c＞a＞b D．c＞b＞a[方法技巧]平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的計(jì)算方法平均數(shù)一般是根據(jù)公式來計(jì)算的；計(jì)算眾數(shù)、中位數(shù)時(shí)，可先將這組數(shù)據(jù)按從小到大或從大到小的順序排列，再根據(jù)各自的定義計(jì)算．提醒：如果樣本平均數(shù)遠(yuǎn)大于樣本中位數(shù)，說明數(shù)據(jù)中存在較大的極端值．

【對(duì)點(diǎn)練清】1．某學(xué)習(xí)小組在一次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各1人，則該學(xué)習(xí)小組成績(jī)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)分別是

(

)A．85分，85分，85分 B．87分，85分，86分C．87分，85分，85分

D．87分，85分，90分2．某校在一次學(xué)生演講比賽中，共有7個(gè)評(píng)委，學(xué)生最后得分為去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分的平均分．某學(xué)生所得分?jǐn)?shù)為9.6,9.4,9.6,9.7,9.7,9.5,9.6，這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是________，該學(xué)生最后得分為________．題型二方差和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算

【學(xué)透用活】[典例2]甲、乙兩機(jī)床同時(shí)加工直徑為100cm的零件，為檢驗(yàn)質(zhì)量，各從中抽取6件測(cè)量，數(shù)據(jù)如下：甲：99

100

98

100

100

103乙：99

100

102

99

100

100(1)分別計(jì)算兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)及方差；(2)根據(jù)計(jì)算結(jié)果判斷哪臺(tái)機(jī)床加工零件的質(zhì)量更穩(wěn)定．[方法技巧]標(biāo)準(zhǔn)差、方差的意義(1)標(biāo)準(zhǔn)差、方差描述了一組數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)波動(dòng)的大小．標(biāo)準(zhǔn)差、方差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差、方差越小，數(shù)據(jù)的離散程度越?。畼?biāo)準(zhǔn)差的大小不會(huì)超過極差．(2)標(biāo)準(zhǔn)差、方差的取值范圍：[0，＋∞)．標(biāo)準(zhǔn)差、方差為0時(shí)，樣本各數(shù)據(jù)相等，說明數(shù)據(jù)沒有波動(dòng)幅度，數(shù)據(jù)沒有離散性．

2．抽樣統(tǒng)計(jì)甲、乙兩位射擊運(yùn)動(dòng)員的5次訓(xùn)練成績(jī)(單位：環(huán))，結(jié)果如下：則成績(jī)較為穩(wěn)定(方差較小)的那位運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的方差為________．運(yùn)動(dòng)員第1次第2次第3次第4次第5次甲8791908993乙8990918892題型三數(shù)據(jù)的數(shù)字特征的綜合應(yīng)用

[探究發(fā)現(xiàn)](1)對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)該從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？提示：用平均數(shù)反映數(shù)據(jù)的平均水平，用眾數(shù)反映數(shù)據(jù)的最大集中點(diǎn)，用中位數(shù)反映數(shù)據(jù)的集中趨勢(shì)和一般水平，用標(biāo)準(zhǔn)差或方差反映數(shù)據(jù)的離散程度．(2)對(duì)比兩組數(shù)據(jù)時(shí)，要從哪幾個(gè)方面進(jìn)行？提示：從眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和方差等幾個(gè)方面．

【學(xué)透用活】[典例3]在一次科技知識(shí)競(jìng)賽中，兩組學(xué)生的成績(jī)?nèi)缦卤恚赫?qǐng)根據(jù)你所學(xué)過的統(tǒng)計(jì)知識(shí)，進(jìn)一步判斷這兩個(gè)組在這次競(jìng)賽中的成績(jī)誰優(yōu)誰劣，并說明理由．分?jǐn)?shù)5060708090100人數(shù)甲組251013146乙組441621212(3)甲、乙兩組成績(jī)的中位數(shù)、平均數(shù)都是80分．其中，甲組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分)的有33人，乙組成績(jī)?cè)?0分以上(包括80分)的有26人．從這一角度看，甲組的成績(jī)較好．(4)從成績(jī)統(tǒng)計(jì)表看，甲組成績(jī)大于或等于90分的有20人，乙組成績(jī)大于或等于90分的有24人，所以乙組成績(jī)集中在高分段的人數(shù)多．同時(shí)，乙組得滿分的人數(shù)比甲組得滿分的人數(shù)多6人．從這一角度看，乙組的成績(jī)較好．[方法技巧]數(shù)據(jù)分析的要點(diǎn)(1)要正確處理此類問題，首先要抓住問題中的關(guān)鍵詞語，全方位地進(jìn)行必要的計(jì)算、分析，而不能習(xí)慣性地僅從樣本方差的大小去決定哪一組的成績(jī)好，像這樣的實(shí)際問題還得從實(shí)際的角度去分析．(2)在進(jìn)行數(shù)據(jù)分析時(shí)，不同的標(biāo)準(zhǔn)沒有對(duì)和錯(cuò)的問題，也不存在唯一解的問題，而是根據(jù)需要來選擇“好”的決策，至于決策的好壞，是根據(jù)提出的標(biāo)準(zhǔn)而定的．

【對(duì)點(diǎn)練清】某校擬派一名跳高運(yùn)動(dòng)員參加一項(xiàng)校際比賽，對(duì)甲、乙兩名跳高運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行了8次選拔比賽，他們的成績(jī)(單位：m)如下：甲：1.70,1.65,1.68,1.69,1.72,1.73,1.68,1.67.乙：1.60,1.73,1.72,1.61,1.62,1.71,1.70,1.75.經(jīng)預(yù)測(cè)，跳高1.65m就很可能獲得冠軍．該校為了獲取冠軍，可能選哪位選手參賽？若預(yù)測(cè)跳高1.70m方可獲得冠軍呢？顯然，甲的平均成績(jī)高于乙的平均成績(jī)，而且甲的方差小于乙的方差，說明甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定．由于甲的平均成績(jī)高于乙，且成績(jī)穩(wěn)定，所以若跳高1.65m就很可能獲得冠軍，應(yīng)派甲參賽．在這8次選拔賽中乙有5次成績(jī)?cè)?.70m以上，雖然乙的平均成績(jī)不如甲，成績(jī)的穩(wěn)定性也不如甲，但成績(jī)突破1.70m的可能性大于甲，所以若跳高1.70m方可獲得冠軍，應(yīng)派乙參賽.【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．甲、乙兩種冬小麥試驗(yàn)品種連續(xù)5年的平均單位面積產(chǎn)量如下(單位：t/km2)：若某村要從中引進(jìn)一種冬小麥大量種植，給出你的建議．

第1年第2年第3年第4年第5年甲9.89.910.11010.2乙9.410.310.89.79.8分析以上解答是否正確，若不正確，請(qǐng)指出錯(cuò)誤之處，并給出正確解題過程．提示：解答錯(cuò)誤，原因是只比較了兩種冬小麥的平均產(chǎn)量而忽略了冬小麥產(chǎn)量穩(wěn)定性的討論．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．某校高一(1)(2)班各有49名學(xué)生，兩班學(xué)生在一次數(shù)學(xué)測(cè)試(滿分100分)中的成績(jī)(單位：分)統(tǒng)計(jì)如下表：(1)請(qǐng)你對(duì)下面的一段話給予簡(jiǎn)要分析：高一(1)班的小剛回家對(duì)媽媽說：“昨天的數(shù)學(xué)測(cè)試中，全班的平均分為79分，得70分的人最多，我得了85分，在班里算是上游了．”(2)請(qǐng)你根據(jù)表中的數(shù)據(jù)分析兩班的測(cè)試情況，并提出教學(xué)建議．班級(jí)平均分眾數(shù)中位數(shù)標(biāo)準(zhǔn)差高一(1)班79708719.8高一(2)班7970795.2解：(1)由高一(1)班成績(jī)的中位數(shù)是87分可知，85分排在25名以后，從名次上講并不能說85分在班里是上游，但也不能從這次