1、存瑞中學2020學年度第一學期期中考試高三數(shù)學（理）試題（存瑞部）一選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分每小題中只有一項符合題目要求)1.已知集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B2.已知，為虛數(shù)單位，若為實數(shù)，則的值為（ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】A3.孫子算經(jīng)是我國古代的數(shù)學名著，書中有如下問題:“今有五等諸侯，共分橘子六十顆，人別加三顆.問: 五人各得幾何?”其意思為: 有5個人分60個橘子，他們分得的橘子數(shù)成公差為3的等差數(shù)列，問5人各得多少個橘子.這個問題中，得到橘子最多的人所得的橘子個數(shù)是（ ）A. 15 B. 16 C. 18 D. 21

2、【答案】C4.已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B5.執(zhí)行如圖所示的的程序框圖，則輸出的( )A. 4 B. C. 5 D. 6【答案】B6.某商場一年中各月份的收入、支出情況的統(tǒng)計如圖所示，下列說法中錯誤的是A. 至月份的收入的變化率與至月份的收入的變化率相同B. 支出最高值與支出最低值的比是 C. 第三季度平均收入為萬元D. 利潤最高的月份是月份【答案】D7.學校藝術節(jié)對同一類的四項參賽作品，只評一項一等獎，在評獎揭曉前，甲、乙、丙、丁四位同學對這四項參賽作品預測如下: 甲說:“或作品獲得一等獎”； 乙說:“作品獲得一等獎”；丙說:“,兩項作品未獲得一等獎”； 丁說:“作品獲得

3、一等獎”.若這四位同學只有兩位說的話是對的，則獲得一等獎的作品是（ ）A. 作品 B. 作品 C. 作品 D. 作品8.某幾何體三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為（ ）A. B. C. D. 【答案】C9.設拋物線的焦點為，過點且傾斜角為的直線與拋物線交于兩點，若,則拋物線的準線方程為（ ）A. B. C. D. 【答案】A10.若函數(shù) 滿足 且的最小值為，則函數(shù)的單調遞增區(qū)間為（ ）A. B. C. D. 11.定義在上的偶函數(shù)滿足：對任意的實數(shù)都有，且，。則的值為（）A. 2020 B. 1010 C. 1008 D. 2【答案】B12.已知雙曲線 在左，右焦點分別為，以為圓心，以為半徑

4、的圓與該雙曲線的兩條漸近線在軸左側交于兩點，且是等邊三角形.則雙曲線的離心率為（ ）A. 2 B. C. D. 【答案】A二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)13.二項式展開式中的常數(shù)項為_【答案】14.若滿足約束條件，則的取值范圍是_【答案】15.已知向量與的夾角為，且，若，且,則實數(shù)的值為_【答案】16.數(shù)列的前項和為，若，則_【答案】三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.在中，內角所對的邊分別為，且 .(1)求角的大小:(2)若點為的中點，且,求的值的值解：（1）在中，由正弦定理得 ，則，（2）在中，由

5、余弦定理得 ，在中，由余弦定理得 ， ，整理得，由正弦定理得18.如圖，四棱錐中，底面為梯形，.是的中點，底面，在平面上的正投影為點，延長交于點.(1)求證：為中點；(2)若，在棱上確定一點，使得平面，并求出與面所成角的正弦值.解：(1)連結，是中點，四邊形是平行四邊形，平面，平面，在平面的正投影為，平面，又，平面，又，是的中點.(2)，平面，以為原點，分別為的正方向建立空間直角坐標系，是的外心，是的重心，設，又是平面的一個法向量，且平面，解得，設是平面的法向量，即，取，則，直線與平面所成角的正弦值為.19.從甲、乙兩種棉花中各抽測了25根棉花的纖維長度(單位: ) 組成一個樣本，且將纖維長度

6、超過315的棉花定為一級棉花.設計了如下莖葉圖:(1)根據(jù)以上莖葉圖，對甲、乙兩種棉花的纖維長度作比較，寫出兩個統(tǒng)計結論（不必計算）；(2)從樣本中隨機抽取甲、乙兩種棉花各2根，求其中恰有3根一級棉花的概率；(3)用樣本估計總體，將樣本頻率視為概率，現(xiàn)從甲、乙兩種棉花中各隨機抽取1根，求其中一級棉花根數(shù)X的分布列及數(shù)學期望解：(1) 1.乙種棉花的纖維平均長度大于甲種棉花的纖維平均長度(或:乙種棉花的纖維長度普遍大于甲種棉花的纖維長度).2.甲種棉花的纖維長度較乙種棉花的纖維長度更分散.(或:乙種棉花的纖維長度較甲種棉花的纖維長度更集中(穩(wěn)定)，甲種棉花的纖維長度的分散程度比乙種棉花的纖維長度

7、的分散程度更大.)3.甲種棉花的纖維長度的中位數(shù)為307.乙種棉花的纖維長度的中位數(shù)為318.4.乙種棉花的纖維長度基本上是對稱的，而且大多集中在中間(均值附近).甲種棉花的纖維長度除一個特殊值(352) 外，也大致對稱，其分布較均勻.(2) 記事件為“從樣本中隨機抽取甲、乙兩種棉花各2根，其中恰有3根一級棉花”.則 (3) 由題意知，的可能取值是0,1,2,其相應的概率為, ,所以的分布列為012 20.已知橢圓 的焦點坐標分別為,為橢圓上一點，滿足且(1) 求橢圓的標準方程:(2) 設直線與橢圓交于兩點，點，若，求的取值范圍.解：（1）由題意設，則，又，在 中，由余弦定理得， ，解得，所求

8、橢圓方程為（2）聯(lián)立方程，消去得 ，則 ，且設的中心為，則 ，,即， ，解得把代入得，整理得，即解得21.已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為(1) 求的值；(2) 證明: .【答案】（1）；（2）見解析詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設則只需證明 ，設則， 在上單調遞增，使得且當時，當時，當時，單調遞減當時，單調遞增 ，由，得， ，設， 當時，在單調遞減， ，因此（方法二）先證當時， ，即證設，則，且， 在單調遞增，在單調遞增，則當時，（也可直接分析 顯然成立）再證設，則，令，得且當時，單調遞減；當時，單調遞增. ，即又，22.在直角坐標系中，以坐標原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為，過點的直線