1、.,1, 一元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（1）,第五講 無窮小量與無窮大量 極限的運算,授課教師：王利平,.,2,主 要 內(nèi) 容,一.無窮小量及其運算性質(zhì),二. 無窮大量,三. 極限的運算法則,.,3,一、無窮小量及其運算性質(zhì),簡言之, 在某極限過程中, 以 0 為極限的量稱該極限過程中的一個無窮小量.,.,4,.,5,1.無窮小量的定義,定義,.,6,2. 函數(shù)的極限與無窮小量的關(guān)系,反之亦然.,由以上的分析, 你可得出 什么結(jié)論 ?,.,7,定理,.,8,同一個極限過程中的有限個無窮小量之和仍是一個無窮小量.,同一個極限過程中的有限個無窮小量之積仍為無窮小量.,3.無窮小量的運算法則,.,9

2、,常數(shù)與無窮小量之積仍為無窮小量.,在某極限過程中, 以極限不 為零的函數(shù)除無窮小量所得到商 仍為一個無窮小量.,在某一極限過程中, 無窮小量 與有界量之積仍是一個無窮小量.,.,10,證,.,11,證,.,12,證,證明,.,13,解,.,14,二. 無窮大量,.,15,定義,1.無窮大量的定義,.,16,.,17,無窮大量是否一定是無界量 ?,在某極限過程中,無界量是否一定是無窮大量 ?,當(dāng) x 時, 函數(shù) sinx、cosx, 是否為無窮大量 ？,因為sinx、cosx 是有界函數(shù), 所以在任何極限過程中它們都不是無窮大量.,.,18,在某一極限過程中,定理,2. 無窮大量與無窮小量的關(guān)

3、系,.,19,無窮大量一定是同一 極限過程中的無界量.,反之不真,3.無窮大量的運算性質(zhì),.,20,在某極限過程中, 兩個無窮大量之積 仍是一個無窮大量.,在某極限過程中, 無窮大量與 有界量之和仍為無窮大量.,.,21,不是無窮大量,是無窮大量,兩個無窮大量的和是否仍為無窮大量?,考察,.,22,有界量與無窮大量的乘積,是否一定為無窮大量？,不著急, 看個例題:,.,23,結(jié)論:,在某個極限過程中,.,24,極限運算法則的理論依據(jù),依據(jù)無窮小量的運算法則,三. 極限運算法則,.,25,由此你能不能寫出極限四則運算公式？,1. 極限運算法則,.,26,設(shè)在某極限過程中, 函數(shù) f (x)、g(

4、x) 的極限 lim f (x)、lim g(x) 存在, 則,.,27,2.復(fù)合函數(shù)的極限,有什么問題沒有？,.,28,定理,.,29,解,求,.,30,解,因式分解,.,31,解,初等展開,.,32,解,有理化,.,33,解,第二問怎么做？,.,34,令,則,當(dāng) x 0 時, y 0, 故,變量代換,.,35,證明,原式,由,即得所證.,證,.,36,解,這是兩個無窮大量相減的問題. 我們首先進行,通分運算, 設(shè)法去掉不定因素, 然后運用四則運算,法則求其極限.,( 通分 ),.,37,解,有理化,.,38,解,利用無窮小量與無窮大量的關(guān)系,涉及到兩個無窮大量的差,.,39,解,所以,由復(fù)合函數(shù)求極限法則,.,