1、本章主要內(nèi)容,能夠?qū)С霾⑶矣涀∫痪S波動方程的通解（達(dá)朗貝爾公式）； 掌握達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用和物理意義; 掌握行波法解題的要領(lǐng)，并且能夠使用行波法求解定解問題；,第七章 行波法,1,PPT學(xué)習(xí)交流,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,考慮如下定解問題（無界弦的自由振動問題）：,一、達(dá)朗貝爾公式,2,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,式,算符分解,坐標(biāo)變換：,3,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,4,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,5,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.

2、1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,6,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,7,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,達(dá)朗貝爾公式 DAlembert,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,8,PPT學(xué)習(xí)交流,一、達(dá)朗貝爾公式,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,9,PPT學(xué)習(xí)交流,行波法解題要領(lǐng),行波法的提法來自于研究行進波。其解題要領(lǐng)為： （1）引入特征變換，把方程化為變量可積的形式，從而得到方程的通解； （2）使用定解條件確定通解中的任意函數(shù)（對于常微分方程為常數(shù)），從而得到其特解。 注意：由于偏微分方程求解較難，大部分偏微分方程的通解均不易獲得，

3、使用定解條件確定其任意函數(shù)或常數(shù)也絕非易事，故行波法也有其較大的局限性。但是對于研究波動問題，行波法自有其獨特的優(yōu)點(實際上我們主要只使用它研究波動問題)。因此行波法是求解數(shù)學(xué)物理方程的基本的和主要的方法之一。,10,PPT學(xué)習(xí)交流,四、關(guān)于達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,11,PPT學(xué)習(xí)交流,四、關(guān)于達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,12,PPT學(xué)習(xí)交流,四、關(guān)于達(dá)朗貝爾公式的應(yīng)用,7.1 行波法一維波動方程的達(dá)朗貝爾解,13,PPT學(xué)習(xí)交流,7.2 行波法強迫振動,強迫振動問題,14,PPT學(xué)習(xí)交流,強迫振動問題,7.2 行波法強迫振動

4、,15,PPT學(xué)習(xí)交流,五、強迫振動問題,7.2 行波法強迫振動,16,PPT學(xué)習(xí)交流,行波法復(fù)習(xí)小結(jié),1、一維無界弦自由振動的初值問題,2、行波法解波動方程的基本思想與關(guān)鍵步驟： 基本思想：先求出偏微分方程的通解，然后用定解條件確 定特解。 關(guān)鍵步驟：通過變量變換，將波動方程化為便于積分的齊 次二階偏微分方程。,17,PPT學(xué)習(xí)交流,代入初始條件,達(dá)朗貝爾公式,18,PPT學(xué)習(xí)交流,3、達(dá)朗貝爾解的物理意義,4、行波法的應(yīng)用,求解一維無界弦的自由振動（齊次）問題；（7.1） 求解一維無界弦的強迫振動（非齊次）問題；（7.2）,基本思想：利用偏微分方程和定解條件的線性疊加性質(zhì)， 將定解問題分解

5、為自由振動和純強迫振動兩部分。 關(guān)鍵步驟：利用沖量原理法求解純強迫振動,19,PPT學(xué)習(xí)交流,20,PPT學(xué)習(xí)交流,4、行波法的應(yīng)用,求解一維無界弦的自由振動（齊次）問題； （7.1） 求解一維無界弦的強迫振動（非齊次）問題；（7.2） 求解半無界弦的自由振動問題,端點的反射：,端點固定,邊界條件,達(dá)朗貝爾公式是無限長弦的公式。由于自變量限制為x0,當(dāng)tx/a時，上式后兩項無意義，必須將 u(x,t) 延拓到這個范圍。,初始條件,定解問題,討論：,21,PPT學(xué)習(xí)交流,代入初始條件：,延拓方法：首先由泛定方程的通解入手：,代入邊界條件：,令,奇延拓,22,PPT學(xué)習(xí)交流,所以做奇延拓：,由邊界條件：,達(dá)朗貝爾解為：,23,PPT學(xué)習(xí)交流,（1）x at, 即 x - at 0,結(jié)果討論：,24,PPT學(xué)習(xí)交流,（2）x at, 即 x -at 0,25,PPT學(xué)習(xí)交流,4、行波法的應(yīng)用,求解一維無界弦的自由振動（齊次）問題； 求解一維無界弦的強迫振動（非齊次）問題；（7.2） 求解半無界弦的自由振動