1、醫(yī)用高等數(shù)學(xué),第二節(jié) 初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),一、按定義求導(dǎo)數(shù),三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,四、復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),八、高階導(dǎo)數(shù),一、按定義求導(dǎo)數(shù),常數(shù)的導(dǎo)數(shù),2冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù),所以,3. 正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,=,4對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù),即,二、函數(shù)四則運(yùn)算的求導(dǎo)法則,證(1),證(3),推論,解,解,解,例2-7 已知函數(shù) ,求,同理可得,即,解,同理可得,即,三、反函數(shù)的求導(dǎo)法則,定理2-1,即：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù).,于是有,證明,即,例2-10,解,特別地,當(dāng) 時(shí),解,同理可得,例2-11,即,四、復(fù)合

2、函數(shù)的導(dǎo)數(shù),定理2-2,即 因變量對(duì)自變量求導(dǎo)，等于因變量對(duì)中間變量求導(dǎo)，乘以中間變量對(duì)自變量求導(dǎo).(鎖鏈法則),或,推廣,則復(fù)合函數(shù) 的導(dǎo)數(shù)為,或,解,解,比較熟練后,中間變量不必寫出來(lái),直接按鎖鏈法則對(duì)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo).,解,例2-15 證明冪函數(shù)的求導(dǎo)公式 對(duì)任意實(shí)數(shù)指數(shù) 成立.,證明 將 化為 ,則,例如,解,解,解,例2-19,五、隱函數(shù)的求導(dǎo)法則,如果聯(lián)系兩個(gè)變量 和 的函數(shù)式是由方程 來(lái)確定的，這樣的函數(shù)稱為隱函數(shù).,隱函數(shù)的顯化,（不能顯化）,問(wèn)題: 隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導(dǎo)?,直接從方程 兩邊來(lái)求導(dǎo),稱為隱函數(shù)的求導(dǎo)法則.,解得,例2-20 已知函數(shù) 是由橢圓方程 所確定

3、 的,求,例2-21 已知函數(shù) 是由方程 確定的.求 和,解 方程兩邊分別關(guān)于 求導(dǎo),由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則和四則運(yùn)算法則有,解得,所以,例2-22 設(shè)生物群體總數(shù)的生長(zhǎng)規(guī)律為,其中 均為常數(shù),且 .試求生長(zhǎng)率,解 將 寫成如下形式,兩邊對(duì) 求導(dǎo)得,整理得,六、對(duì)數(shù)求導(dǎo)法,方法: 先在方程兩邊取對(duì)數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).,適用范圍:,解 兩邊取對(duì)數(shù)，得,兩邊對(duì) 求導(dǎo)，得,例2-23 已知函數(shù) ,求,所以,解 兩邊取對(duì)數(shù)，得,例2-24 已知函數(shù) ,求,1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式,七、初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù),2.函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則,或,3.復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù),八、高階導(dǎo)數(shù),記作,三階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為四階導(dǎo)數(shù),二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù).,例2-25 已知指數(shù)函數(shù) ( 為常數(shù)) ,求,解,解,例2-27,解:,解:,同理可得,例2-28,主 要 內(nèi) 容,1.基本初等函數(shù)的導(dǎo)