1、第十七講 小 振 動(dòng),本講導(dǎo)讀,動(dòng)能和勢(shì)能的泰勒展開(kāi),線性齊次方程的求解,簡(jiǎn)正頻率,簡(jiǎn)正坐標(biāo),一、多自由度力學(xué)體系的小振動(dòng),一個(gè)完整的穩(wěn)定、保守的力學(xué)體系在平衡位置時(shí)的廣義坐標(biāo)均等于零. 如果力學(xué)體系自平衡位置發(fā)生微小偏移, 力學(xué)體系的勢(shì)能可以在平衡位形區(qū)域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù),利用保守體系的平衡方程, 略去二級(jí)以上的高級(jí)項(xiàng)并令V=0, 就得到,在穩(wěn)定約束時(shí), 動(dòng)能T只是速度的二次齊次函數(shù), 即,式中系數(shù)a是廣義坐標(biāo)q的顯函數(shù). 把a(bǔ) 在力學(xué)體系平衡位形的區(qū)域內(nèi)展成泰勒級(jí)數(shù), 就得到,由于q值很小, 因此展開(kāi)式中只保留頭一項(xiàng), 動(dòng)能T變?yōu)?現(xiàn)在式中系數(shù)a 是不變的. 展開(kāi)式中的系數(shù)具有特別名稱, 即

2、c 稱為恢復(fù)系數(shù)或準(zhǔn)彈性系數(shù), 而a 則稱為慣性系數(shù).,所以,把這些表示式代入拉格朗日方程式就得到力學(xué)體系在平衡位置附近的動(dòng)力學(xué)方程,這是線性齊次常微分方程組, 它的解,式中A 及是常數(shù). 把這表示式代回, 得,從行列式,求出2s個(gè)的本征值l, (l1,2,2s). 然后求出一組A(l), 方程式的解即是,為了物體在平衡位置附近振動(dòng), 則力學(xué)體系的勢(shì)能V 0 (即平衡位置V0是極小值), 方程所有的根l為純虛數(shù).,既然l是純虛數(shù), 因此可令,這樣, 解可以寫(xiě)為,實(shí)數(shù) 解為,實(shí)際上, 我們把的某一本征值l代入原方程后, 并不能得出s個(gè)互相獨(dú)立的常數(shù)A ( 1,2,s), 而只能得出它們的比, 因

3、為此時(shí)系數(shù)行列式等于零. 如果行列式的 (s-1)階代數(shù)余子式中有一個(gè)不等于零, 則在一組解A 中只有一個(gè)數(shù)是可以任意取的. 如果設(shè)此常數(shù)為A(l) ,則A (l)可寫(xiě)為,即,在方程的解中共有2s2個(gè)常數(shù), 因?yàn)槊總€(gè)l對(duì)應(yīng)一個(gè)任意常數(shù), 而共有2s個(gè)l, 所以2s2個(gè)常數(shù)只有2s個(gè)是獨(dú)立的. 這2s個(gè)常數(shù), 可由起始條件決定, 即t0時(shí)的初始位置和初始速度應(yīng)為已知. 這樣，,實(shí)數(shù)解：,這里的l叫做簡(jiǎn)正頻率, 它的數(shù)目共有 s個(gè), 和力學(xué)體系的自由度數(shù)相等.,多自由度體系的小振動(dòng)問(wèn)題比較復(fù)雜的原因是在勢(shì)能和動(dòng)能中都有交叉項(xiàng)(相互作用). 消除之,可以簡(jiǎn)化問(wèn)題.,因?yàn)閯?dòng)能總是正定的, 根據(jù)線性代數(shù)

4、理論, 總能找到線性變換,使得T和V同時(shí)變成正則形式, 即沒(méi)有交叉項(xiàng). 變換后,相應(yīng)的拉氏方程為,二、簡(jiǎn)正坐標(biāo),所以,可得, 解,式中,坐標(biāo)l叫做簡(jiǎn)正坐標(biāo), l仍為簡(jiǎn)正頻率.,每一個(gè)簡(jiǎn)正坐標(biāo)都做具有自己固有頻率 l的諧振動(dòng), 而廣義坐標(biāo), 作為簡(jiǎn)正坐標(biāo)的線性函數(shù), 將是s個(gè)諧振疊加而成的復(fù)雜運(yùn)動(dòng).,例1 耦合擺 兩相同的單擺,長(zhǎng)為a,擺錘的質(zhì)量為m,用倔強(qiáng)系數(shù) 為k且其自然長(zhǎng)度等于兩擺懸點(diǎn)之間距離的無(wú)重彈簧相耦合.略去阻尼作用,試求此體系的運(yùn)動(dòng).,解:兩個(gè)擺在同一平面內(nèi)振動(dòng),取振動(dòng)平面為 xy平面, 并且令兩個(gè)擺錘的坐標(biāo)為(x1, y1)及(x2,y2), 則由于約束關(guān)系(兩擺的擺長(zhǎng)一定),

5、四個(gè)坐標(biāo)中只有兩個(gè)是獨(dú)立的. 選x1及x2作為兩個(gè)廣義坐標(biāo), 而x1及x2等于零時(shí)相當(dāng)于耦合擺的平衡狀態(tài). 耦合擺的勢(shì)能等于彈簧的彈性勢(shì)能與擺錘重力勢(shì)能兩者之和,即,耦合擺的動(dòng)能為,因?yàn)?故,為了算出在平衡位置附近的勢(shì)能及動(dòng)能, 按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi),可得,又,故在平衡位置附近, V與T簡(jiǎn)化為,運(yùn)用拉氏方程,得動(dòng)力學(xué)方程,這是二階常系數(shù)線性齊次方程組,具有形式解,所以,此方程組有非零解的充要條件為,由此得到4個(gè)本征值如下:,這樣得到通解,把1,2帶入行列式,得到,4個(gè)任意常數(shù)由初始條件決定.,如果令 則1, 2將以單一的頻率1, 2振動(dòng), 因此1, 2就是簡(jiǎn)正坐標(biāo).,例2 線對(duì)稱三原子分子的振動(dòng) 設(shè)兩個(gè)質(zhì)量為m的原子, 對(duì)稱地位于質(zhì)量為M的原子兩側(cè), 三者皆處于一直線上, 其間的相互作用可近似地認(rèn)為是準(zhǔn)彈性的, 即相當(dāng)于用彈性系數(shù)為k的兩個(gè)相同彈簧把它們聯(lián)結(jié)起來(lái). 如平衡時(shí), M與每一m間的距離均等于b,求三者沿聯(lián)線振動(dòng)時(shí)的簡(jiǎn)正頻率.,解:由圖知, 若以水平軸x上某處O為原點(diǎn). 系統(tǒng)的勢(shì)能為,而,令,則,本問(wèn)題是三個(gè)自由度, 故q1,q2,q3就是廣義坐標(biāo), 由拉氏方程得,設(shè)解的形式為,帶入動(dòng)力學(xué)方程組, 得,有非零解的條件