1、,第四節(jié),一、立體體積,二、曲面的面積,三、物體的質(zhì)心,四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,五、物體的引力,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,重積分的應(yīng)用,第十章,1. 能用重積分解決的實(shí)際問(wèn)題的特點(diǎn),所求量是,對(duì)區(qū)域具有可加性,從定積分定義出發(fā) 建立積分式,用微元分析法 (元素法),分布在有界閉域上的整體量,3. 解題要點(diǎn),畫(huà)出積分域、選擇坐標(biāo)系、確定積分序、,定出積分限、計(jì)算要簡(jiǎn)便,2. 用重積分解決問(wèn)題的方法,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,一、立體體積,曲頂柱體的頂為連續(xù)曲面,則其體積為,占有空間有界域 的立體的體積為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,任一點(diǎn)的切平面與曲面,所圍立體的體積 V

2、 .,解: 曲面,的切平面方程為,它與曲面,的交線在 xoy 面上的投影為,(記所圍域?yàn)镈 ),在點(diǎn),例1. 求曲面,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例2. 求半徑為a 的球面與半頂角為 的,內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.,解: 在球坐標(biāo)系下空間立體所占區(qū)域?yàn)?則立體體積為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,二、曲面的面積,設(shè)光滑曲面,則面積 A 可看成曲面上各點(diǎn),處小切平面的面積 d A 無(wú)限積累而成.,設(shè)它在 D 上的投影為 d ,(稱為面積元素),則,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,故有曲面面積公式,若光滑曲面方程為,則有,即,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若光滑曲面方程為

3、,若光滑曲面方程為隱式,則,則有,且,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例3. 計(jì)算雙曲拋物面,被柱面,所截,解: 曲面在 xoy 面上投影為,則,出的面積 A .,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例4. 計(jì)算半徑為 a 的球的表面積.,解:,設(shè)球面方程為,球面面積元素為,方法2 利用直角坐標(biāo)方程.,方法1 利用球坐標(biāo)方程.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,( P170例1),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5,設(shè)有一顆地球同步軌道通信衛(wèi)星,距地面的高度為h=36 000 km,速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同.,通信衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值.,運(yùn)行的角,試計(jì)算該,解,取地心

4、為坐標(biāo)原點(diǎn),地心到通信衛(wèi)星,的連線為z軸,建立坐標(biāo)系,如右圖所示.,通信衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面被,半頂角為的圓錐面所截得的部分.,的方程為,于是,通信衛(wèi)星的覆蓋面積為,其中,Dxy是曲面在xOy面上的投影區(qū)域.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,利用極坐標(biāo),得,由于,代入上式得,由此得這顆通信衛(wèi)星的覆蓋面積 與地球表面積之比為,由已上結(jié)果可知,衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積.,地球全部表面.,三、物體的質(zhì)心,設(shè)空間有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),其質(zhì)量分別,由力學(xué)知, 該質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心坐標(biāo),設(shè)物體占有空間域 ,有連續(xù)密度函數(shù),則,公式 ,分別位于,為,為,即:,采用 “大化小, 常代變, 近似和, 取極限”

5、可導(dǎo)出其質(zhì)心,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,將 分成 n 小塊,將第 k 塊看作質(zhì)量集中于點(diǎn),例如,令各小區(qū)域的最大直徑,系的質(zhì)心坐標(biāo)就近似該物體的質(zhì)心坐標(biāo).,的質(zhì)點(diǎn),即得,此質(zhì)點(diǎn),在第 k 塊上任取一點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,同理可得,則得形心坐標(biāo)：,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,若物體為占有xoy 面上區(qū)域 D 的平面薄片,(A 為 D 的面積),得D 的形心坐標(biāo):,則它的質(zhì)心坐標(biāo)為,其面密度, 對(duì) x 軸的 靜矩, 對(duì) y 軸的 靜矩,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例5. 求位于兩圓,和,的質(zhì)心.,解: 利用對(duì)稱性可知,而,之間均勻薄片,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

6、下頁(yè) 返回 結(jié)束,(P173例3),例6. 一個(gè)煉鋼爐為旋轉(zhuǎn)體形, 剖面壁線,的方程為,內(nèi)儲(chǔ)有高為 h 的均質(zhì)鋼液,解: 利用對(duì)稱性可知質(zhì)心在 z 軸上，,采用柱坐標(biāo), 則爐壁方程為,因此,故,自重, 求它的質(zhì)心.,若爐,不計(jì)爐體的,其坐標(biāo)為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,四、物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,設(shè)物體占有空間區(qū)域 , 有連續(xù)分布的密度函數(shù),該物體位于(x , y , z) 處的微元,因此物體 對(duì) z 軸 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量:,對(duì) z 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為,因質(zhì)點(diǎn)系的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于各質(zhì)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和,故,連續(xù)體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可用積分計(jì)算.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

7、,類似可得:,對(duì) x 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì) y 軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,對(duì)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,如果物體是平面薄片,面密度為,則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例7.求半徑為 a 的均勻半圓薄片對(duì)其直徑,解: 建立坐標(biāo)系如圖,半圓薄片的質(zhì)量,的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(P175例5),解: 取球心為原點(diǎn), z 軸為 l 軸,則,球體的質(zhì)量,例8.求均勻球體對(duì)于過(guò)球心的一條軸 l 的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.,設(shè)球,所占域?yàn)?(用球坐標(biāo)),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,G 為引力常數(shù),五、物體的引力,設(shè)物體占有空間區(qū)域 ,物體對(duì)位于

8、原點(diǎn)的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力,利用元素法,在上積分即得各引力分量:,其密度函數(shù),引力元素在三坐標(biāo)軸上的投影分別為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,對(duì) xoy 面上的平面薄片D ,它對(duì)原點(diǎn)處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn),的引力分量為,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例9.,設(shè)面密度為 ,半徑為R的圓形薄片,求它對(duì)位于點(diǎn),解: 由對(duì)稱性知引力,處的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.,。,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,例10. 求半徑 R 的均勻球,對(duì)位于,的單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力.,解: 利用對(duì)稱性知引力分量,點(diǎn),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,(P177例7),機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束,( t 為時(shí)間) 的雪堆在融化過(guò)程中,其,側(cè)面滿足方程,設(shè)長(zhǎng)度單位為厘米,時(shí)間單位為小時(shí),設(shè)有一高度為,已知體積減少的速率與側(cè)面積成正比,(比例系數(shù) 0.9 ),問(wèn)高度為130 cm 的雪堆全部融化需要,多少小時(shí)? (2001考研),機(jī)動(dòng)