1、圓錐曲線中的蝴蝶定理及其應用2020年北京高考數(shù)學卷第18（III）題考查了橢圓內(nèi)的蝴蝶定理的證明，本文給出了一般圓錐曲線的蝴蝶定理的兩種形式，并由它們得到圓錐曲線的若干性質(zhì).定理1：在圓錐曲線中，過弦AB中點M任作兩條弦CD和EF，直線CE與DF交直線AB于P，Q，則有.證明：如圖1，以M為原點，AB所在的直線為y軸，建立直角坐標系.圖1 設圓錐曲線的方程為(*)，設A（0，t），B（0，-t），知t，-t是的兩個根，所以.若CD，EF有一條斜率不存在，則P，Q與A，B重合，結(jié)論成立.若CD，EF斜率都存在，設C（x1，k1x1）, D（x2，k1x2），E（x3，k2x3）, F（x4,k

2、2x4），P（0，p），Q（0，q）， ,同理, 所以將代入(*)得,又得, , 同理 , ，所以，即.注:2020年高考數(shù)學北京卷第18（III）題，就是定理1中取圓錐曲線為橢圓，AB為平行長軸的弦的特殊情形.定理2：在圓錐曲線中，過弦AB端點的切線交于點M，過M的直線lAB，過M任作兩條弦CD和EF，直線CE與DF交直線l于P，Q，則有.證明：如圖2，以M為原點，AB所在的直線為y軸，建立直角坐標系.圖2設圓錐曲線的方程為(*)，設A（），B（），則切線MA的方程是，切線MB的方程是，得，所以.（下面與定理1的證明相同，略）特別的，當弦AB垂直圓錐曲線的對稱軸時，點M在圓錐曲線的該對稱軸上

3、.性質(zhì)1：過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD，EF是其焦點軸，則直線CE、DF的連線交點G在直線l：上.特別的，當M為焦點時，l就是準線.當M為準線與焦點軸所在直線的交點時，l就是過焦點的直線.圖3證明：如圖3，過M做直線AB垂直焦點軸所在的直線，直線CE與DF交直線AB于P，Q，則根據(jù)定理1，定理2得.過G做GH垂直焦點軸所在直線于H，得，設M（m，0），H（n，0），焦點軸長為2a，則有，得.注:性質(zhì)1就是文1中的性質(zhì)1，文2中的推論2.若圓錐曲線為拋物線，把無窮遠點作為其虛擬頂點，把圖3中的DF看作與焦點軸平行的直線，于是得到性質(zhì)2.性質(zhì)2：過點M（m，0）做拋物線的弦CD，E是拋物

4、線的頂點，直線DF與拋物線的對稱軸平行，則直線CE、DF的連線交點在直線l：上.特別的，當M為焦點時，l就是準線.當M為準線與焦點軸的交點時，l就是過焦點的直線.注:2001年全國高考數(shù)學卷第18題，就是性質(zhì)2中M為焦點的情形.性質(zhì)2就是文1中的性質(zhì)2，文2中的推論1.圖4性質(zhì)3：直線l：，過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD，直線l與CD交于點I，則.證明：如圖4，由定理1，定理2及性質(zhì)1得： . 圖5性質(zhì)4：過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD、EF，則直線CE、DF的連線交點G在直線l：上.證明：如圖5，過G做GH垂直焦點軸所在的直線，由定理1，定理2得： ，由性質(zhì)3得，點I在直線l

5、：上，所以點G在直線l：上.類似性質(zhì)3、性質(zhì)4得到性質(zhì)5、性質(zhì)6.性質(zhì)5：直線l：，過點M（m，0）做拋物線的弦CD，直線l與CD交于點I，則.性質(zhì)6：過點M（m，0）做拋物線的弦CD、EF，則直線CE、DF的連線交點G在直線l：上.注: 文3中的定理是性質(zhì)4、性質(zhì)6的特殊情形，即取M為焦點時，直線CE、DF的連線交點G落在相應準線上. 性質(zhì)7：過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD，則以C，D為切點的圓錐曲線的切線的交點G在直線l：上.圖6證明：如圖6，設切線CG交直線l于G1，連接G1D，若G1D與圓錐曲線有除D點外的公共點F，做直線FM交圓錐曲線于E，由性質(zhì)4知CE與DF的交點在直線l上

6、，所以C、E、G1三點共線，與CG1是圓錐曲線的切線矛盾，所以G1D與圓錐曲線只有一個公共點D，G1D是圓錐曲線的切線，G1與G重合， G在直線l上.性質(zhì)8：過點M（m，0）做拋物線的弦CD，則以C，D為切點的圓錐曲線的切線的交點G在直線l： 上.注:性質(zhì)7、性質(zhì)8也是性質(zhì)4、性質(zhì)6的一種極端情形，就是文4中的定理1.性質(zhì)9：直線l：，過點M（m，0）做橢圓、雙曲線的弦CD，C、D在l上的射影為C1、D1，在焦點軸所在直線上的射影為C2、D2，則. 圖7證明：如圖7，由性質(zhì)3得： ,所以.性質(zhì)10：直線l：，過點M（m，0）做拋物線的弦CD，C、D在l上的射影為C1、D1，在對稱軸上的射影為C

7、2、D2，則. 圖8注:性質(zhì)9、10即文5中的定理1、2、3，文5中的推論也可由性質(zhì)3、5直接推出.性質(zhì)11：在圓錐曲線中，過弦AB中點M任作兩條弦CD和EF，直線CE與DF交于點G，過G做GIAB，直線GI交FE于I，則.證明：如圖8，直線CE與DF交直線AB于P，Q，由定理1得：, 所以. 性質(zhì)12：在圓錐曲線中，過弦AB端點的切線交于點M，過M任作兩條弦CD和EF，直線CE與DF交于點G，過G做GIAB，直線GI交FE于I，則.性質(zhì)11，12可認為是性質(zhì)1，2，3，5的推廣，從性質(zhì)11，12出發(fā)可以得到類似性質(zhì)4，6，7，8，9，10的結(jié)論，限于篇幅，本文不再給出。參考文獻1 金美琴.二次曲線的定點弦.數(shù)學通報，2020，72 陳天雄.一道高考解析幾何