1、數(shù)字信號(hào)處理,電器信息工程學(xué)院蔡超峰,引言,引言,DFT的定義：,周期延拓,DFS,DFT,DFT與其DTFT之間的關(guān)系：上式表明，N點(diǎn)序列的N個(gè)DFT系數(shù)等于它的DTFT在0,2)的區(qū)間上的N個(gè)等間隔樣本值。,引言,DFT,DTFT,引言,DFT的性質(zhì)：,線性性質(zhì)卷積性質(zhì)時(shí)移性質(zhì)對(duì)稱性質(zhì),引言,DFT相關(guān)定理：其中DFT帕什瓦爾定理：,第六章與DFT有關(guān)的幾個(gè)問(wèn)題,利用DFT計(jì)算線性卷積利用DFT進(jìn)行頻譜分析快速傅里葉變換,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,設(shè)x1(n)和x2(n)分別是長(zhǎng)度N1和N2的有限長(zhǎng)序列，y(n)是其線性卷積，即從上式可以看出，在區(qū)間0nN1+N2-2以外，x1(m)和x

2、2(n-m)中總有一個(gè)為0，因此y(n)的長(zhǎng)度為N1+N2-1。令N=max(N1,N2)，假設(shè)X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT系數(shù)，根據(jù)DFT的時(shí)域卷積性質(zhì)有其中y(n)稱為x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)循環(huán)卷積。,循環(huán)卷積的計(jì)算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2,其中N=max(N1,N2)=4。,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,y1(n)=5,6,11,8,循環(huán)卷積的計(jì)算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2,其中N=N1+N2-1=5。,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,0,m,0,m,y1(n)=1,6,11,8,4,0,m,線性卷積的

3、計(jì)算：序列x1(n)=1,2和x2(n)=1,4,3,2。,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,0,y(n)=1,6,11,8,4,如果不是選取N=max(N1,N2)，而是選取NN1+N2-1，那么循環(huán)卷積就轉(zhuǎn)化為線性卷積。換句話說(shuō)，在NN1+N2-1的條件下，N點(diǎn)時(shí)域循環(huán)卷積的結(jié)果將等于x1(n)和x2(n)線性卷積的結(jié)果。因此，若有兩個(gè)長(zhǎng)度分別為N1和N2的有限長(zhǎng)序列x1(n)和x2(n)，選取NN1+N2-1，且假設(shè)X1(k)和X2(k)分是x1(n)和x2(n)的N點(diǎn)DFT系數(shù)，則有,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,利用DFT計(jì)算線性卷積流程圖：圖中NN1+N2-1。,1.利用DFT計(jì)算線性卷積

4、,x1(n),N,長(zhǎng)序列卷積的計(jì)算：設(shè)h(n)長(zhǎng)度為M的有限長(zhǎng)序列，x(n)是長(zhǎng)度不確定的序列，采用重疊相加法計(jì)算h(n)與x(n)線性卷積的步驟為：將x(n)分為長(zhǎng)度為L(zhǎng)的小段分別計(jì)算每段的線性卷積重疊相加,1.利用DFT計(jì)算線性卷積,y1(n),y2(n),y3(n),0,L,2L,y(n),2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,對(duì)于原本就是有限長(zhǎng)度的離散時(shí)間信號(hào)（比如某些統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)），可以直接利用DFT精確計(jì)算它們的頻譜。但是實(shí)際的連續(xù)時(shí)間信號(hào)和離散時(shí)間信號(hào)往往具有如下特征：這些信號(hào)的持續(xù)時(shí)間通常都很長(zhǎng)，甚至是無(wú)限長(zhǎng)；這些信號(hào)一般都屬于隨機(jī)信號(hào)，且對(duì)它們往往缺乏足夠的先驗(yàn)信息；如果需要對(duì)信號(hào)進(jìn)行實(shí)時(shí)

5、分析，則對(duì)分析時(shí)間有嚴(yán)格要求。因此，對(duì)諸如雷達(dá)信號(hào)、通信信號(hào)和語(yǔ)音信號(hào)進(jìn)行頻譜分析時(shí)，必需首先進(jìn)行A/D轉(zhuǎn)換，把它們轉(zhuǎn)換為數(shù)字信號(hào)，并采用把信號(hào)截短或分段處理的方法，實(shí)現(xiàn)頻譜分析。,利用DFT進(jìn)行頻譜分析流程圖：,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,“混疊效應(yīng)”,“吉布斯現(xiàn)象”,“柵欄效應(yīng)”,“頻率分辨率”“補(bǔ)零問(wèn)題”“參數(shù)選擇”,回憶抽樣定理：設(shè)x(t)是一帶限于M的連續(xù)時(shí)間信號(hào)，即有如果抽樣間隔Ts滿足則x(t)就能由其樣本值序列x(nTs),n=0,1,2唯一地確定。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,M,s,根據(jù)時(shí)域抽樣定理，當(dāng)信號(hào)x(t)中包含有M的頻率成分時(shí)，抽樣以后頻域中就會(huì)產(chǎn)生混疊失真，從而

6、產(chǎn)生頻譜分析的誤差，稱為混疊效應(yīng)。解決這個(gè)問(wèn)題的唯一方法是讓抽樣頻率fs（fs=s/2）足夠高，這就需要預(yù)先知道x(t)的最高頻率fM。在實(shí)際應(yīng)用中，通常依照具體應(yīng)用要求或采集設(shè)備的能力來(lái)確定，并且在選擇了抽樣頻率fs以后，一般都采用抗混疊濾波器來(lái)確保無(wú)混疊現(xiàn)象發(fā)生。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,XP(j),HL(j),考察矩形窗函數(shù)r2N+1(n)的DTFT：,令m=n+N,隨著N的增加，主瓣的高度增加，寬度變窄，即主瓣向直流集中；旁瓣高度也增加，但主瓣與旁瓣的高度比不變，為13.46dB。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,設(shè)x2N+1(n)為離散時(shí)間信號(hào)x(n)中的一段這相當(dāng)于信號(hào)x(n)和矩

7、形窗函數(shù)r2N+1(n)相乘的結(jié)果，即用一個(gè)窗函數(shù)截取一段信號(hào)的方法通常稱為信號(hào)加窗，上式中的r2N+1(n)就是對(duì)信號(hào)x(n)矩形加窗的結(jié)果。假如有則根據(jù)傅里葉變換的頻域卷積性質(zhì)有,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,由此可見(jiàn)，時(shí)域上對(duì)信號(hào)矩形加窗，在頻域上就是原信號(hào)的頻譜與矩形窗函數(shù)的頻譜做周期卷積。加窗后的頻譜顯然不是原信號(hào)的頻譜，即頻譜產(chǎn)生了畸變。,2,2,2,“吉布斯現(xiàn)象”,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,如果在時(shí)域上選用平滑的窗函數(shù)來(lái)對(duì)信號(hào)加窗，可以減輕、甚至基本消除加窗后信號(hào)頻譜的過(guò)沖和起伏現(xiàn)象。常用的離散時(shí)間平滑窗函數(shù)有：漢寧（Hanning）窗漢明（Hamming）窗布萊克曼（Black

8、man）窗,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,回憶DFT的定義：,（周期延拓）,DFS,DFT,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,DFT可以看做是由許多窄帶帶通濾波器組成：,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,由此可見(jiàn)，N點(diǎn)DFT系數(shù)X(k)只是給出了特定頻率點(diǎn)0、0、20,(N-1)0上的頻譜，并沒(méi)有給出這些頻率點(diǎn)之間的頻譜內(nèi)容，這就好像是通過(guò)百葉窗觀察窗外的景色，看到的是百葉窗縫隙內(nèi)的部分景色，無(wú)法看到被百葉窗擋住的景色，這就是所謂的“柵欄效應(yīng)”。相鄰頻點(diǎn)之間的頻率差為：由此可知，f反比于信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度T，這種定義下的分辨率又稱為物理分辨率。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,如果信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度T保持不變，通過(guò)增加

9、采樣率的方法不能提高f：欲減小f，可以增加信號(hào)的實(shí)際長(zhǎng)度T。例題：信號(hào)x(t)由三個(gè)正弦信號(hào)相加組成，其頻率成分f1=2Hz，f2=2.02Hz，f3=2.07Hz，即采樣頻率fs=10Hz。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,設(shè)信號(hào)的長(zhǎng)度T為25.6s，即采樣點(diǎn)數(shù)為256，頻率分辨率f為：其頻譜為左下圖所示。設(shè)信號(hào)的長(zhǎng)度T為102.4s，即采樣點(diǎn)數(shù)為1024，頻率分辨率f為：其頻譜如右下圖所示。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,如果保持T不變，通過(guò)補(bǔ)零的方法增加序列的長(zhǎng)度。此時(shí)f的值減小，但實(shí)際的頻率分辨率卻并沒(méi)有減小，把這種定義下的f稱為計(jì)算分辨率。例題：信號(hào)x(t)由三個(gè)正弦信號(hào)相加組成，其頻率成

10、分分別是2.67Hz，3.75Hz，6.75Hz，初相分別為0，90，0，采樣頻率fs=20Hz。僅取16點(diǎn)數(shù)據(jù)，得x(n)，n=0,1,15，求其頻譜。然后在x(n)后補(bǔ)N個(gè)、7N個(gè)、29N個(gè)零，再分別求其頻譜。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,f/(Hz),f/(Hz),f/(Hz),f/(Hz),|X(ej)|,|X(ej)|,|X(ej)|,|X(ej)|,參數(shù)選擇的步驟與方法：如果已知信號(hào)x(t)的最高頻率fm，為了防止混疊，選定抽樣頻率fs滿足fs2fm；如果不知道信號(hào)x(t)的最高頻率fm，抽樣頻率可依照具體的應(yīng)用要求或采集設(shè)備的能力選定，然后采用抗混疊濾

11、波器防止混疊現(xiàn)象發(fā)生。根據(jù)實(shí)際需要選定頻率分辨率f，然后即可確定做DFT所需的點(diǎn)數(shù)N=fs/f。fs和N確定以后，即可確定所需信號(hào)x(t)的長(zhǎng)度T=N/fs=NTs。,2.利用DFT進(jìn)行頻譜分析,DFT及IDFT表達(dá)式：令,3.快速傅里葉變換,改寫為矩陣形式：,3.快速傅里葉變換,DFT的計(jì)算量：為了計(jì)算N點(diǎn)DFT需要N2次復(fù)數(shù)乘法和N(N-1)次復(fù)數(shù)加法，而每次復(fù)數(shù)乘法需要四次實(shí)數(shù)乘法和兩次實(shí)數(shù)加法，每次復(fù)數(shù)加法需要兩次實(shí)數(shù)加法，因此實(shí)現(xiàn)N點(diǎn)DFT總共需要4N2次實(shí)數(shù)乘法和2N(N-1)+2N2次實(shí)數(shù)加法。當(dāng)N=1024時(shí)，將需要400多萬(wàn)次的實(shí)數(shù)乘法和實(shí)數(shù)加法運(yùn)算！,3.快速傅里葉變換,1

12、965年，庫(kù)利（Cooley）和圖基（Tukey）首先提出后來(lái)被稱為快速傅里葉變換（fastFouriertransform,FFT）的DFT快速算法。FFT算法的原理和依據(jù)主要有兩點(diǎn)，第一點(diǎn)是充分利用WN因子的性質(zhì)：周期性對(duì)稱性如果N為偶數(shù)，則有可約性,3.快速傅里葉變換,單位圓,利用上述WN因子的性質(zhì)，4點(diǎn)DFT矩陣可逐步簡(jiǎn)化如下：周期性對(duì)稱性由此可見(jiàn)，DFT矩陣可約簡(jiǎn)化成為大部分元素都是1或-1的矩陣，且非1或-1的元素有重復(fù)。隨著N的增大，矩陣中1或-1元素的比例近于指數(shù)的增長(zhǎng)，因此將大大減小DFT的計(jì)算量。,3.快速傅里葉變換,FFT算法原理和依據(jù)的第二點(diǎn)是：N點(diǎn)DFT運(yùn)算可分解為兩

13、組N/2點(diǎn)DFT運(yùn)算。令N=2M，M為整數(shù)，把N點(diǎn)序列x(n)按照n為偶數(shù)和奇數(shù)分為兩個(gè)N/2點(diǎn)序列x(2r)和x(2r+1),而r=0,1,N-1/2,于是有令,3.快速傅里葉變換,則有A(k)和B(k)都是N/2點(diǎn)的DFT,而X(k)是N點(diǎn)DFT，因此用上式表示X(k)并不完全，但是因?yàn)橐虼擞肁(k)和B(k)能夠完全的表示X(k)。按照上述方法繼續(xù)分下去，直到兩點(diǎn)DFT為止：以上算法是將時(shí)間n按照奇偶分開(kāi)，故稱為時(shí)間抽取算法（decimationintime,DIT）,3.快速傅里葉變換,8點(diǎn)FFT時(shí)間抽取算法信號(hào)流圖：,3.快速傅里葉變換,“級(jí)”的概念：因?yàn)镸=log2N,所以N點(diǎn)DFT可分為M級(jí)。,3.快速傅里葉變換,m=0m=1m=2,蝶形單元：,3.快速傅里葉變換,m=0m=1m=2,由于每一級(jí)中都含有N/2個(gè)蝶形單元，每一個(gè)蝶形單元又只需要一次復(fù)數(shù)乘法和兩次復(fù)數(shù)加法，因此，完成M=log2N級(jí)總共需要的