中南大學(xué)微積分上復(fù)習(xí)課4-11習(xí)題課_第1頁
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文檔簡介

1、中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用,習(xí)題課,Rolle 定理,Lagrange 中值定理,常用的 泰勒公式,Cauchy 中值定理,Taylor 中值定理,一、主要內(nèi)容,1、羅爾中值定理,2、拉格朗日中值定理,有限增量公式.,3、柯西中值定理,推論,4、洛必達(dá)法則,定義 這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.,關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型 .,注意：洛必達(dá)法則的使用條件.,5、泰勒中值定理,常用函數(shù)的麥克勞林公式,6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,定理,(1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法,定義,(2) 函數(shù)的極值及其求法,定理(必要條件),定義,函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為

2、極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).,極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.,駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).,定理(第一充分條件),定理(第二充分條件),求極值的步驟:,步驟:,1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);,2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;,注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值),(3) 最大值、最小值問題,實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:,1)建立目標(biāo)函數(shù);,2)求最值;,(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn),定義,定理1,方法1:,方法2:,利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.,第一步,第二步,(5) 函數(shù)圖形的描繪,第三步,第四步,確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢;,第五步,(6) 弧微分 曲率 曲率圓,曲率的計(jì)算公式,定義,例1,解,二、典型例題,這就驗(yàn)證了命題的正確性.,例2,解,例3,證,由介值定理,注意到,由, 有,+ ,得,例4,證,例5,證, ,則有,例6,解,若兩曲線滿足題設(shè)條件,必在該點(diǎn)處具有相同的一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù),于是有,解此方程組得,故所求作拋物線的方程為,曲率圓的方程為,兩曲線在點(diǎn)處的曲率圓的圓心

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