1、第一章 解三角形1正弦定理的一個推論及應(yīng)用在初學(xué)正弦定理時，若問同學(xué)們這樣一個問題：在ABC中，若sin Asin B，則A與B的大小關(guān)系怎樣？那么幾乎所有的同學(xué)都會認為A與B的大小關(guān)系不確定若再問：在ABC中，若AB，則sin A與sin B的大小關(guān)系怎樣？仍然會有很多同學(xué)回答大小關(guān)系不確定鑒于此，下面我們講講這個問題一、結(jié)論例1在ABC中，sin Asin BAB.分析題中條件簡單，不易入手但既在三角形中，何不嘗試用聯(lián)系邊角的正弦定理？證明因為sin Asin B2Rsin A2Rsin B(其中R為ABC外接圓的半徑)，根據(jù)正弦定理變式a2Rsin A，b2Rsin B(其中a，b分別為

2、A，B的對邊)，可得sin Asin Bab，再由平面幾何定理“大角對大邊，小角對小邊”，可得abAB.所以sin Asin BAB.二、結(jié)論的應(yīng)用例2在ABC中，A45，a4，b2，求B.分析在遇到這樣的問題時，有的同學(xué)一看，這不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B30或B150.其實這是錯誤的！錯在哪兒？我們只需由上述結(jié)論即可發(fā)現(xiàn)解由正弦定理，得，sin B.又sin Bsin A，所以Bsin B，所以CB，所以C有兩解(1)當(dāng)C60時，有A90；(2)當(dāng)C120時，有A30.點評除此之外，本題也可以利用余弦定理來求解.2三角形定“形”記根據(jù)邊角關(guān)系判斷三角形的形狀是一類熱點問題解

3、答此類問題，一般需先運用正、余弦定理轉(zhuǎn)化已知的邊角關(guān)系，再進一步判斷三角形的形狀，這種轉(zhuǎn)化一般有兩個通道，即化角為邊或化邊為角下面例析這兩個通道的應(yīng)用一、通過角之間的關(guān)系定“形”例1在ABC中，已知2sin Acos Bsin C，那么ABC一定是()A直角三角形 B等腰三角形C等腰直角三角形 D正三角形分析通過三角形恒等變換和正弦、余弦定理，把條件式轉(zhuǎn)化，直至能確定兩角(邊)的關(guān)系為止，即可判斷三角形的形狀解析方法一利用正弦定理和余弦定理，2sin Acos Bsin C可化為2ac，即a2c2b2c2，即a2b20，即a2b2，故ab.所以ABC是等腰三角形故選B.方法二因為在ABC中，A

4、BC，即C(AB)，所以sin Csin(AB)由2sin Acos Bsin C，得2sin Acos Bsin Acos Bcos Asin B，即sin Acos Bcos Asin B0，即sin(AB)0.又因為AB，所以AB0，即AB.所以ABC是等腰三角形，故選B.答案B點評根據(jù)角的三角函數(shù)之間的關(guān)系判斷三角形的形狀，一般需通過三角恒等變換，求出角(邊)之間的關(guān)系二、通過邊之間的關(guān)系定“形”例2在ABC中，若，則ABC是()A銳角三角形B直角三角形C等腰三角形D等腰三角形或直角三角形分析先運用正弦定理化角為邊，根據(jù)邊之間的關(guān)系即可判斷三角形的形狀解析在ABC中，由正弦定理，可得，

5、整理得a(ac)b(bc)，即a2b2acbc0，(ab)(abc)0.因為abc0，所以ab0，即ab，所以ABC是等腰三角形故選C.答案C點評本題也可化邊為角，但書寫復(fù)雜，式子之間的關(guān)系也不易發(fā)現(xiàn).3細說三角形中解的個數(shù)解三角形時，處理“已知兩邊及其一邊的對角，求第三邊和其他兩角”問題需判斷解的個數(shù)，這是一個比較棘手的問題下面對這一問題進行深入探討一、出現(xiàn)問題的根源我們作圖來直觀地觀察一下不妨設(shè)已知ABC的兩邊a，b和角A，作圖步驟如下：先做出已知角A，把未知邊c畫為水平的，角A的另一條邊為已知邊b；以邊b的不是A點的另外一個端點為圓心，邊a為半徑作圓C；觀察圓C與邊c交點的個數(shù)，便可得此

6、三角形解的個數(shù)顯然，當(dāng)A為銳角時，有如圖所示的四種情況：當(dāng)A為鈍角或直角時，有如圖所示的兩種情況：根據(jù)上面的分析可知，由于a，b長度關(guān)系的不同，導(dǎo)致了問題有不同個數(shù)的解若A為銳角，只有當(dāng)a不小于bsin A時才有解，隨著a的增大得到的解的個數(shù)也是不相同的當(dāng)A為鈍角時，只有當(dāng)a大于b時才有解二、解決問題的策略1正弦定理法已知ABC的兩邊a，b和角A，求B.根據(jù)正弦定理，可得sin B.若sin B1，三角形無解；若sin B1，三角形有且只有一解；若0sin B1，B有兩解，再根據(jù)a，b的大小關(guān)系確定A，B的大小關(guān)系(利用大邊對大角)，從而確定B的兩個解的取舍2余弦定理法已知ABC的兩邊a，b和

7、角A，求c.利用余弦定理可得a2b2c22bccos A，整理得c22bccos Aa2b20.適合上述問題的一元二次方程的解c便為此三角形的解3公式法當(dāng)已知ABC的兩邊a，b和角A時，通過前面的分析可總結(jié)三角形解的個數(shù)的判斷公式如下表：A90A90ababsin Aabsin Aabab一解兩解一解無解一解無解三、實例分析例在ABC中，已知A45，a2，b(其中角A，B，C的對邊分別為a，b，c)，試判斷符合上述條件的ABC有多少個？分析此題為“已知兩邊和其中一邊的對角”解三角形的問題，可以利用上述辦法來判斷ABC解的情況解方法一由正弦定理，可得sin Bsin 45b，所以AB，故B30，

8、所以符合條件的ABC只有一個方法二由余弦定理，得22c2()22ccos 45，即c22c20，解得c1.而1b，故符合條件的ABC只有一個.4走出解三角形的誤區(qū)解三角形是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是高考的一個熱點由于我們對三角公式比較熟悉，做題時比較容易入手但是公式較多且性質(zhì)靈活，解題時稍有不慎，常會出現(xiàn)增解、錯解現(xiàn)象，其根本原因是對題設(shè)中的隱含條件挖掘不夠下面結(jié)合例子談?wù)劷馊切螘r，題目中隱含條件的挖掘1忽視構(gòu)成三角形的條件而致誤例1已知鈍角三角形的三邊ak，bk2，ck4，求k的取值范圍錯解cba且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理，得cos C0.k24k120，解得2k0.綜上所述，

9、0kk4.即k2而不是k0.正解cba，且ABC為鈍角三角形，C為鈍角由余弦定理，得cos C0.k24k120，解得2kk4，k2，綜上所述，k的取值范圍為2k0，03.點撥忽略了三角形內(nèi)角和為180，及角A、B的取值范圍，從而導(dǎo)致取值范圍求錯正解由正弦定理得cos 2A2cos2A4cos2A1.ABC180，B3A，AB4A180，0A45.cos A1，14cos2 A13，13.溫馨點評解三角問題，角的取值范圍至關(guān)重要一些問題，角的取值范圍隱含在題目的條件中，若不仔細審題，深入挖掘，往往疏漏而導(dǎo)致解題失敗.5正、余弦定理三應(yīng)用有些題目，表面上看不能利用正、余弦定理解決，但若能構(gòu)造適當(dāng)

10、的三角形，就能利用兩定理，題目顯得非常容易，本文剖析幾例一、平面幾何中的長度問題例1如圖，在梯形ABCD中，CD2，AC，BAD60，求梯形的高分析如圖，過點D作DEAB于點E，則DE為所求的高由BAD60，知ADC120，又邊CD與AC的長已知，故ACD為已知兩邊和其中一邊的對角，可解三角形解RtADE，需先求AD的長，這只需在ACD中應(yīng)用余弦定理解由BAD60，得ADC120，在ACD中，由余弦定理得AC2AD2CD22ADCDcosADC，即19AD242AD2，解得AD3或AD5(舍去)在ADE中，DEADsin 60.點評依據(jù)余弦定理建立方程是余弦定理的一個妙用，也是函數(shù)與方程思想在

11、解三角形中的體現(xiàn)二、求范圍例2如圖，等腰ABC中，底邊BC1，ABC的平分線BD交AC于點D，求BD的取值范圍(注：0x1時，f(x)x為增函數(shù))分析把BD的長表示為ABC的函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域解設(shè)ABC.因為ABCC，所以A1802，BDCAABD1802180.因為BC1，在BCD中，由正弦定理得BD，因為045，所以cos 1，而當(dāng)cos 增大時，BD減小，且當(dāng)cos 時，BD；當(dāng)cos 1時，BD，故BD的取值范圍是.點評本題考查：(1)三角知識、正弦定理以及利用函數(shù)的單調(diào)性求值域的方法；(2)數(shù)形結(jié)合、等價轉(zhuǎn)化等思想三、判斷三角形的形狀例3在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，

12、b，c，若k，(kR)(1)判斷ABC的形狀；(2)若c，求k的值解(1)cbcos A，cacos B，又，bccos Aaccos B，bcos Aacos B.方法一sin Bcos Asin Acos B，即sin Acos Bcos Asin B0，sin(AB)0，AB，AB.ABC為等腰三角形方法二利用余弦定理將角化為邊bcos Aacos B，ba，b2c2a2a2c2b2，a2b2，ab.ABC為等腰三角形(2)由(1)知ab.bccos Abck，c，k1.6測高、測距精彩匯一、測量高度問題，是解三角形實際應(yīng)用問題中的一類熱點問題，正弦定理和余弦定理是解決這類問題的兩個得力

13、工具，下面舉例說明例1如圖，某人欲測量某建筑物的高度BC，在A處測得建筑物頂端C的仰角為30，然后，向建筑物方向前進200 m到達D處，在D處測得C的仰角為75，則建筑物的高度為()A50(1) m B50(1) mC50(1) m D50() m分析先求出ACD，然后在ACD中運用正弦定理求出CD，最后在RtBCD中求BC.解析依題意，可得CAB30，CDB75，所以ACD45.在ACD中，由正弦定理，得CD100(m)所以BCCDsin 7510050(1)(m)故選A.答案A點評本題的測高方案：先在地面上選定兩點，然后測量這兩點之間的距離和從兩點看被測物體頂端的仰角，進而用正弦定理求得高

14、度其中的解三角形問題屬于已知兩角和一邊解三角形問題，適合用正弦定理求解例2如圖，在100 m高的山頂A處，測得一建筑物CD底部和頂部的俯角分別為60和30，則建筑物的高度為_ m.分析先在RtABC中，求出AC，然后在ADC中，運用正弦定理求CD.解析在RtABC中，AC(m)在ADC中，ADC120，CAD30，由正弦定理，得CDm.答案點評本題的測高方案：在某一高度測量被測物體的頂部和底部的俯角，然后用正弦定理求高度其中的解三角形問題也屬于已知兩角和一邊求其他角和邊的三角形問題例3如圖，CD是一座鐵塔，線段AB和塔底D在同一水平地面上，在A，B兩點測得塔頂C的仰角分別為60，45，又測得A

15、B24 m，ADB30，則此鐵塔的高度為()A18 m B120 m C32 m D24 m分析先設(shè)出塔高，用它分別表示出AD，BD，然后在ABD中，運用余弦定理列方程，解之即得塔高解析設(shè)塔高為h，因為CAD60，CBD45，所以AD，BDh.在ABD中，由余弦定理得2422h22hcos 30，解得h24 m故選D.答案D點評本題的測高方案：先測出地面上兩點間的距離，然后在這兩點分別測出被測物體頂部的仰角及兩點相對于被測物體底部的張角，再用余弦定理求高度二、實際測量中的距離問題是高考常考知識點之一下面我們通過第一道例題找出規(guī)律，再通過第二道例題靈活運用，一起來探尋距離問題如何求解例4如圖，一

16、漁船在海上由西向東航行，在A處望見燈塔C在船的東北方向，若船速為每小時30 n mile，半小時后在B處望見燈塔在船的北偏東30，當(dāng)船行至D處望見燈塔在船的西北方向時，求A、D兩點之間的距離(精確到0.1 n mile)分析對于實際問題，我們需要畫出示意圖，由圖知，要求ACD的邊AD，此時就轉(zhuǎn)化成解三角形的問題了解在ABC中，AB300.515(n mile)，CAB45，ABC120，所以ACB15.由正弦定理，可得，所以AC.在ACD中，CAD45，CDA45，所以ACD90，由正弦定理，得AD71.0(n mile)答A、D兩點之間的距離約為71.0 n mile.點評第一步：畫出示意圖；第二步：構(gòu)建三角形，把實際問題中的長度、角度作為三角形相應(yīng)的邊和角；第三步：解三角形例5如圖，為了測量河對岸(不可到達)A、B兩點之間的距離，在河的這邊測得CD200 m，ACD80，BCD35，CDA40，CDB70，求A、B兩點間的距離(精確到1 m)分析ACD和BCD都是已知兩角一邊，可用正弦定理分別求出AC和BC，再