1、.,第四章 虛功原理和結(jié)構(gòu)位移計(jì)算 Computation of displacement of structure,.,主 要 內(nèi) 容,42 剛體體系虛功原理及其應(yīng)用,43 變形體結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式,44 荷載作用下的位移計(jì)算及舉例,45 圖 乘 法,46 溫度作用時(shí)的位移計(jì)算,47 互等定理,48 小 結(jié),41 結(jié)構(gòu)位移概念,.,4-1 結(jié)構(gòu)位移概念,1、工程結(jié)構(gòu)在荷載作用、溫度變化、材料收縮和支座移動(dòng)等因素下： 結(jié)構(gòu)的形狀一般會(huì)發(fā)生變化-變形(或形變) 結(jié)構(gòu)的截面位置會(huì)發(fā)生變化-位移(線位移或角位移),()為超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析打下基礎(chǔ),（）為研究結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算和穩(wěn)定分析的打基礎(chǔ),在結(jié)構(gòu)

2、的制作、架設(shè)、養(yǎng)護(hù)等過(guò)程中，往往需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)的變形情況，以便采取相應(yīng)的措施（如圖），以消除位移的影響,2、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的目的,(1)驗(yàn)證結(jié)構(gòu)的剛度,.,3、位移產(chǎn)生的原因,（1）、結(jié)構(gòu),荷載作用,（2）、結(jié)構(gòu),雖不一定產(chǎn)生應(yīng)力和應(yīng)變，但卻使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生位移。,.,變形(deformation) 結(jié)構(gòu)在外部因素作用下，產(chǎn)生尺寸形狀的改變； 由于變形將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)各結(jié)點(diǎn)位置的移動(dòng)，于是產(chǎn)生位移。,1）、線位移,4、結(jié)構(gòu)位移,2）、角位移：,3）、位移有“相對(duì)位移”與“絕對(duì)位移”之分。,上述各種位移統(tǒng)稱為“廣義位移”。 與廣義位移相對(duì)應(yīng)的力稱為“廣義力”。,.,在梁和桁架中，垂直方向位移稱為撓度(defl

3、ection),在剛架中，結(jié)點(diǎn)水平方向位移稱為側(cè)移,在超靜定剛架中，荷載作用下，結(jié)點(diǎn)不僅有角位移，同時(shí)有側(cè)移現(xiàn)象。如圖示,.,4）、各種位移舉例,相對(duì)位移 Relative displacement,CD= C+ D,絕對(duì)位移 (Absolute displacement),.,一般而言，位移有其產(chǎn)生的原因和所在結(jié)構(gòu)部位和方向。,位移用表示.,雙角標(biāo)表示,第二角標(biāo)：產(chǎn)生該位移的原因,ij由于作用于j點(diǎn)確定方向的力Pj所引起的i點(diǎn)在某 確定方向的位移,.,柔度(Flexibility )單位力所引起的位移,ij 間接柔度,jj 直接柔度,jj 0,.,5、計(jì)算位移的有關(guān)假定 1)、結(jié)構(gòu)材料服從“

4、虎克定律”，即應(yīng)力、應(yīng)變成線形關(guān)系。 2)、小變形假設(shè)。變形前后荷載作用位置不變。 3)、結(jié)構(gòu)各部分之間為理想聯(lián)結(jié)，不計(jì)摩擦阻力。 4)、當(dāng)桿件同時(shí)承受軸力與橫向力作用時(shí)， 不考慮由于桿彎曲 所引起的桿端軸力對(duì)彎矩及彎曲變形的影響。,滿足以上要求的體系為“線變形體系”。因位移與荷載為線形關(guān)系，故求位移時(shí)可用疊加原理。,6、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的方法,.,4-2 剛體體系虛功原理及其應(yīng)用,一、基本概念,1、功 (Work)：,2、實(shí)功：力由于自身所引起的位移而作功。,實(shí)功的計(jì)算式為：,.,3、虛功：當(dāng)位移與作功的力無(wú)關(guān)時(shí)，這樣的功稱為虛功。,虛功的計(jì)算式為：,4、虛功對(duì)應(yīng)的兩種狀態(tài)及應(yīng)滿足的條件：,虛功

5、的兩因素:,（1）虛力狀態(tài)：為求真實(shí)位移而虛設(shè)的力狀態(tài)，應(yīng)滿足 靜力平衡條件,（2）虛位移狀態(tài)：為求真實(shí)力而虛設(shè)的位移狀態(tài)，應(yīng)滿足 變形協(xié)調(diào)條。,.,剛體虛功原理：剛體平衡的充要條件是作用于剛體上的外力在剛體的任何虛位移上所作的虛功總和為零。即：,(3)、虛力原理：研究虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際位移上的 功，以計(jì)算結(jié)構(gòu)的未知位移(如撓度、轉(zhuǎn)角等).,(4)、虛位移原理：研究實(shí)際的平衡力系在虛設(shè)位移上的功， 以計(jì)算結(jié)構(gòu)的未知力(如支座反力等).,二、剛體虛功原理,理論力學(xué),質(zhì)點(diǎn)、質(zhì)點(diǎn)系虛功原理,.,1、虛力原理 ( Virtual force theory ),以圖(a)示靜定梁為例說(shuō)明虛力原理,已知

6、：支座A移動(dòng)位 移c1，求,故用虛力原理,虛設(shè)一單位力，如圖(b)示,由平衡條件知：,由虛功方程：,即,.,應(yīng)用虛力原理求未知位移的關(guān)鍵是沿?cái)M求位移方向虛設(shè)單位荷載，并利用平衡條件求與已知位移c1對(duì)應(yīng)的支反力,這種解法稱為單位荷載法。,特點(diǎn)：利用靜力平衡，通過(guò)虛功方程來(lái)解幾何問(wèn)題。,適用范圍：,剛體體系的位移計(jì)算， 變形體體系的位移計(jì)算問(wèn)題。,2、支座位移時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,即：?jiǎn)挝缓奢d所作的虛功在數(shù)值上正好等于擬求的位移。,.,例1 : 如圖示梁在支座A有豎向位移cA，擬求 C點(diǎn)的豎向位移C; 桿CD的轉(zhuǎn)角.,解: (1)在點(diǎn)加一豎向 ，圖(b)示:,(a),列虛功方程：,()在桿上一力偶

7、 ，圖()示:,解得：,所得位移為正，表明 與單位荷載方向一致,.,小結(jié)：支座K有給定位移cK時(shí)靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算步驟,2.令虛設(shè)力在 實(shí)際位移上作虛功，寫(xiě)出虛功方程,3. 求擬求位移為：,.,圖（c）,例2：已知B截面處有相對(duì)轉(zhuǎn)角，擬求A點(diǎn)的豎向位移。,分析：,圖（a）,2) 虛設(shè)P=1,3) 虛功方程,所以,1）等效圖（b）,.,例題3 三鉸剛架，支座B發(fā)生如圖所示的位移,a=5cm, b=3cm, l=6m,h=5m。求由此而引起的左支座處桿端截面的轉(zhuǎn)角A。,-5,解：思路:沿?cái)M求位移方向上加單位力（圖2），求出支座反力后依求位移公式計(jì)算位移：,（圖1）,（圖2）,.,3. 局部變形時(shí)剛

8、體體系的位移計(jì)算公式,圖示懸臂梁B點(diǎn)附近的微段ds有局部變形,微段局部變形包括,平均剪切應(yīng)變,軸線曲率為k,求A點(diǎn)沿 方向的位移分量 d,思 路：,相對(duì)剪切位移 d= ds,相對(duì)轉(zhuǎn)角 d= k ds = ds/R,首先,dl,gds,dq,.,B截面發(fā)生集中的相對(duì)位移d、 d 、 d,最后：應(yīng)用剛體虛功原理，得,或,.,4-3變形體結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式,其中 -虛擬單位力下的彎距、軸力、 剪力和反力,-實(shí)際變形狀態(tài)軸線曲率、軸線伸長(zhǎng)應(yīng) 變、平均剪切應(yīng)變和支座位移,一、公式,.,分析，見(jiàn)圖,(a),求結(jié)構(gòu)上任一點(diǎn)C沿指定方向K-K上,的分位移,(1)可按常規(guī)計(jì)算方法， 但計(jì)算工作麻煩。,(2)利

9、用虛功原理， 結(jié)構(gòu)有變形又要有力系。,.,求結(jié)構(gòu)變形，須有平衡力系,虛功原理中， 作功力系與位移可以彼此無(wú)關(guān)， 二者之一可以虛設(shè)。,見(jiàn)圖(b) 狀態(tài)II,表示虛擬狀態(tài)，沿K-K方向作用,.,(1)先設(shè)剛架處于II： 內(nèi)力，外力滿足平衡條件,(2)再設(shè)其產(chǎn)生I 的位移： 即，將結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移作為 狀態(tài)II的虛位移,根據(jù)虛功原理和 得：,.,，,，,.,此即為由虛功原理得到的計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的一般公式 (稱單位載荷法),它可以計(jì)算結(jié)構(gòu)的：線位移、角位移、結(jié)構(gòu)絕對(duì)、相對(duì)位移。 虛擬狀態(tài)中的單位力為所計(jì)算位移相應(yīng)的廣義力。,.,二、變形體位移計(jì)算的步驟：,1、沿?cái)M求位移方向虛設(shè)相應(yīng)的單位荷載,3、利用公式

10、計(jì)算擬求位移,注：,1、是廣義位移,2、應(yīng)用單位荷載法每次只能求得一個(gè)位移,3、虛擬單位力的指向可任意假定，求出結(jié)果為正表明 實(shí)際位移方向與虛擬單位力的方向一致，否則相反,.,三、幾種類型的虛擬狀態(tài) 求線位移： 沿?cái)M求位移方向上施加相應(yīng)的單位力。,.,求轉(zhuǎn)角、相對(duì)轉(zhuǎn)角： 沿?cái)M求位移方向上施加相應(yīng)的單位力矩。,.,若求結(jié)構(gòu)上C點(diǎn)的豎向位移，可在該點(diǎn)沿所求位移方向加一單位力，如圖示,.,2) 若求結(jié)構(gòu)上截面A的角位移，可在截面處加一單位力偶。,若求桁架中AB桿的角位移，應(yīng)加 一單位力偶，構(gòu)成這一力偶的兩個(gè) 集中力的值取 1/d。作用于桿端 且垂直于桿(d 為桿長(zhǎng))。,.,3) 若要求結(jié)構(gòu)上兩點(diǎn)(A

11、、B)沿其連線的相對(duì)位移，可在該兩點(diǎn)沿其連線加上兩個(gè)方向相反的單位力。,.,4) 若求梁或剛架上兩個(gè)截面的相對(duì)角位移，可在兩個(gè)截面上加兩個(gè)方向相反的單位力偶。,.,4-4 荷載作用下的位移計(jì)算及舉例,一、荷載作用下內(nèi)力和變形的關(guān)系,.,式 中,M, FN , FQ是實(shí)際荷載引起的內(nèi)力,以使微段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正,.,1）梁和剛架,2）桁架,3）桁梁混合結(jié)構(gòu),4）拱,二、各類結(jié)構(gòu)的位移公式,.,三、位移計(jì)算舉例,例題1 試求圖示剛架A點(diǎn)的豎向位移AV。各桿材料相同，截面抗彎模量為EI。,.,解：（1）在A點(diǎn)加一單位力，建立坐標(biāo)系如（圖2）示，寫(xiě)出彎矩表達(dá)式,AB段：,BC段：,（2）荷載作用下（圖1

12、）的彎矩表達(dá)式,AB段：,BC段：,（3）將以上彎矩表達(dá)式代入求位移公式,.,例2，計(jì)算圖示剛架C端的水平位移和角位移,已知EI為常數(shù)。,.,解：在載荷作用下，,剛架的 圖如圖所示，,狀態(tài)I,AB柱,BC梁,.,求C點(diǎn)的水平位移，可在C點(diǎn)加一單位力,BC梁,AB柱,狀態(tài)II,代入位移公式，得：,.,求C點(diǎn)的角位移， 可在C點(diǎn)加一單位彎矩, 如圖示. 其計(jì)算方法與(1)相同,.,例2. 計(jì)算桁架結(jié)點(diǎn)C 的豎向位移，設(shè)各桿EA都相同。,解 1)、分析內(nèi)力：,本問(wèn)題因?yàn)殍旒芘c載荷均對(duì)稱， 所有只需計(jì)算一半桁架的內(nèi)力。,.,利用體系整體平衡關(guān)系，得：,支座反力,利用結(jié)點(diǎn)法，取A點(diǎn)分析,由A點(diǎn)的Y方向平

13、衡得：,.,利用三角形關(guān)系,A點(diǎn)X方向平衡得：,(拉力),.,取D點(diǎn)分析,(壓力),.,2)、計(jì)算位移,C點(diǎn)加一單位力 P1,由位移公式：,為正值表示，C處的位移與虛擬力的方向相同。,.,例題3 試求圖示桁架C點(diǎn)的豎向位移CV。各桿材料相 同，截面抗拉壓模量為,圖( a),圖( b),解（1）在C點(diǎn)加一單位力，作桁架內(nèi)力圖.如圖(b)示.,（2）作出荷載作用下的桁架內(nèi)力圖,如圖(a)示.,.,.,例題3 試求圖示半徑為R的圓弧形曲梁B點(diǎn)的豎向位移BV。梁的抗彎剛度EI為常數(shù)。,.,解（1）在B點(diǎn)加一單位力，寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式,（2）寫(xiě)出單位力作用下的彎矩表達(dá)式,.,練習(xí)題： 試求圖示

14、連續(xù)梁C點(diǎn)的豎向位移CV和A截面的轉(zhuǎn)角A , 截面抗彎模量為EI。,P,C,B,A,l/2,l/2,答案：,C,B,A,l/2,l/2,M,答案：,(1),(2),.,實(shí)際荷載,虛設(shè)單位荷載,3）求位移,(3) 試求所示懸臂梁在A端的豎向位移 解： 1）虛設(shè)單位荷載如圖(b) 2）求內(nèi)力表達(dá)式,討論:,.,解：,0.5,0.5,0,0,1.5,-1.58,1.5,-1.58,(4) 求所示桁架頂點(diǎn)C的豎向位移。,.,2）求,1.5,1.5,4.50,-4.74,3.00,-4.42,-0.95,1.50,3）求,.,(5) 求B點(diǎn)的豎向位移。,., 4 - 5 圖 乘 法 Method of

15、graph multification,一、圖乘法得引入,二、圖乘法適用條件及公式推導(dǎo),1、適用條件,.,2、公式推導(dǎo),此即位圖乘法的公式,積分問(wèn)題,轉(zhuǎn)化為,求內(nèi)力圖的面積、形心、和豎標(biāo)的問(wèn)題,.,3、使用乘法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題 1）、適用條件必須滿足，缺一不可。,2)、正負(fù)號(hào)規(guī)則：,面積與標(biāo)距y0在桿件同側(cè)，乘積為正；否則為負(fù)。,a） 桿件是等截面直桿，即EI常數(shù),b）兩內(nèi)力圖中至少有一個(gè)是直線,c）縱距y0只能從直線圖中取得.,.,4、幾種常見(jiàn)圖形的面積和形心位置,.,三、使用乘法時(shí)應(yīng)注意的問(wèn)題,1、yo必須取自直線圖形,.,.,3、當(dāng)桿件為變截面時(shí)亦應(yīng)分段計(jì)算,.,4、圖乘有正負(fù)之分：彎矩圖

16、在桿軸線同側(cè)取正號(hào)； 異側(cè)取負(fù)號(hào)。,.,5、若兩個(gè)圖形均為直線圖形時(shí)，則面積、縱標(biāo)可任意分別 取自兩圖形,.,6、圖乘時(shí)，可將彎矩圖分解為簡(jiǎn)單圖形，按疊加法分別圖乘,.,M圖,MP圖,a,c,d,l,.,.,5、舉例,解：,1）作Mp圖,2）作 圖,3）求,.,解：,1）作Mp圖,2）作 圖,3）求,例2 圖示為一懸臂梁，在 A 點(diǎn)作用集中荷載Fp 。試求 中點(diǎn)C 的撓度CV,.,解：,1）作Mp圖,2）作 圖,3）求,例3 試求下列圖示剛架結(jié)點(diǎn)B 的水平位移BH 。各桿截面 為矩形bh,慣性矩相等。只考慮彎曲變形的影響。,.,解：（1）繪Mp圖,例題 試求左圖所示剛架C點(diǎn)的豎向位移CV和轉(zhuǎn)角

17、C。各桿材料相同，截面抗彎模量為:,Mp圖,.,(3) 求C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角,Mp圖,.,6-5 溫度作用時(shí)的位移計(jì)算,一、由于溫度改變引起的位移,靜定結(jié)構(gòu)溫度改變并不引起內(nèi)力，變形和位移,是材料自由膨脹、收縮的結(jié)果。,桿件的微段,h1 、 h2分別為軸至上、下邊緣的距離,.,上邊緣溫度上升,下邊緣溫度上升,沿桿截面厚度為線性分布，軸線溫度,上下溫差,.,軸線溫度：,上下邊緣的溫差：,曲率：,伸長(zhǎng)應(yīng)變：,線膨脹系數(shù),.,由位移計(jì)算公式：,若 沿每一桿件的全長(zhǎng)為常數(shù)，則：,以溫度升高為正，彎矩 和溫差 引起的,彎矩為同一方向時(shí)，其乘積取正，反之取負(fù)。,式中:,.,例：試求右圖，a所示剛架C點(diǎn)的水平位移

18、。 已知?jiǎng)偧芨鳁U外側(cè)溫度無(wú)變化，內(nèi)側(cè)溫度上 升10C，剛架各桿的截面相同且與形心軸對(duì) 稱，線膨脹系數(shù)為。,解：在C點(diǎn)沿水平方向 加一單位力 P1 。,.,作出相應(yīng)的 、 圖。并有：,軸向上的溫度上升值。,.,式中 h 為截面高度。所得結(jié)果為正值，表示C點(diǎn)位移 與單位力方向相同。,桿件由于溫度改變而發(fā)生的彎曲變形， 該變形與由于 所產(chǎn)生的彎曲變形方向相同(如圖虛線所示)，,.,應(yīng)用條件：,線性小變形體系,1、功的互等定理,4-7 互等定理,.,功的互等定理：,在任一線形變形體系中,第一狀態(tài)外力在第二狀態(tài)位移上所作的功等于第二狀態(tài) 外力在第一狀態(tài)位移上所作的功，即,.,2、位移互等定理,位移影響系

19、數(shù),如果作用在體系上的力是單位力，則在第一個(gè)單位力方向上， 由于第二個(gè)單位力所引起的位移等于第二個(gè)單位力方向上， 由于第一個(gè)單位力所引起的位移。,.,3、反力互等定理,反力影響系數(shù),如果結(jié)構(gòu)支座發(fā)生的是單位位移，則支座1由于支座2的單位位移所引起的反力r12等于支座2由于支座1的單位位移所引起的反力r21。,4、位移、反力互等定理（自學(xué)）,.,要求,1 熟練寫(xiě)出位移計(jì)算一般公式及其各符號(hào)含義，并理解公式推導(dǎo)過(guò)程,2 熟練掌握靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算方法。,積分法 圖乘法,（應(yīng)用條件、計(jì)算步驟、注意事項(xiàng)）,剛架、梁、桁架和組合結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算,3 互等定理,68 小 結(jié),.,4、習(xí)題,一、判斷題,1）計(jì)

20、算 組 合 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 時(shí) 可 以 只 考 慮 彎 曲 變 形 的 影 響 ， 即 。（ ）,2）靜 定 結(jié) 構(gòu) 的 內(nèi) 力 計(jì) 算 ， 可 不 考 慮 變 形 條 件 。 （ ）,3）靜定結(jié)構(gòu)在溫度變化、支座移動(dòng)等影響下，不僅產(chǎn)生變形，同時(shí)產(chǎn)生內(nèi)力。 （ ）,4）靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下，產(chǎn)生的位移大小與該結(jié)構(gòu)的各桿EI的相對(duì)值有關(guān)。 （ ）,.,5）,求 圖 示 結(jié) 構(gòu) A 點(diǎn) 豎 向 位 移 可 用 圖 乘 法 。 （ ）,6）靜 定 結(jié) 構(gòu) ，在 支 座 移 動(dòng) 作 用 下 ， 有 位 移 、 有 內(nèi) 力 產(chǎn) 生。 （ ）,.,二、選擇題,1）求 圖 示 梁 鉸 C 左 側(cè) 截 面

21、 的 轉(zhuǎn) 角 時(shí) ， 其 虛 擬 狀 態(tài) 應(yīng) 取 （ ）,.,2）圖 示 結(jié) 構(gòu) （ EI = 常 數(shù) ）, 受 荷 載 P 及 支 座 移 動(dòng) 的 共 同 作 用 ， A 端 的 彎 矩 MA 等 于 ： A. Pl+3EIa/4( 上 側(cè) 受 拉 ） ; B. Pl+EIa/3 ( 上 側(cè) 受 拉 ） ; C. Pl/2+3EIa/4( 下 側(cè) 受 拉 ） ; D. Pl/2(下 側(cè) 受 拉 ） 。 ( ),.,3）圖 示 結(jié) 構(gòu) 的 兩 個(gè) 狀 態(tài)， 位 移 互 等 ， 和 的量 綱 為 ： A. 長(zhǎng) 度 ； B. 無(wú) 量 綱 ； C. 長(zhǎng) 度 / 力 ； D. 力 /長(zhǎng) 度 。 （ ）

22、,狀 態(tài) (1) 狀 態(tài) (2),.,4）圖 示 梁 A 點(diǎn) 的 豎 向 位 移 為 （ 向 下 為 正 ）： A . ; B . ; C . ; D . 。 ( ),.,5）圖 示 結(jié) 構(gòu) EI = 常 數(shù) ， 剛 結(jié) 點(diǎn) C 的 角 位 移 為： A . （ 順 時(shí) 針） ； B . （ 順 時(shí) 針） ； C . （ 順 時(shí) 針） ； D . 。 （ ）,.,三、填空題,1）結(jié) 構(gòu) 位 移 計(jì) 算 的 兩 個(gè) 主 要 目 的 是_ 和 _。,3）結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的理論基礎(chǔ)是_原理,4）圖 示 桁 架 僅 上 弦 各 桿 溫 度 增 高 ,材 料 的 線 膨 脹 系 數(shù) 為 ， 則 A 點(diǎn) 的 水 平 位 移 為 ： _。,2）應(yīng) 用 圖 乘 法 求 桿 件 結(jié) 構(gòu) 的 位 移 時(shí) ，各圖乘的桿段必 須 滿 足 如 下 三 個(gè) 條 件 ： ( a ) ; ( b ) ; ( c ) 。,.,四、 試?yán)L制圖示結(jié)構(gòu)內(nèi)力圖。,P/2,P/2,P,a,a,a,a,a/2,a/2,P,pa,2KN,16kN/m,2kN/m,8kN,30kN,30kN,3kN/m,5m,5m,10m,10m,10m,m,m,a,2a,2a,a,五、試?yán)L制圖示