1、數(shù)據(jù)、模型與決策,丁邦俊dingbangjunmba,1,飛機(jī)票超售問題分析,2,問題的背景,2017年4月9日下午5:40分，從芝加哥OHare國(guó)際機(jī)場(chǎng)飛往肯塔基州Lousville的聯(lián)合航空United Airlines 3411次航班出現(xiàn)了超額訂票的情況，為讓4名機(jī)組人員能于翌日抵達(dá)路易斯威爾，以為隔日的航班做準(zhǔn)備，便在機(jī)上尋求4名自愿下機(jī)的乘客，承諾賠償400美元及一夜酒店住宿，但加至800美元都無人放棄登機(jī)，地勤隨后以最高1000美元征集志愿者，但無人同意，航空公司決定用電腦隨機(jī)抽出4人 。 （順便提示：波音 737-300 共128個(gè)座位；波音 737-8

2、00 共167個(gè)座位）,3,虹橋機(jī)場(chǎng)超售機(jī)票事件,2000年夏秋之交上海一家電視臺(tái)播出一段新聞：某航空公司（為敘述方便，以下簡(jiǎn)稱G公司）一架從上海飛往加拿大的某城市的飛機(jī)，由于賣出的機(jī)票超過了座位數(shù)，造成35人不能登機(jī)，乘客十分不滿。G公司的一位經(jīng)理當(dāng)場(chǎng)接受電視臺(tái)的采訪，大意如下： 記者：您認(rèn)為超額賣飛機(jī)票的方法對(duì)嗎？ 經(jīng)理：這是國(guó)外航空公司的慣例。 記者：那么您知道應(yīng)該超賣多少?gòu)垟?shù)才合理呢？ 經(jīng)理：我不知道。,4,誠(chéng)然，超額賣飛機(jī)票的做法是國(guó)外航空公司的慣例，因?yàn)榭赡軙?huì)有一些乘客不來登機(jī)，就會(huì)造成航空公司的損失。萬一來人超過了座位總數(shù)，就會(huì)造成個(gè)別乘客不能登機(jī)的現(xiàn)象。當(dāng)這一現(xiàn)象發(fā)生時(shí)，國(guó)外航

3、空公司常常會(huì)宣布：“誰愿意等待本公司下一班飛機(jī)，公司將贈(zèng)送一張本公司航班（任何兩地、任何時(shí)間的來回機(jī)票一張作為補(bǔ)償，或者賠錢200美元）”。至于誤餐誤宿，當(dāng)然照賠。 假如G公司這架飛機(jī)是波音747400，有408個(gè)座位。再假設(shè)訂座而不來登機(jī)的客人占所有訂座客人的比率為p，p是一個(gè)很小的數(shù)字，可能與航空公司有關(guān)，它可以從過去的數(shù)據(jù)中統(tǒng)計(jì)出來。,5,機(jī)票超售管理問題,問題1：設(shè)p=1.5%超賣的張數(shù)為m，試尋找m，使得到機(jī)場(chǎng)的乘客全部能登機(jī)的概率大于99，如果p上升到2或下降到1，情況又如何呢？ 問題2：假設(shè)p=1.5%，超賣的張數(shù)為m=10，那么至少又3位乘客不能登機(jī)的概率有多少呢？ 問題3：回

4、答了前面兩個(gè)問題后，您如何評(píng)價(jià)G公司的這一事件？請(qǐng)您告訴這位經(jīng)理“應(yīng)該賣多少?gòu)垟?shù)才合理”。（順便說，現(xiàn)在35人不能登機(jī)，您能估計(jì)超賣數(shù)m嗎？ 問題4：國(guó)外也有發(fā)生大量乘客不能登機(jī)，以至不得不用抽簽的辦法來確定誰不能上飛機(jī)（當(dāng)然航空公司也要賠償）。比如去年“協(xié)和”飛機(jī)發(fā)生的空難事件，當(dāng)時(shí)有17人因?yàn)榭蜐M而不能登機(jī)，從而逃脫了鬼門關(guān)，航空公司竟然多賣了17張飛機(jī)票（或者說至少17張）！您能對(duì)此作些解釋嗎？ 問題5：如果把賠償?shù)慕痤~考慮進(jìn)去，航空公司該怎樣考慮超賣飛機(jī)票的問題呢？,6,基本假設(shè),假如G公司的飛機(jī)有75個(gè)座位； 假設(shè)訂座而不來登機(jī)的客人占所有訂座位人數(shù)的比率為p, p是一個(gè)很小的數(shù)字。

5、可以根據(jù)歷史資料估計(jì)出來,7,航班空座位的分布,8,比率p的估計(jì),空位數(shù)是3時(shí)，20個(gè)航班共有4個(gè)航班，能否認(rèn)為p=4/20=0.20 ? P的正確估計(jì)應(yīng)該為,9,售機(jī)票的學(xué)問,現(xiàn)在我們用估計(jì)值 來求二次分布的P(3)，即有3個(gè)空座位的概率,假如該航空公司決定每個(gè)航班售出78張機(jī)票，同時(shí)假定未乘飛機(jī)的乘客是從全部乘客中隨機(jī)抽出的樣本，那么來乘飛機(jī)的超過75人的概率是多少？,10,售機(jī)票的學(xué)問,這樣，若每個(gè)航班售出78張機(jī)票，在登機(jī)時(shí)因座位已滿而無法登機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)是0.046，即平均每100個(gè)航班中會(huì)有4.6個(gè)航班發(fā)生這種風(fēng)險(xiǎn)。,這個(gè)問題就是求在售出的78張機(jī)票中，來乘飛機(jī)的達(dá)76人、77人和78人

6、的概率，即,11,航空公司在考慮不同的方案時(shí)也考慮每個(gè)航班售80張機(jī)票，顯然座位已滿無法登機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)會(huì)更大。在n=80時(shí)，二項(xiàng)分布的分布律已經(jīng)給出：,售票數(shù)Y 概率 P(Y) 售票數(shù)Y 概率 P(Y) 80 0.00 73 0.15 79 0.01 72 0.12 78 0.03 71 0.08 77 0.07 70 0.05 76 0.11 69 0.03 75 0.15 68 0.02 74 0.17 67 0.01,這時(shí)發(fā)生有票而無法登機(jī)的風(fēng)險(xiǎn)增加到,12,售機(jī)票的學(xué)問,預(yù)定80張機(jī)票的方案是否可行，不僅要看無法登機(jī)風(fēng)險(xiǎn)的大小，最主要的是需要計(jì)算平均機(jī)會(huì)損失（Expected Opport

7、unity Loss,簡(jiǎn)記為EOL），即在某種方案下的平均損失額（在經(jīng)濟(jì)學(xué)與機(jī)會(huì)成本中的概念相同）。若來登機(jī)的乘客人數(shù)少于75人，每空一個(gè)座位就損失1000元人民幣。反之，若登機(jī)人數(shù)超過75人，則按照一般慣例，無法登機(jī)的乘客可以得到2000元人民幣，即除退還1000元機(jī)票費(fèi)用，還賠償同樣價(jià)格的損失費(fèi)用。,13,平均機(jī)會(huì)損失,平均機(jī)會(huì)損失=損失的各種可能性 相應(yīng)損失的大小之和 例子：若一項(xiàng)投資贏利100萬的可能性為0.8 虧損50萬的可能性為0.2 則 如果不投資不贏利也不虧本 而平均機(jī)會(huì)損失=100X0.8+(-50)X0.2 =70萬,14,按照這一原則就得到如下EOL的計(jì)算表：,y P(y

8、) g(y) g(y)P(y) 80 0.00 10,000 0 79 0.01 8,000 80 78 0.03 6,000 180 77 0.07 4,000 280 76 0.11 2,000 220 75 0.15 0 0 74 0.17 1,000 170 73 0.15 2,000 300 72 0.12 3,000 360 71 0.08 4,000 320 70 0.05 5,000 250 69 0.03 6,000 180 68 0.02 7,000 140 67 0.01 8,000 80 合計(jì) 1.00 EOL=2560（元）,15,售機(jī)票的學(xué)問,現(xiàn)在我們已經(jīng)算出每個(gè)航

9、班預(yù)計(jì)80個(gè)座位的平均機(jī)會(huì)損失是2560元，那么若采取保守穩(wěn)健的方式，即只預(yù)定75張機(jī)票，平均機(jī)會(huì)損失是多少？由于在這種情況下只會(huì)發(fā)生空座位的損失而無超過75人登機(jī)的賠付，因而機(jī)會(huì)損失是線性的： 機(jī)會(huì)損失=OL=1000(75-Y) 則有E(OL)=100075-E(Y) =100075-75(0.92) =6000（元） 另外一種更簡(jiǎn)潔的算法是購(gòu)票后沒來登機(jī)的平均數(shù)為 每一個(gè)座位損失1000元，則10006=6000（元）。,16,經(jīng)過對(duì)這兩個(gè)方案的比較，顯然售80張機(jī)票比僅售75張更好一些，每個(gè)航班可以減少3440元的損失。若一年365天每天飛一個(gè)航班，售80張機(jī)票比僅售75張機(jī)票多收入3440365 = 1255660元。那么預(yù)售機(jī)票方案的EOL：,n EOL n EOL 84 5130 79 2830 83 4020 78 3415 82 3170 77 4200 81 2665 76 5058 80 2560 75 6000,經(jīng)計(jì)算，我們得到最低的機(jī)會(huì)損失n=80,17,2,售機(jī)票的學(xué)問,18,進(jìn)一步討論,另外一種求最優(yōu)n的方法是：在n為多少時(shí)平均會(huì)有75人登機(jī)，即,用這種簡(jiǎn)單的方法得到的最優(yōu)n=81.5或82，但我們實(shí)際計(jì)算的最優(yōu)n=80，原因是什么呢？（思考）,19,售機(jī)票的學(xué)問,這個(gè)案例應(yīng)用了