1、1,第二章 解析函數,第一節(jié) 解析函數的概念與柯西-黎曼方程,第二節(jié) 初等解析函數,第三節(jié) 初等多值解析函數,2,一、復變函數的導數與微分,1.導數:,第一節(jié) 解析函數的概念與柯西-黎曼方程,在定義中應注意:,3,例1,解,即,例2,解,4,例3,解,5,例4,解,6,2.可導與連續(xù):,函數 f (z) 在 z0 處可導則在 z0 處一定連續(xù), 但函數 f(z) 在 z0 處連續(xù)不一定在 z0 處可導.,7,3.求導法則:,8,4.微分:,特別地,9,二、解析函數的概念,1. 解析函數的定義,2. 奇點的定義,若函數 在點 不解析，但在 的任一鄰域內總有 的解析點，則稱 為函數 的奇點.,10

2、,根據定義可知:,1、函數在區(qū)域內解析與在區(qū)域內可導是等價的.,2、函數在一點處解析與在一點處可導是不等價的概念. （即函數在一點處可導, 不一定在該點處解析.函數在一點處解析比在該點處可導的要求要高得多.）,注意：,P56,（1,2，反之不對）,11,例1,解,例2,解,課后思考題：,答案:,處處不可導,處處不解析.,12,13,定理：,以上定理的證明, 可利用求導法則，可知：,(1) 所有多項式在復平面內是處處解析的.,14,如果 是可微的， 的實部 與虛部 應當不是相互獨立的，而是必須適合一定的條件。,若 在一點 可微，設,設,（1）,則（1）變?yōu)椋?（2）,三、柯西-黎曼方程（C.-R

3、.方程）,15,（2）,情況一：,即變點 沿平行于實軸的方向趨于點 則（2）變?yōu)椋?知 存在，有,情況二：,即變點 沿平行于虛軸的方向趨于點 則（2）變?yōu)椋?知 存在，有,（3）,（4）,16,由（3），（4）得：,-稱為：柯西-黎曼方程（C.-R.方程）,（2） 在點 滿足C.-R.方程.,定理2.1 （可微的必要條件）設函數 在區(qū)域 內有定義，且在 內一點 可微，則必有,（1）偏導數 在點 存在；,17,（2） 在點 滿足C.-R.方程.,定理2.2 （可微的充要條件）設函數 在區(qū)域 內有定義，則 在 內一點 可微的充要條件是：,（1）二元函數 在點 可微；,滿足上述條件， 在點 的導數可

4、以表示為下列形式之一：,推論2.3 （可微的充分條件）設函數 在區(qū)域 內有定義，且在 內一點 可微的充分條件是,（1） 在點 處連續(xù)；,（2） 在點 滿足C.-R.方程.,18,19,例1,解,（注：由定理2.5知，函數 在復平面內解析）,20,解析函數的判定方法:,注1 解析函數的實部與虛部不是完全獨立的，它們是C-R方程的一組解，它們是在研究流體力學時得到的。,注2 解析函數的導數形式更簡潔。,21,四、典型例題,解,不滿足C.-R.方程,例1 判斷下列函數在何處可導，在何處解析：,四個偏導數均連續(xù), 但是,22,例2,解,P56 例2.7 ，例2.8 ，例2.9,23,例3,證: 因為,

5、類似可進一步證明:P91,24,思考題：P58,（1）復變函數的可微性與解析性有什么異同？ （2）判斷函數的解析性有哪些辦法？,25,一、指數函數,1.指數函數的定義:,第二節(jié) 初等解析函數,指數函數的定義等價于關系式:,26,注意：,1、滿足加法定理,2、具有周期性,3、極限 不存在，即 無意義.,4、不滿足羅爾定理，但滿足洛必達法則.,27,例1,解,例2,解,28,二、三角函數和雙曲函數,1. 三角函數的定義,將兩式相加與相減, 得,現在把它們定義推廣到自變數取復值的情況：,（1）,（2）,29,（4）有關正弦函數和余弦函數的幾組重要公式,(注意：這是與實函數完全不同的),事實上，,P6

6、2 例2.12,（5） 的零點 ， 的零點 .,（6）,30,其它三角函數,31,2. 雙曲函數的定義,它們的導數分別為,它們都是以 為周期的周期函數,顯然這些函數都是解析函數，各有其解析區(qū)域，且都是相應的實雙曲函數在復數域內的推廣。,32,思考題:,實變三角函數與復變三角函數在性質上有哪些異同?,答案,兩者在函數的奇偶性、周期性、可導性上是類似的, 而且導數的形式、加法定理、正余弦函數的平方和等公式也有相同的形式.,最大的區(qū)別是, 實變三角函數中, 正余弦函數都是有界函數, 但在復變三角函數中,3.初等復變函數：基本初等復變函數經過加、減、乘、除、乘方和開方等基本運算，或經歷有限次復合運算，

7、所形成的復變函數稱為初等復變函數,簡稱為復變函數.,33,定義2.8(單葉函數） 設函數f(z)在區(qū)域D內有定義,且對D內任意不同的兩點z1及z2都有f(z1)f(z2),則稱函數 f(z)在D內是單葉的.并且稱區(qū)域D為f(z)的單葉性區(qū)域. 顯然,區(qū)域D到區(qū)域G的單葉滿變換w=f(z)就是D 到G的一一變換. f(z)=z2不是C上的單葉函數. f(z)=z3是C上的單葉函數,第三節(jié) 初等多值函數,34,一、根式函數,定義：根式函數 是冪函數 的反函數（n是大于1的整數）.,1、冪函數 的性質,(1) 在w平面上單值解析，且,(2) 在w平面上單值多葉.,(3) 的變換性質.,擴充 平面 擴

8、充 平面，,射線 射線,圓周 圓周 ，,角形 角形,.令 ， ，則：,35,特別地，變換 把 平面上的角形 平面除去原點及負實軸的區(qū)域：,36,2、冪函數 的單葉性區(qū)域,（1） 的單葉性區(qū)域的一種分法.,即 都是 的單葉性區(qū)域.,（2）判斷區(qū)域是單葉性區(qū)域的辦法,定理： 是 的單葉性區(qū)域,37,3、根式函數 的單值解析分支,當 時，根式函數,（1）根式函數多值原因： 自變量 確定后，其幅角 并不惟一確定，可以相差 的整數倍，即可以隨意繞原點轉整圈，從而使根式函數 是多值函數.,38,（2）分出 的單值解析分支 P67-68,因此，在區(qū)域 內，對每一個 ，得到 的 個不同的單值連續(xù)分支函數：,又

9、 在 內解析，且,故 也是 的 個不同的單值解析分支函數.,39,定義1 設 為多值函數， 為一定點，作小圓周,，若變點 沿 轉一周，回到出發(fā)點時，,函數值發(fā)生了變化，則稱 為 的支點，如,就是其一個支點，這時繞 轉一周也可看作繞點,轉一周，故點 也是其一個支點.,4、 的支點及支割線,注：一般地，多值函數的支點是這樣的點，使當變點 繞這點一周時，多值函數從其一支變到另一支.,40,定義2 設想把平面割開，借以分出多值函數的單值分支的割線，稱為多值函數的支割線.,(如 可以以負實軸為支割線.),注 a) 支割線可以有兩岸,單值分支在兩岸取不同的值.,c) 支割線改變各單值分支的定義域，值域也隨

10、之改變.,(e)每一單值分支在支割線上是不連續(xù)的.,d) 對 ，當以負實軸為支割線時，當 時取正值的那個分支稱為主值支.,b)支割線的不同做法，分支也就不同; 但 仍互不相交而填滿整個 平面.,(f)包含或包圍原點 的區(qū)域 內，不可能把 分成 個獨立的單值解析分支.,41,例2.15 設 確定在從原點 起沿負實軸割破了的 平面上，并且 .試求 的值.,解 設 ，則,（1）由已知條件定,時,要,必,或者：直接由 的幅角 ，合于 看出 ，因而 .,(2)求,因 故,注：定支求值法,42,二、對數函數,1、 是一個無窮多值函數.,43,2、 的一般值,的主值（主值支）,注：,w=Lnz是指數函數ew

11、=z的反函數，,Lnz一般不能寫成lnz,44,例1,解,注意: 在實變函數中, 負數無對數, 而復變數對數函數是實變數對數函數的推廣.,例2,例3,45,例4,解,3. 對數函數的性質,46,4、指數函數 的變換性質,令,特別，變換 把 平面上的帶形 變成 平面上除去原點及負實軸的區(qū)域 .,47,5、指數函數 的單葉性區(qū)域,（1）變換 把寬為 的帶形,都變成 平面上除去原點及負實軸的區(qū)域. P77 圖2.10,（2）判斷區(qū)域是單葉性區(qū)域的辦法,的點 不屬于 .,對于區(qū)域 內任一點 ，滿足條件,（ 為非零整數）,48,6、對數函數 的單值解析分支,就是一個單值連續(xù)分支函數，記為：,（1）在 平

12、面上割破負實軸的區(qū)域 內：,每取定一個 值，,（2） 在區(qū)域 內解析，有,故 有無窮多個單值解析分支.,7、對數函數 的支點和支割線,支點：0和,（特別地， 的支點： 和 ）,支割線：連接 和 的簡單曲線.（如負實軸）,49,例1 設 定義在沿負實軸割破的平面上，且,解：,求值：,（是下岸相應點的函數值）求 的值.,注：定支求值法,50,三、一般冪函數與一般指數函數,1、定義： （ 為復常數）稱為 的一般冪函數.,注：,（1）是實數域中 （ 為實數）在復數域中的推廣.,（2） 取整數 或分數 時，則分別為,（3）,其中， 是多值函數，所以 也是多值函數;而 是 所有的值中的一個.,51,討論

13、的三種情形：,（1） 為一整數 時，有 ， 為單值.,（2） 為 （有理數），有 ,只能取 個不同的值，即當 時的對應值.,（3） 是一無理數或虛數，則 所有值各不相同， 就有無限多解.,注： 是多值函數，它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內是解析的，有,52,2、定義： （ 為一復常數）稱為 的一般指數函數.,注：它是無窮多個獨立的、在z平面上單值解析的函數。,53,例1,求 的主值.,解,的主值為,解,的主值為,54,例3,解,幅角的主值為：,55,四、具有有限個支點的情形,(1) 的可能支點為 和 ；,(2) 當且僅當 不能整除 時， 是 的支點；,(3) 當且僅當 不能整除 時， 是 的支點；,(4) 若 能整除 中若干個之和，則 中對應的幾個就可以聯結成割線，即變點 z 沿只包含它們在其內部的簡單閉曲線轉一整周后，函數值不變.,56,例 考查下列函數有哪些支點.,解：,（1）支點