1、2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學理試題（湖南卷，含答案）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 1.設集合M=-1,0,1，N=x|x2x，則MN=A.0 B.0,1 C.-1,1 D.-1,0,0【答案】B2.命題“若=，則tan=1”的逆否命題是A.若，則tan1 B. 若=，則tan1C. 若tan1，則 D. 若tan1，則=【答案】C3.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖均如圖1所示，則該幾何體的俯視圖不可能是【答案】D4.設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)（xi，

2、yi）（i=1，2，n），用最小二乘法建立的回歸方程為=0.85x-85.71，則下列結(jié)論中不正確的是A.y與x具有正的線性相關關系B.回歸直線過樣本點的中心（，）C.若該大學某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD.若該大學某女生身高為170cm，則可斷定其體重比為58.79kg【答案】D5. 已知雙曲線C ：-=1的焦距為10 ，點P （2,1）在C 的漸近線上，則C的方程為A-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1【答案】A6. 函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域為 A -2 ,2 B.-, C.-1,1 D.- , 【答案】B7. 在ABC中，AB=2，AC=3，

3、= 1則.A. B. C. D.【答案】A8已知兩條直線 ：y=m 和： y=(m0)，與函數(shù)的圖像從左至右相交于點A，B ，與函數(shù)的圖像從左至右相交于C,D .記線段AC和BD在X軸上的投影長度分別為a ,b ,當m 變化時，的最小值為A B. C. D. 【答案】B9. 在直角坐標系xOy 中，已知曲線： (t為參數(shù))與曲線 ：(為參數(shù)，) 有一個公共點在X軸上，則.【答案】10.不等式|2x+1|-2|x-1|0的解集為_.【答案】11.如圖2，過點P的直線與圓O相交于A，B兩點.若PA=1，AB=2，PO=3，則圓O的半徑等于_.【答案】 (二)必做題（1216題）12.已知復數(shù) (i

4、為虛數(shù)單位)，則|z|=_.【答案】1013.( -)6的二項展開式中的常數(shù)項為 .（用數(shù)字作答）【答案】-16014.如果執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，輸入,n=3,則輸出的數(shù)S= .【答案】15.函數(shù)f（x）=sin ()的導函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A,C為圖像與x軸的兩個交點，B為圖像的最低點.（1）若，點P的坐標為（0，），則 ;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在ABC內(nèi)的概率為 .【答案】（1）3；（2）（2）幾何概型，求出三角形面積及曲邊形面積，代入公式即得.16.設N=2n（nN*，n2），將N個數(shù)x1,x2,，xN依次放入編號為1

5、,2，N的N個位置，得到排列P0=x1x2xN.將該排列中分別位于奇數(shù)與偶數(shù)位置的數(shù)取出，并按原順序依次放入對應的前和后個位置，得到排列P1=x1x3xN-1x2x4xN，將此操作稱為C變換，將P1分成兩段，每段個數(shù)，并對每段作C變換，得到；當2in-2時，將Pi分成2i段，每段個數(shù)，并對每段C變換，得到Pi+1，例如，當N=8時，P2=x1x5x3x7x2x6x4x8，此時x7位于P2中的第4個位置.（1）當N=16時，x7位于P2中的第_個位置；（2）當N=2n（n8）時，x173位于P4中的第_個位置.【答案】（1）6；（2）（2）方法同（1）,歸納推理知x173位于P4中的第個位置.三

6、、解答題：本大題共6小題，共75分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分12分）某超市為了解顧客的購物量及結(jié)算時間等信息，安排一名員工隨機收集了在該超市購物的100位顧客的相關數(shù)據(jù)，如下表所示.一次購物量1至4件5至8件9至12件13至16件17件及以上顧客數(shù)（人）302510結(jié)算時間（分鐘/人）11.522.53已知這100位顧客中的一次購物量超過8件的顧客占55.（）確定x，y的值，并求顧客一次購物的結(jié)算時間X的分布列與數(shù)學期望；（）若某顧客到達收銀臺時前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨立，求該顧客結(jié)算前的等候時間不超過2.5分鐘的概率.（注：將頻率視為概率

7、）18.（本小題滿分12分） 如圖5，在四棱錐P-ABCD中，PA平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，DAB=ABC=90，E是CD的中點.（）證明：CD平面PAE；（）若直線PB與平面PAE所成的角和PB與平面ABCD所成的角相等，求四棱錐P-ABCD的體積.19.（本小題滿分12分）已知數(shù)列an的各項均為正數(shù)，記A（n）=a1+a2+an，B（n）=a2+a3+an+1，C（n）=a3+a4+an+2，n=1,2，（1） 若a1=1，a2=5，且對任意nN，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成等差數(shù)列，求數(shù)列 an 的通項公式.（2） 證明：數(shù)列 an 是公比為q的等比數(shù)列的充分

8、必要條件是：對任意，三個數(shù)A（n），B（n），C（n）組成公比為q的等比數(shù)列.（）充分性：若對于任意，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列，則，于是得即由有即，從而.因為，所以，故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，綜上所述，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列的充分必要條件是：對任意nN，三個數(shù)組成公比為的等比數(shù)列.20.（本小題滿分13分）某企業(yè)接到生產(chǎn)3000臺某產(chǎn)品的A，B，三種部件的訂單，每臺產(chǎn)品需要這三種部件的數(shù)量分別為,（單位：件）.已知每個工人每天可生產(chǎn)部件件，或部件件，或部件件.該企業(yè)計劃安排名工人分成三組分別生產(chǎn)這三種部件，生產(chǎn)部件的人數(shù)與生產(chǎn)部件的人數(shù)成正比，比例系數(shù)為k（k為正整數(shù)）.（）設生產(chǎn)部

9、件的人數(shù)為，分別寫出完成，三種部件生產(chǎn)需要的時間；（）假設這三種部件的生產(chǎn)同時開工，試確定正整數(shù)k的值，使完成訂單任務的時間最短，并給出時間最短時具體的人數(shù)分組方案.（2）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時易知為增函數(shù)，則.由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得.由于此時完成訂單任務的最短時間大于.（3）當時， 由于為正整數(shù)，故，此時由函數(shù)的單調(diào)性知，當時取得最小值，解得.類似（1）的討論.此時完成訂單任務的最短時間為，大于.綜上所述，當時完成訂單任務的時間最短，此時生產(chǎn)，三種部件的人數(shù)分別為44,88,68.21.（本小題滿分13分）在直角坐標系xOy中，曲線C1的點均在C2：（x-5）2y2=9外，且對C1上任意一點M，M到直線x=2的距離等于該點與圓C2上點的距離的最小值.（）求曲線C1的方程；（）設P(x0,y0)（y03）為圓C2外一點，過P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點A，B和C，D.證明：當